工程力学静力学与材料力学第二篇第12章弯曲变形

1、单辉祖,材料力学教程,1,第 6 章 弯曲变形, 弯曲变形基本方程 计算梁位移的方法 简单静不定梁分析 梁的刚度条件与设计,本章主要研究：,单辉祖,材料力学教程,2,1 引言 2 梁变形基本方程 3 计算梁位移的积分法 4 计算梁位移的奇异函数法 5 计算梁位移的叠加法 6 简单静不定梁 7 梁的刚度条件与合理设计,单辉祖,材料力学教程,3,1 引 言, 弯曲变形及其特点 挠度与转角,单辉祖,材料力学教程,4, 弯曲变形及其特点, 挠曲轴是一条连续、光滑曲线 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计, 因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交, 变

2、弯后的梁轴，称为挠曲轴, 研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算，分析静 不定梁，为研究压杆稳定问题提供有关基础,单辉祖,材料力学教程,5, 挠度与转角,转角,挠度,挠度与转角的关系,（小变形）,挠度横截面形心在垂直于梁轴方向的位移,挠曲轴方程,转角横截面的角位移,转角方程,（忽略剪力影响）,（rad）,单辉祖,材料力学教程,6,2 梁变形基本方程, 挠曲轴微分方程 挠曲轴近似微分方程,单辉祖,材料力学教程,7, 挠曲轴微分方程,（纯弯）,（推广到非纯弯）, w弯矩引起的挠度 smax b 时,位移边界条件：,位移连续条件：,2. 确定积分常数,发生在AC段,单辉祖,材料力学教程,15,例 3-

3、2 建立挠曲轴 微分方程，写出边界条件，EI 为常数,解：1. 建立挠曲轴近似微分方程,AB段:,CB段:,2. 边界条件与连续条件,位移边界条件：,位移连续条件：,单辉祖,材料力学教程,16,F=qa,例 3-3 绘制挠曲轴的大致形状,F=qa,单辉祖,材料力学教程,17,4 计算梁位移的奇异函数法, 奇异函数 弯矩通用方程 梁位移通用方程 例题,单辉祖,材料力学教程,18, 奇异函数,当需分段建立 M 或 EI 方程时，用积分法求解需要确定许多积分常数，利用奇异函数简化了分析计算,定义,奇异函数（或麦考利函数）,单辉祖,材料力学教程,19, 弯矩通用方程,用奇异函数建立最后梁段 DE 的弯

4、矩方程：,适用于各梁段。,例如对于 BC 段（ l1, l2）,单辉祖,材料力学教程,20, 梁位移通用方程,适用于任一梁段, 仅包括两个积分常数, 由边界条件确定,单辉祖,材料力学教程,21, 例 题,例 4-1 用奇异函数法计算qA ，EI 为常数,解：1. 建立梁位移通用方程,单辉祖,材料力学教程,22,2. 确定积分常数,（）,3. 计算转角,单辉祖,材料力学教程,23,例 4-2 用奇异函数法计算wA，EI为常数,解：,（）,单辉祖,材料力学教程,24,例 4-3 建立通用挠曲轴微分方程，写出位移边界条件,解：,单辉祖,材料力学教程,25,5 计算梁位移的叠加法, 叠加法 逐段分析求

5、和法 例题,单辉祖,材料力学教程,26, 叠加法,方法,分解载荷,当梁上作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和,单辉祖,材料力学教程,27,理论依据,上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合,（小变形,比例极限内）,（小变形）,叠加法适用条件：小变形,，比例极限内,单辉祖,材料力学教程,28, 逐段分析求和法, 分解梁, 分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移, 求总位移,在分析某梁段的变形在需求位移处引起的位移时，其余梁段视为刚体,单辉祖,材料力学教程,29, 例 题,例 5-1 q(x)=q0cos(px/2l)，利用叠加法求 wB=

6、?,解：,(),(),单辉祖,材料力学教程,30,例 5-2,解：,(),(),(),单辉祖,材料力学教程,31,例 5-3 图示组合梁，EI=常数，求 wB 与qA,(),(),解：,单辉祖,材料力学教程,32,例 5-4 图示刚架，求截面 C 的铅垂位移,解：,单辉祖,材料力学教程,33,例 5-5 求自由端位移d,挠曲轴与外力作用面不重合,一般情况下,解：,单辉祖,材料力学教程,34,6 简单静不定梁, 静不定度与多余约束 简单静不定梁分析方法 例题,单辉祖,材料力学教程,35, 静不定度与多余约束,多余约束 凡是多于维持平衡所必须的约束,多余反力 与多余约束相应的支反力或支反力偶矩,静

7、不定度 未知支反力（力偶）数有效平衡方程数,静不定度多余约束数,4-3 = 1 度 静不定,5-3 = 2 度 静不定,静不定梁 支反力（含力偶）数超过平衡方程数的梁,单辉祖,材料力学教程,36, 简单静不定梁分析方法,选 FBy 为多余力,变形协调条件,物理方程,补充方程,平衡方程,1 度静不定,算例,综合考虑三方面,求梁的支反力, EI=常数,单辉祖,材料力学教程,37, 判断梁的静不定度, 用多余力 代替多余约束的作用，得受力与原静不定梁相同的静定梁相当系统, 计算相当系统在多余约束处的位移，并根据变形协调条件建立补充方程, 由补充方程确定多余力，由平衡方程求其余支反力, 通过相当系统计

8、算内力、位移与应力等,依据综合考虑三方面,关键确定多余支反力,分析方法与步骤,相当系统,相当系统,注意: 相当系统有多种选择,单辉祖,材料力学教程,38, 例 题,例 6-1 求支反力,解：1. 问题分析,2. 解静不定,水平反力忽略不计,2多余未知力,单辉祖,材料力学教程,39,例 6-2 悬臂梁 AB，用短梁 DG 加固，试分析加固效果,解：1. 静不定分析,单辉祖,材料力学教程,40,2. 加固效果分析（刚度）,减少 50%,减少39.9%,3. 加固效果分析（强度）,单辉祖,材料力学教程,41,例 6-3 图示杆梁结构，试求杆 BC 的轴力,解：,梁截面形心的轴向位移一般忽略不计,单辉

9、祖,材料力学教程,42,例 5-4 直径为d 的圆截面梁,支座 B 下沉 d，smax=?,解：,单辉祖,材料力学教程,43,7 梁的刚度条件与合理设计, 梁的刚度条件 梁的合理刚度设计 例题,单辉祖,材料力学教程,44, 梁的刚度条件,最大位移控制,指定截面的位移控制,例如滑动轴承处:,单辉祖,材料力学教程,45, 梁的合理刚度设计, 横截面形状的合理选择, 材料的合理选择,使用较小的截面面积 A，获得较大惯性矩 I 的截面形状，例如工字形与盒形等薄壁截面,影响梁刚度的力学性能是 E ，为提高刚度，宜选用E 较高的材料,注意：各种钢材（或各种铝合金）的 E 基本相同,单辉祖,材料力学教程,46, 梁跨度的合理选取,跨度微小改变，将导致挠度显著改变,例如 l 缩短 20，dmax 将减少 48.8%,单辉祖,材料力学教程,47, 合