高考数学典型易错题会诊(下)

1、高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测（下）命题角度 3空间距离1（典型例题）在空间中，与一个ABC三边所在直线距离都相等的点的集合是 （ ） A一条直线B两条直线C三条直线D四条直线 考场错解设该点为P，且P在平面ABC上的射影为O，因为P到ABC三边所在直线距离都相等，所以O到ABC的三边直线的距离都相等，即O为ABC的内心，所以本题中符合条件的点在过0且与平面ABC垂直的直线上，所以选A。 专家把脉 在平面上与一个三角形三边所在直线等距离的点不只内心一个，实际任意两个角的外角平分线的交点（我们称其为傍心）也符合到三角形三边所在直线等距离 对症下药 设该点为P，且P在平面ABC上的射影为O

2、，因为P到ABC三边所在直线距离都相等，所以O到ABC的三边所在直线的距离都相等，即O为ABC的内心或傍心，所以本题中符合题意的点在过内心或傍心且与平面ABC垂直的直线上，这样的直线有4条，所以选D。2 （典型例题）如图10-15，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP。 （1）求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小（结果用反三角表示）； （2）设O点在平面D1AP上的射影为H，求证：D1HAP； （3）求点P到平面ABD1的距离。 考场错解 第（3）问：ABCDA1B1C1D1为正方体，AB面BCC1B1，BPAB

3、，BP即为P到平面ABD1的距离，在RtBCP中，BP= 专家把脉 线面垂直的判定有误，错解中BPAB，但BP与平面ABD1不垂直，所以P到平面ABD1的距离不是BP。 正解一：（1）如图10-16，连接BP，AB平面BCC1B1，AP与平面BCC1B1所成的角就是APB。CC1=4CP，CC1=4，CP=1。在RtAPB中，PCB为直角，BC=4，CP=1，故BP=在RtAPB中，APB为直角，tanAPB=APB=arctan. (2)连接A1C1，B1D1，A1B1C1D1为正方形，D1OA1C1又AA1底面A1B1C1D1，AA1D1O，D1O平面A1APC1，由于AP平面A1AOC1

4、，D1OAP。平面D1AP的斜线D1O在这个平面内的射影是D1H，D1HAP。 （3）连接BC1，在平面BCC1B1中，过点P作PQBC1于点Q。AB平面BCC1B1，PQ平面BCC1B1，PQAB，PQ平面ABC1D1，PQ就是P到平面ABD1的距离，在RtC1PQ中，C1QP=90，PC1Q=45，PC1=3，PQ=即点P到平面ABD1的距离为。 正解二：（1）以、分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间坐标系，AB平面BCC1B1，AP与平面BCC1B1所成的角为APB。CC1=4CP，CC1=4，CP=1，A（4，0，0）、P（0，4，1）。B（4，4，0）。=（4，-4，-1），cos

5、APB=直线AP与平面BCC1B1所成的角为arccos;(2)连接D1O，由（1）有D1（0，0，4）、O（2，2，4），=（2，2，0），又因为D1AP的斜线D1O在这个平面内的射影是D1H。 D1HAP； （3）由正方体的性质不难得出为平面ABD1的一个法向量，B1（4，4，4）、C（0，4，0）、P（0，4，1）=(-4,0,-4),=(-4,0,1),3（典型例题）如图10-17，在三棱锥VABC中，底面ABC是以B为直角的等腰直角三角形，又V在底面ABC上的射影在线段AC上且靠近C点，且AC=4，VA=，VB与底面ABC成45角。 （1）求V到底面ABC的距离； （2）求二面角VA

6、BC的大小。 考场错解（1）过V作VDAC，垂足为D，连接BD，由已知有VD平面ABC，在直角三角形VBD中，VBD为直线VB与底面ABC所成的角，VBD=45，BD=V到底面ABC的距离等于2。 专家把脉 BD与AC垂直是错误的，BD，错误的原因是缺少函数方程思想，VD直接计算在本题中做不到，而应设未知数，建立方程来求解。 对症下药 （1）如图10-18，在平面VAC中，过V作VDAC于D，连接BD，由已知VD平面ABC，VBD为VB与底面所成的角，VBD=45，设CD=x,则在RtVAD中，VD2=VA2-AD2=14-（x-2）2=-x2+8x-2,在直角三角形VBD中，VDB=90，V

