期末点差法求中点弦

1、利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题例1：求弦中点的轨迹方程已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程。解：设直线与椭圆交点为，则有，两式相减，得：，因为为中点，所以有： ，所以，故所求直线的方程为，即 。变式训练1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。 （。）例2、存在性问题 已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点平分的弦，且、则，两式相减

2、，得故直线由消去，得这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。变式训练2：已知双曲线，过能否作直线，使与双曲线交于，两点，且是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. （直线不存在）例3平行弦中点轨迹，过定点弦中点轨迹已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.解：设弦的两个端点分别为，的中点为.则，（1），（2）得：，.又，.弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知椭圆内）.变式训练3-1已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。3-2直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 .(.)3-3过椭圆上一点P（-8

3、，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。（ （） ）例4求曲线方程已知椭圆的一条准线方程是，有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点，若的中点为，求椭圆方程.解：设，则，且，（1），（2）得：，（3）又，（4）而，（5）由（3），（4），（5）可得，所求椭圆方程为.变式训练4.已知的三个顶点都在抛物线上，其中，且的重心是抛物线的焦点，求直线的方程.（.）例5求直线斜率已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列.（1）求证：；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率.（1）证略.（2）解：，设线段的中点为.又在椭圆上，（1），（2）得：，.直线的斜率，直线的方程为.令，得，即，直线的斜

4、率例6、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，两式相减得，即，这就是弦中点轨迹方程。它与直线的交点必须在椭圆内联立，得则必须满足，即，解得变式训练6 若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围. 综合性问题例7、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。解：设椭圆的方程为，则设弦端点、，弦的中点，则， ，又，两式相减得即 联立解得，所求椭圆的方程是例8已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值.证明：设且，则，（1），（2）得：，.又，（定值）例9.已知椭圆C:经过M，是椭圆C的两个焦点，且,O为椭圆C的中心。（1）求椭圆 C的方程（2）设P,Q是椭圆C上不同的两点，且O为的重心，试求的面积此题请学生讲解，这种方法不仅可以吸引学生听讲，也可增强学生数学表达能力。解：（1）由椭圆的定义知