高考数学函数专题、函数的奇偶性、周期性与对称性

1、函数专题（三）、函数的奇偶性、周期性与对称性1.判断函数奇偶性的第一步是判断函数定义域是否关于原点对称。2.几个初等函数的奇偶性：（1）函数为奇函数时，b=0；为偶函数时，a=0.（2）函数为奇函数时，a=c=0；为偶函数时，b=0.（3）幂函数为奇函数时，为奇数；为偶函数时，为偶数。（4）奇函数在原点有定义时一定经过原点。（5）定义域关于原点对称的常函数是偶函数。（6）既是奇函数又是偶函数的函数必是零函数。3.一个定义在R上的函数如果有两个对称轴或对称中心，则该函数一定是周期函数；函数如果满足奇偶性、周期性、对称性三个性质中的两个，则函数一定也满足剩余的那个性质。例1.函数，且，则满足条件的

2、所有整数的和是_例2.已知函数 的最大值为M，最小值为m，则M+m等于_变式训练：1.（2006浦东新区一模）若曲线上存在两个不同的点关于直线对称，则实数的取值范围为_2.（2014崇明县一模）已知圆及以下三个函数：；其中图像能等分圆的面积的函数个数为（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 03.（2014虹口区一模）关于曲线，给出下列四个命题： 曲线关于原点对称； 曲线关于直线对称；曲线围成的面积大于； 曲线围成的面积小于；上述命题中，真命题的序号为（ ）A. B. C. D. 4.（2014嘉定区一模）定义在区间上的函数满足：；当时，则集合中的最小元素是（ C ）A. 2； B. 4；

3、C. 6； D. 8；5.（2015松江区一模）已知函数，对任意，恒有成立，且当时，则方程在区间上所有根的和为_6.（2015杨浦区一模）已知是定义在R上的奇函数，当时，当时，若直线与函数的图像恰有7个不同的公共点，则实数的取值范围为_7.（2016杨浦区一模）函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，若存在满足，且，则最小值为_8.设函数的最大值为M，最小值为N，那么M+N=_9.若函数是偶函数，则的最小值为_10.（2015徐汇区一模）设函数的定义域为D，若对于任意D，当时，恒有，则称点（a，b）为函数图像的对称中心。研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为_11.（2

4、014徐汇区一模）对于方程为的曲线给出以下三个命题：（1）曲线关于原点中心对称；（2）曲线关于轴对称，也关于轴对称，且轴和轴是曲线仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点，都在曲线上，则四边形每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是（ ）A.（1）（2）； B.（1）（3）； C.（2）（3）； D.（1）（2）（3）；12.（2013天津）已知函数设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.13.（2015崇明县一模）设函数的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数T为函数的“似周期”；现有下面四个命

5、题：如果“似周期函数”的“似周期”为-1，那么它是周期为2 的周期函数；函数是“似周期函数”；函数是“似周期函数”；如果函数是“似周期函数”，那么“”；其中是真命题的是_（填序号）14.设函数，则不等式的解集为_15.设函数是定义在R上的奇函数，当0时，则=_16.给出定义：若（其中为整数），则叫离实数最近的整数，记作，已知，下列四个命题：函数的定义域为，值域为； 函数是上的增函数；函数是周期函数，最小正周期为1； 函数是偶函数，其中正确的命题是_（填序号）17.函数，R（其中表示不超过的最大整数）的最小正周期是_18.已知定义域为R的函数在0，7上只有1和3两个零点，且与都是偶函数，则函数在0，2013上的零点个数为（）A.402 B.403 C.404 D.40519.（2012黄浦区二模）已知函数是定义域为的偶函数，且对，恒有，又当时，（1）当时，求的解析式；（2）求证：函数是以为周期的周期函数；（3）解答本小题考生只需从下列三个问题中选择一个写出结论即可（无需写解题步骤）：当时，求的解析式；当时，若函数的图像与函数的图像有且仅有两个公共点，求实数的取值范围；当时，求的解析式；20