7、BD=45，BD2=x2+8-4=x2-4x+8.在直角三角形VBD中，VDB=90，VBD=45，VD=BD，即-x2+8x-2=x2-4x+8,解得x=1或x=5,又由题意x=5应舍去,x=1此时VD=V到底面ABC的距离为;(2)过D作OEAB于E,连结VE,VD底面ABC,DEAB,VEAB, VED为二面角VABC的平面角。在平面ABC中，CBAB，DEAB，DEBC，由（1）知在RtVDE中，VD=，VDE=90DE，tanVED=二面角VABC的大小为arctan.专家会诊 空间中的距离以点到面的距离为中心内容，大多数距离问题都可以转化为点到面的距离，求法比较灵活，主要有：（1）

8、直接法。过该点作面的垂线，求出垂线段的长度，不过不能只顾作，计算不出来，应先利用线面的位置关系判断垂足的位置；（2）间接解法：利用三棱锥的体积进行等积变换来求解；（3）利用空间向量求解，公式是，其中n为平面的法向量，a为过该点的平面的一条斜线段所确定的一个向量。考场思维训练1 如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都为a， P为A1B上的点。（1）试确定的值，使得PCAB；答案：过P作PMAB于M，连结CM，ABC-A1B1C1为正三棱柱，PM平面ABC，PC在下底面上的射影为CM，PCAB，CMAB，又ABC为等边三角形，M为AB中点，即P为A1B的中点，（2）若，求二面角PACB的

9、大小；答案：过P作PMAB于N，过N作NQAC于Q，连结PQ，根据三垂线定理得PQN为二面角PACB的平角. PN=，在RtPQN中，tanPQN=（3）在（2）的条件下，求C1到平面PAC的距离。答案：2 长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=9，AB=AC=6，N为BC中点，M为A1B的中点，P为C1D1的中点，如图，（1）求点P到平面B1MN的距离；答案：如图，平面B1MN截长方体所得的截面为A1B1NR，C1D1/A1B1，C1D1/平面A1B1NR，P到平面B1MN的距离等于C1到平面B1MN的距离，作C1GB1N于G，ABCDA1B1C1D1为长方体，C1G平面B1MN，在距形

10、BCC1B1中，BB1=AA1=9，B1C1=BC=6，B1N=6，BB1N=30，C1B1G=60，C1G=6P到平面B1MN的距离为9.（2）求PC与平面B1MN所成的角。答案：PC/MB，PC与平面B1MN所成的角等于MB与平面B1MN所成的角，过B作BHB1N于H，作BH平面B1MN，BMH为MB与平面B1MN所成的角，BH=3 已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面，A1ACC1与底面ABC垂直，ABC=90，BC=2，AC=2，且AA1A1C，AA1A1C。如图所示。 （1）求侧棱AA1与底面ABC所成二面角的大小；答案：取AC中点D，连A1D，AA1=AC，A1DAC又侧面A1AC

11、C1平面ABC，A1D平面ABC，A1AD为AA1与平面ABC所成的角，由已知A1AD=45 （2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；答案：作DEAB，由三垂线定理ABA1E，A1ED为侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的平面角.又BCAB，DE/BC，DE=tanA1ED=,A1ED=60. 侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角为60. （3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。答案： D到平面A1ABB1的距离是C到该平面距离的一半，由（2）知平面A1ED平面A1ABB1，作DFA1E，则DF平面A1ABB1，又DF=C到平面A1ABB1的距离为.命题角度 4简单几何体1

12、（典型例题）如图10-22，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N。 求：（1）该三棱柱侧面展开图的对角线长； （2）PC与NC的长； （3）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）。考场错解 第（2）问：过M作MNCC1于N，则由已知有MN+NP=3+NP=，NP=-3，此时N为CC1的中点，NC=2，PC=。专家把脉 依题意是MN+NP的最小值为,而错解中认为MN最小,则MN+NP就最小,这是错误的.对症下药 (1)正三棱柱ABCA1B

