北邮研究生概率论第三讲解析PPT课件

1、2020/6/21,-,1,有了定义在集代数A上的测度，我们考虑如何产生测度在-代数(A)上的扩张？最后得到 “测度扩张定理”。 首先必须明白什么叫“扩张”？ 定义1.2.3 A1，A2是上的两个非空集合类，且A1 A2， i是Ai上的测度(i=1,2)， 若对AA1 ,有1(A)=2(A)， 则称2是1在A2上的扩张(1是2在A1上的限制)。,二、测度的扩张定理,2020/6/21,-,2,以下讨论的前提是A是上的集代数，是A上的测度,称F上的v*是由A上的v所引出的外测度。 (所有的A的覆盖的测度和的下确界，即为A的外测度。) 注意：这里可列多个集合的并也包括有限个集合并的情况。 外测度不

2、见得是测度！,1、F上的外测度*(A),对任意A F，定义,SA,2020/6/21,-,3,下确界（infimum）：,对于给定的数集S=x，若数满足条件： (1) 是S的下界，即对xS，有x; (2)对任何大于的数，一定存在S中某个 数x0，使得x00, x0S,使得 x00，存在A 中集序列An，n=1,2,使得,这是因为若A A *，则(A ) A * , *是A *上的测度，则是(A )上的测度，且对 于是 *是 在(A ) 上的扩张。,2020/6/21,-,22,由*是A上的测度，且,由的任意性，则有：,即：AA *，则A A *,2020/6/21,-,23,(1)首先证明：若

3、1，2是在(A)上的任意两个扩张，证明对A (A)及任意的正整数n，有： 1(ADn)=2 (ADn) （1.2.8）,第二部分：唯一性 A是集代数， 是A上的-有限测度，则存在：,(2)再证明对A (A)，有1(A)=2 (A),2020/6/21,-,24,(1)对给定的n，令： =A：A (A)， 1(ADn)=2 (ADn) 下证： = (A) 显然A ，且 (A)。 （ A A ，因A 为集代数，则： ADn A， 必有： (ADn)= 1(ADn)=2 (ADn)，则A ） 若能证明为单调类，则(A) 另： A为集代数，则： (A)= (A) 所以： (A) ，即： = (A)，结

4、论得证。,2020/6/21,-,25,下面证明为单调类：,Ak ，Ak ，则： 1(Ak Dn)=2 (Ak Dn)2 (Dn)=(Dn)+，k=1,2, 根据测度的连续性，有：,2020/6/21,-,26,(2):,2020/6/21,-,27,三、测度的完全化 初等概率中我们遇到这样的问题：考虑某一集合BA A ，且P(A)=0，但B未必属于A ，即B未必是事件，未必有概率。即零测集的子集未必有概率。为了克服这个问题，必须将A上的测度完全化。,定义1.2.4 设是-代数F(或集代数A )上的测度,如果AA， (A)=0，B A，则B F (或 A)，因而必有(B)=0 ，则称为F (或

5、A )上的完全测度。 以下介绍如何将-代数F上的测度完全化？,2020/6/21,-,28,定理1.2.5（测度的完全化）设是-代数F上的测度，记：,2020/6/21,-,29,主要证明思路：,具体证明过程略,2020/6/21,-,30,有：,2020/6/21,-,31,测度的完全化,测度完全化的好处在于：假设某个依赖于w的性质在某个零测集N之外成立，则使此性质不成立的w的集就是N的一个子集，一般来说，它不一定属于F，但它属于 ，且它的 测度为零。,2020/6/21,-,32,第三节 L-S测度和L测度,作为测度的重要特列，本节给出了Lebesque-Stieltjes测度（简称 L-

6、S测度）的构造方法，其特殊情况就是L测度。,2020/6/21,-,33,(-,a B (1) (a,b B (1) (a,b) B (1) b B (1) a,b B (1),一维Borel域 设=R(1) ，考虑由R(1)的一些子集组成的集合类：,G= (-,a,a R(1) ，称(G)为R(1)的Borel域，记为B(1) ，并称B (1)中的元素为一维的Borel集。,2020/6/21,-,34,推广情形：设 为n维实数空间，考虑由 的一些子集组成的集合类：,称(G)为 上的Borel域，记作B (n)。,G,n维Borel域,2020/6/21,-,35,2020/6/21,北京邮

7、电大学电子工程学院,35,第三节 L-S测度和L测度,一、 n维L-S测度,当bi=+时，将(ai,bi改为(ai, +)。于是(A)= (G)= B (n)。,令,要说明(A)= (G)= B (n)，分为两部分：,2020/6/21,-,36,如果某个bj=+,上式中改为ajxjbj，于是,为表达方便，,下面介绍利用广义分布函数来构造A上的L-S测度。,2020/6/21,-,37,注意：分布函数一定是广义分布函数。,2020/6/21,-,38,2020/6/21,北京邮电大学电子工程学院,38,第三节 L-S测度和L测度,一、 n维L-S测度,利用n维广义分布函数F(x1 , x2 ,

8、 xn)，得到： A上的测度F 利用测度扩张定理可以唯一确定一个B (n)上的测度 利用测度完全化定理，可以唯一确定一个完全化的测度，这就是著名的kolmogorov定理。 类似地也可利用分布函数构造： B (T)上的测度,2020/6/21,-,39,可以证明：对于n元广义分布函数F(x1,x2,xn)，在B (n)上存在唯一的测度F，满足： F(a,b)=(a,b F，其中a,b R(n) 下面简单地阐述构造的步骤和方法： 若a, b R(n) ，(a,bA，则定义F(a,b)=(a,b F,2020/6/21,-,40,A上的每个集合可表为互不相交的(a,b的有限并，即：,由前面两步在A

9、上定义的测度是-有限的，由扩张定理，可以将F唯一地扩张到(A) = B (n)上，且使得： F(a,b)=(a,b F，其中a,b R(n),2020/6/21,-,41,将B (n)上的测度F完全化，记B (n)关于F的完全化的-代数为B (n)F ，定义在B (n)F 上的完全化测度仍记为F 。 综上所述，称这样定义的测度F为由广义分布函数F产生的Lebesque-Stieltjes测度（简称L-S测度）。,2020/6/21,-,42,L-S测度的特殊情况是L测度，此时： F(x1,x2,xn)= x1x2xn 当n=1， L测度即为区域(a,b的长度 当n=2， L测度即为区域(a,b

10、的面积 当n=3， L测度即为区域(a,b的体积 此时： (a,bF=b1b2b3-a1b2b3-b1a2b3-b1b2a3 +a1a2b3+a1b2a3+b1a2a3 -a1a2a3 =(b3-a3) (b2-a2) (b1-a1),2020/6/21,-,43,2020/6/21,北京邮电大学电子工程学院,43,当取： F(x1,x2,xn)为n维随机变量的分布函数,则由F生成的B (n)F上的测度记为PF，它是B (n)F上的概率测度， PF(R(n)=1。这个结论其实正是概率论中著名的Kolmogorov定理。,二、 无穷维Borel域B (T) 上的测度（略） 1、分布函数的相容性 2、 B (T)上的测度PF,2020/6/21,-,44,第四节 概率空间,2020/6/21,北京邮电大学电子工程学院,44,定义1.4.1 设为一非空集合，F是上的-代数，称