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4.4实对称矩阵的对角化,4.4.1实对称矩阵的特征值和特征向量的性质,4.4.2实对称矩阵的对角化,由前面的例题可知,并不是任何一个方阵都可对角化的,但是当方阵A为实对称矩阵时,A必可对角化,且实对称矩阵对于我们讨论下面的二次型非常重要.,定理 7,实对称矩阵的特征值全为实数.,定理 8,定理 9,由于相互正交的向量必线性无关，所以我们得到。,推论,对应实对称矩阵不同特征值的特征向量必定线性无关,若是实对称矩阵A的r重特征根，则对应特征值恰有r个线性无关的特征向量。,证明（略）,由定理6，定理7，定理8和定理9可以得到,定理 10,实对称矩阵A一定可以对角化。即存在正,交矩阵P,使P-1AP=，其中是以 A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。,定理 设A是n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使,4.4.2实对称矩阵的对角化,解 第一步 求A的特征值由,例4.13 已知,解,向量及矩阵A。,因为实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交，,即,例4.14 设A、B都是实对称矩阵，且存在正交矩阵P，使P-1AP、P-1BP 都为对角矩阵，证明AB是实对称矩阵。,证明,

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