13、1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为；（2）如图10-23，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120，使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线。设PC=x，则P1C=x，在RtMAP1中，由勾股定理得（3+x）2+22=29，求得x=2, PC=P1C=2,（3）解法一：连接PP1，则PP1就是MNP与平面ABC的交线，作NHPP1于H，又CC1平面ABC，连接CH，由三垂线定理得，CHPP1，NHC就是平面MNP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）。在RtPHC中，PCH=PCP1=6

14、0，CH=、在RtNCH中tanNHC=NHC=arctan平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为arctan。解法2：MPN在ABC上的射影为APC，设所求的角为则cos=.故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为arccos.2(典型例题)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，其中AB=，BD=BC=1，AA1=2，E为DC中点，点F在DD1上，且DF=。（1）求异面直线BD与A1D1的距离；（2）EF与BC1是否垂直？请说明理由；（3）求二面角EFBD的正切值。考场错解 第（2）问：ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，EF在面BCC1B1上

15、的射影为CC1，而BC1与BC1不垂直，EF与BC1不垂直。专家把脉 把直四棱柱看成长方体了，实际上，长方体是底面为长方形的直四棱柱，本题中的底面ABCD为平行四边形，所以ABCDA1B1C1D1不是长方体，也就是说EF在面BCC1B1上的射影不是CC1。对症下药 正解一：（1）ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，DD1AD1，DD1BD，DD1为A1D1与BD的公垂线段，DD1=2，A1D1与BD的距离为2；（2）BD=BC=1，CD=，BCD为等腰直角三角形，E为CD的中点，BECD，又ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，BE面CDD1C1，BEEF，在RtFDE中，FDE=90，FD=，

16、DE=，EF2=，在RtC1CE中，C1CE=90,EC=,CC1=AA1=2, DE21=,在RtD1FC1中，FD1C1=90，D1F=，D1C1=，FC21=EF2+EC21，EFEC1，得EF平面BEC1FFBC1（3）如图10-24，过E作EOBD，过O作OMBF于M，连接EM，易证得EO平面BDF，EMO为二在角EFBD的平面角，DBC=90，EOBD，EOBC，又E为CD中点，EO=，在BDF中，BOMBFD，OM=，在RtEOM中，tanEMO=,EMO=arctan,二面角EFBD的大小为arctan(1) 同正解一；(2) 由已知可得ADB=90，DD1平面ABCD，以、分

17、别为x,轴y轴,z轴的正方向，建立空间坐标系，F（0，0，）、E（）、A（1，0，0）、D1（0，0，2），= =（-1，0，2）又BC1AD1，EFAD1。(3) 可以得平面BDF的一个法向量为=（-1，0，0），B（0，1，0），设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z)由n,令x=1,得y=-1,z=-4, 平面BEF的一个法向量为n=（1，-1，-4），cos=，所求二面角EFBD的大小为arccos专家会诊棱柱、棱锥、球是几何中的重要载体，学习中除了牢固掌握有关概念、性质、面积体积公式之外，还要灵活运用有关知识进行位置益寿延年 判断与论证，进而达到计算的目的，在计算时要注意把某些平

18、面图形分离现来运用平面几何的知识来进行计算，这是立体几何中计算问题的重要方法和技巧。考场思维训练1 如图，正四面体ABCD的棱长为1，P、Q分别为AB、CD上两点，且AP=CQ=，求出正四面体侧面上从P到Q的最小距离。答案：解析：由对称性知，在侧面上从P到Q只需考虑两种情形，即从P到Q经过棱AC或经过棱AD.当经过棱AC时，如图1沿AD把侧面展开，AP=CQ=，且AP/CQ. 四边形APCQ为平行四边形，E是PQ的中点，PQ=2PE，在APE中，PAE=60，AP=，AE=，由余弦定理，有PE=PQ=当经过棱AD时，如图2，沿AC展开，此时PQ=1，又PQ的最小值为2 如图，已知斜三棱柱ABC

19、A1B1C1中，AC=BC，D为AB的中点，平面A1B1C1平面ABB1A1，异面直线BC1与AB1互相垂直。（1）求证：AB1平面A1CD； 答案：取A1B1 中点D1，连结BD1、C1D1，可证明C1D1平面ABB1A1，从而C1D1AB1.又由垂线定理可得AB1BD1，CD/C1D1，CDAB1，A1C/BD1，A1CAB1，AB1平面A1CD.（2）若CC1与平面ABB1A1的距离为1，A1C=，AB1=5，求三棱锥A1ACD的体积。答案：由（1）知C1D1平面ABB1A1，CD平面ABB0A1，CC1平面ABB1A1，CC1到平面ABB1A1的距离为CD.即为C-A1AD的高. CD

20、=1,在RtA1CD中，A1C=A1D=设AB1交A1D、D1B于点E、F.A1D/D1B，AD=DB，AE=EF，同理EF=FB1，AE=3 如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，在直线CC1上找一点N，使MNAB1。答案：解析：ABCA1B1C1为正三棱柱，M为BC中点 AMBC，又侧面BCC1B1底面ABC，AM平面BCC1B1. AB1在平面BCC1B1上的射影为B1M，要MNAB1，只须MNB1M即可.如图所示建立直角坐标系，M（）探究开放题预测预测角度 1利用三垂线定理作二面角的平面角1 如图10-28，正三棱术ABCA1B1C1的所有棱长

21、均相等，D是BC上一点，ADC1D（1）求二面角CAC1D的大小；（2）若AB=2，求直线A1B与截面ADC1的距离解题思路 求二面角的大小，一般先利用三垂线定理作出二面角的平面角，再通过解三角形得出结果，二面角有两个半平面，先要分析过哪个半平面内有一点能方便地作出另外一个半平面的垂线，一般利用“有两个面垂直，在一个面内作交线的垂线，则这条线垂直另外一个面”这个性质来作。本题中可以先证平面ADC1平面BCC1B1，再过C作C1D的垂线，则这条线与平面ADC1垂直，再利用三垂线定理作出平面角，第（2）问可求B到平面ADC1的距离。解答（1）如图10-29，ABCA1B1C1为正三棱柱：CC1AD

22、，又ADC1D，AD平面B1BCC1。平面ADC1平面BCC1B1。过C作CEC1D于E，则CE平面ADC1，过E作EFAC1，连接FC，则由三垂线定理知CFE为二面角CAC1D的平面角。设AB=a，D是BC的中点，CE=在RtEFC中，sinEFC=,二面角CAC1D的大小为arcsin(1) 连接A1C，设A1CAC1=O，连接DO，则A1BDO，A1B平面ADC1，A1B到截面ADC1的距离等于B到ADC1的距离，过B作BHC1D，交C1D的延长线于H，由（1）平面ADC1平面BCC1B1得BH平面ADC1，即BH为B到面ADC1的距离BH=EC=直线A1B与平面ADC1的距离为2 如图

23、10-30，ABCD中，PA平面ABCD，M、N、R分别是AB、PC、CD的中点，（1）求证：直线AR平面PMC；（2）求证：直线MN直线AB；（3）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角（锐角）为，能束确定使直线MN是异面直线AB与PC的公垂线，若能确定，求出的值；若不能确定，说明理由。解题思路 证线面平行，先证线线平行，证线线垂直，通过线面垂直转换，这是一般的解题思路，用这种解题思路证（1）、（2）问，第（3）问先作（或找）出这个二面角的平面角，再通过解方程的方法求出的值。解答（1）如图10-30，ABCD为矩形，M、R分别为AB、CD的中点，AMCR，四边形ARCM为平行四边形，ARCM

24、，AR平面PMC。（2）由已知可得ABMR，AB平面PAD，ABPD，又RN为PCD的中位线，NRPD，得AB平面MNR，ABMN。（3）PA平面ABCD，ADDC，PDA为平面PDC与平面ABCD所成的二面角（锐角）的平面角，=PDA。由（2）知MNAB，ABCD，MNCD，又MNPC，MN平面PCD，MNNR，MNR=90，在RtPDA中，设AD=a，PD=，在RtMNR中，NR=PD=能使直线MN是异面直线AB、PC的公垂线。预测角度 2求点到面的距离1如图，PA平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点。（1）求证：AF平面PCE；（2）若二面角PCDB为45，AD=

25、2，CD=3。（i）求二面角PECA的大小；（ii）求点F到平面PCE的距离。解题思路 过AF作一个平面与平面PEC相交，证明AF与交线平行，由于E、F为中点，所以取PC的中点即可；分别作出PCDB和PECA的平面角，求点F到平面PCE的距离可用直接法，也可以用间接解法。解答 （1）如图，取PC的中点M，连接ME、MF，FMCD，FM=CD，AECD，AE=CD，AEMF且AE=MF，四边形AFME是平行四边形。AFEM，AF平面CPE，AF平面PCE。（2）（i）PA平面AC，CDAD，根据三垂线定理知，CDPD，PDA是二面角PCDB的平面角，则PDA=45，于是PAD为等腰直角三角形，过

26、A作CE的垂线交CE的延长线于G，连接PG，根据三垂线定理知PGA为二面角PECA的大小为arctano.(ii)解法一：AFPD，又AFCD，AF平面PCD，而EMFA，EM平面PCD，又EM平面PEC，平面PEC平面PCD，在面PCD内过F作FHPC于H，则FH为点F到平面PCE的距离，由已知PD=2，PF=PD=，PC=，知FH=，F到平面PCE的距离为。解法二：由EMFA，知点F到平面PCE的距离可转化为点A到平面PCE的距离，过点A在面PAG内作ANPG，则AN为点A到平面PCE的距离，可算得AN=。2如图10-33，在棱长为a的正方体，ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AB

27、和BC的中点，EF与BD相交于H。（1）求二面角B1EFB的大小；（2）试在棱BB1上找一点M，使D1M平面B1EF，并证明你的结论；（3）求D1到平面B1EF的距离。解题思路 第（1）问二面角B1EFB的平面角为B1HB；由于面D1DBB1平面B1EF，过D1作D1NB1H并延长交BB1于M，利用平面几何的知识判断M的位置；第（3）问即求D1N。解答 （1）由已知EFAC，ABCDA1B1C1D1为正方体，AC平面BDD1B1，EF平面BDD1B1，B1HB为二面角B1EFB的平面角，在RtB1BH中，B1B=a，BH=a, tanB1HB=B1HB=arctan.即二面角B1EFB的大小为

28、arctan.(2)由（1）知EF平面BDD1B1，平面B1EF平面BDD1B1，过D1作D1NB1H，垂足为N，延长D1N交BB1于M，得，D1M平面B1EF，如图，建立坐标系，则D（0，0）、D1（0,a）、H(),设M（a,y0）,由D1MB1H,得y0=,M为BB1的中点。（3）由（2）D1N为D1到直线B1H的距离，由点到直线的距离可得=D1N=a，D1到面B1EF的距离为a。预测角度 3折叠问题1如图10-35，BCD内接于直角梯形A1A2A3D，已知沿BCD三边把A1BD、A2BC、A3CD翻折上去，恰好使A1、A2、A3重合于A。（1）求证：ABCD；（2）若A1D=10，A1

29、A2=8，求二面角ACDB的大小。解题思路 这是一个折叠问题，解这一类题的关键是分析折叠前后不变的量，不变的位置关系，利用这些不变来解题，第（1）问可证AB平面ACD，由AB平面ACD，利用三垂线定理可作出二面角ACDB的平面角。解答（1）如图10-36，由平面图形中A1BA1D，A1BA2C知，立体图形中ABAC，ABAD，AB平面ACD，ABCD（2）过A作AECD于E，连接BE，CD平面ABE，AEB=为二面角ACDB的平面角，在平面图形中，A1B=A2B=4，A1D=A3D=10，过D作DD1A2A3，在RtA3DD1中可得A3D1=6，A2A3=16。A2C=A3C=8，CD=。在立

30、体图形中，AC=8，AD=10，CD=2，在RtAEC中，AE=8sinACD=,在RtBAE中，tan=tanAEB=二面角ACDB的大小为arctan2如图10-37，已知ABCD中，AD=BC，ADBC，且AB=3，AD=2，BD=，沿BD将其折成一个二面角ABDC，使得ABCD。（）求二面角ABDC的大小；（）求折后点A到面BCD的距离。解题思路 先将平面图形的性质研究清楚，在立体图形中将垂直关系进行转化，可以得出结果。解答 （1）在平面图形中，AD2+BD2=AB2，ADBD，BCBD，在立体图形中，如图10-38，作AH平面BCD于H，连DH、BH，设BH交CD于E。由ADBD得A

31、DH为二面角ABDC的平面角。ABCD，BHCD，在RtBCD中，DE=ADH=60，二面角ABDC的大小为60。（2）由（1）知AH=ADsinADH=2考点高分解题综合训练1 在斜三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，A=90，且BC1AC，过C1作C1H底面ABC，则H在 （ ）A直线AC上B直线AB上C直线BC上DABC的内部答案： B 解析：连AC1，ACAB，ACBC1，且BC1AB=B，AC平面ABC1，又AC平面ABC，H一定交线AB上.2 正四面体内任意一点到各面的距离和为一个常量，这人常量是 （ ） A正四面体的一条棱长 B正四面体后条斜高的长C正四面体的高D以上结论都不

32、对答案： C 解析：正四面体的四个面都全等，设其面积都为S，四面体的高为h，并设正四面体内任一点到四个面的距离分别为h1、h2、h3、h4,则V正四面体=3 设O是正三棱锥PABC底面ABC的中心，过O的动平面与PABC的三条侧棱或其延长线的交点分别记为Q、R、S，则和式满足 （ ）A有最大值而无最小值B有最小值而无最大值C既有最大值又有最小值，最大值不等于最小值D是一具与平面RS位置无关的常量。答案： D 解析：如图，四面体PQRS可以划分为O为公式共顶点，分别以PQR、PRS、PQS为底面的三个三棱锥，由已知可设QPR=RPS=QPS=a，又是O是P-ABC底面ABC的中心，O点到三个侧面

33、的距离相等，设为d,则VPQRS=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS=设PA与平面PBC所成的角为,于是VPQRS=VQ-PRS=4 直线AB与直二面角l的两个地平面分别相交于A、B两点，且A、Bl，如果直线AB与、所成的角分别是1和2，则1+2 （ ）A01+2 D01+2答案： D解析：如图，过A作AA1l于A1，过B作BB1l于B1，连结AB1、A1B，则由a,可得AA，BB1a,得BAA1=1，在RtAA1B中,cosABA1= 5 已知P为锐二面角l内一点，且P到、及棱l的距离之比为1：2，则此二面角的大小为_.答案：75 解析：过P作PA，PB，PA、PB确定的平面与l交于C

34、，则l平面PAB，lPC, PC, BCA为-l-的平面角，分别算出PCA、PCB，得二面角的大小为75.6 球面上有三点A、B、C，每两点间的球面距离都等于R，其中R为球的半径，则过A、B、C三点的截面圆的面积等于_.答案： 解析：由已知AOB=AOC=BOC=AB=AC=BC=，ABC的外接圆的半径为，截面贺圆的面积等于（）2=（R2）.7 如图，在正四棱锥SABCD中，E是BC的中点，P点在侧面SCD内及其边界上运动，并且总有PEAC。（1）证明SBAC；答案：S-ABCD为正四棱锥，O为ABCD的中心，SO平面ABCD，OB为SB在ABCD上的射影，ACBD，SBAC.（2）指出动点P

35、的轨迹，并证明你的结论；答案：如图，N、G分别为SC、DC的中点，则P的轨迹为SCD的中位线GN证明：设H为CD的中点，则GHSO，GH平面ABCD，GN，在下底央上的射出影为NE，ABCD为正方形，NEAC，由三垂线定理知PEAC.（3）以轨迹上的动点P为顶点的三棱锥PCDE的最大体积为V1，正四棱锥SABCD的体积为V，则V1：V等于多少？答案：CDE的面积为定值，当P在G处时，三棱锥P-CDE的体积最大，此时PH=SO，又SCDE：S正方形ABCD=1：4，三棱锥P-CDE的最大体积V1是正四棱锥体积V的，即V1：V=1：8.8 如图，正三棱柱ABCA1B1C1底面边长为a，侧棱长为，D

36、是A1C1的中点。 （1）求证：BC1平面B1DA；答案：如图，连结A1B交AB1于E，则E为A1B的中点，又D为A1C1的中点，DEBC1又DE面AB1D，BC1平面AB1D. （2）求证：平面AB1D平面A1ACC1；答案：A1B1C1为正三角形，D为A1C1中点，B1DA1C1，又ABC-A1B1C1为正三棱柱，B1D平面A1C1CA，又B1D平面AB1D平面A1ACC1 （3）求二面角A1AB1D的大小。答案：过A1作A1FAD于F，由（2）知A1F平面AB1D，过F作FGAB1于G，依据三垂线定理，A1GAB，A1GF为二面角A1-AB1-D的平面角.在RTAA1D中，A1F=在RT

37、A1FG中，sinA1GF=A1GF=45二面角A1-AB1-D为45.9 菱形ABCD的边AB=5，对角线BD=6，沿BD折叠得四面体ABCD，已知该四面体积不小于8，求二面角ABCC的取值范围。答案：解：如图：设BD的中点为O，连结AO、CO，则AO=OC=且AOBD，OCBD AOC=为二面角A-BO-C的平面角.SAOC=AOOCsinAOC=42sin=8 sin,VABCD=AOCBD=16 sin依题意16 sin8，sin又0, 故所求二面角的范围是.10 已知BCD中，BCD=90，BC=CD=1，AB平面BCD，ADB=60E、F分别是AC、AD上的动点，且（01）， 如图

38、。 （1）求证：不论为何值，恒有平面BEF平面ABC；答案：AB平面BCD，ABCD，CDBC且ABBC=B，CD平面ABC.又不论取何值，恒有EFCD，EF平面ABCEF平面BEF，不论取何值，恒有平面BEF平面ABC.（2）当为何值时，平面BEF平面ACD。答案：由（1）知，BEEF，又平面BEF平面ADCBEAC，BC=CD=1，BCD=90，AOB=60，BD=，AB=tan60=,AC=，由AB2=AEAC得AE=，故当=时，平面BEF平面ACD.11 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a,BB=3a,Do A1C1的中点。（1）求BE

39、与A1C所成的角；答案：如图，取A1B的中点M，连结MB，E为B1C的中点，EMA1C，EM=A1CMEB（或补角）为直线BE与A1C所成的角.（2）在线段AA1上是否存在点F，使CF平面B1DF，若存在，求出AF；若不存在，请说明理由。答案：假若在AA1上存在点F，使CF平面B1DF，ABC-A1B1C1为直棱柱，平面A1B1C1平面ACC1A，又A1B1=B1C1，D为A1C1的中点，B1DA1C1，B1D平面A1ACC1，B1DCF，所以只需CFB1F即可。设AF=x,则B1F2=2a2+（3a-x）2,CF2=x2+4a2,B1C2=11a2, x=a，或2a.12 如图，直三棱柱AB

40、CA1B1C1中，ACB=90，BC=AC=2，AA1=4，D为棱CC1上一动点，M、N分别为ABD、A1B1R的重心。（1）求证：MNBC；答案：如图，连结DM并延长交AB于E，则E为AB的中点，连结DN并延长交A1B1于F，则F为A1B1的中点，且MNEF，又EFBB1，BB1BC，EFBC，MNBC.（2）若二面角CABD的大小为arctan,求C1到平面A1B1D的距离；答案：BC=AC，E为AB的中点，CEAB，又DC平面ABC，由三垂线定理知DEAB，CED为二面角C-AB-D的平面角，tanCED=又CE=，CD=2，D为CC1的中点，C1D=2 VD-A1B1C1=VC1-A1

41、B1D=222=h(2)2, h=.（3）若点C在平面ABD上的射影恰好为M，试判断点C1在平面A1B1D上的射影是否为N？并说明理由。答案：由已知CM平面ABD，CMDE,在RtDCE中，DM：ME=2：1，CE=，DE=2，D为CC1的中点，由对称性知C1N平面A1B1DC1在平面A1B1D上的射影是N.13 如图，在直三棱术ABCA1B1C1中，ACB=90，B1B=BC=CA=4，D1是A1B1中点E是BC1的中点，BD1交AB1于点F（1）求证：AB1BC1；答案：解：ABC-A1B1C1是直三棱柱，ACBC，AC平面B1C1CB，AB1在平面B1C1CB上的射影为B1C，又由已知B

42、1C1CB为正方形，BC1B1C根据三垂线定理，可得AB1BC1.（2）求二面角BAB1C的大小；答案：由（1）BC1AB1，又BC1BC, BC1平面AB1C利用平面几何的知识知：在平面ABB1A1内，AB1BD1EFAB1，BFE为二面角B-AB1-C的平面角.BE=在RtABB1中，BF=,在Rt中，sinBFE=BFE=60，二面角B-AB1-C的大小为60.（3）求点C到平面BEF的距离。答案：(解法一) E为B1C的中点，C到平面BEF的距离等于B1到平面BEF的距离，ABC-A1B1C1为直棱柱，A1C1=B1C1，D1为中点，C1D1A1B1，C1D1平面A1B1BA，CD1B

43、1F，又由（2）知B1FBD1，B1F平面BEF，B1F为B1到面BEF的距离，B1F=，C到平面BEF的距离为.(解法二)由（2）知BC1EF于M，得CM平面BEF，可算得CM=，C到平面BEF的距离等于.14 如图，ABCD是边长为a的正方体，M、N分别在边DA、BC上滑动，且MNAB，AC与MN交于点O，现把平面MNCD沿MN折成120的二面角，使它到平面MNEF位置。（1）求证：不论MN怎样平行移动，AOE的大小不变；答案：设BN=x，则EN=a-x,易知MN平面BEN，BNE=120，BE2=x2+(a-x)2+x(a-x)=x2-ax+a2,又AB平面BEN，ABBE，易得AE2=

44、x2-ax+2a2,而AO=x,EO=(a-x),故cosAOE=，即不论MN怎样平行移动，AOE的大小不变.（2）当A、E两点间的距离最小时，证明：平面AOE平面ABE。答案：AE2=x2-ax+2a2=(x-)2+,当x=时，AE有最小值，此时M、N分别AD、BC中点，EN=BN=CN，CEBE，又AB平面ABE，而CE平面AOE，故平面AOE平面ABE.考点11空间向量求异面直线所成的角求直线与平面所成的角求二面角的大小求距离利用空间向量解立体几何中的探索问题利用空间向量求角和距离经典易错题会诊命题角度 1求异面直线所成的角1（典型例题）如图11-1，四棱锥PABCD的底面为直角梯形，A

45、BDC，DAB=90，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（1）证明：面PAD面PCD；（2）求AC与PB所成的角；（3）求面AMC与面BMC所成二面角A-CM-B的大小。考场错解 第（2）问。PA底面ABCD，且DAB=90AD、AB、AP两两互相垂直，建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），B（0，2，0），P（0，0，1），=（1，1，0），=（0，-2，1），cos=AC与PB所成的角为arccos(-).专家把脉 上述错解中有两个错误：（1）的坐标应用B的坐标减P的坐标，=（0，2，-1）；（2）异面直线所成角的范围不正确，公式记忆不准

46、确，实际上异面直线所成的角的范围不正确，公式记忆不准确，实际上异面直线所成的角的范围为（0，90），而arccos(-)为钝角，cos=对症下药 （1）PA底面ABCD，PACD，又CDAD，CD平面PAD，又CD 平面PCD，平面图PAD平面PCD。（2）PA底面ABCD，PACD，PAAB，又ADAB，可以建立如图所示空间坐标系，则由已知A（0，0，0）、C（1，1，0）、B（0，2，0）、P（0，0，1）=（1，1，0），=（0，2，-1），设与PB成角为，则cos=,AC与PB所成的角为arccos.(3) M为PB的中点，M（0，1，），=（0，1，），=（1，1，0）设n1=(x,

47、y,z)为平面AMC的法向量，则n1,n1,y=z=0,x+y=0,令x=1,得y=-1,z=2, n1=(1,-1,2)为平面AMC的一个法向量，同理可求得n2=(1,1,2)为平面BMC的一个法向量，n1、n2的夹角为arccos,而从图中可看出A-MC-B为钝角，二面角A-CM-B的大小为。2（典型例题）如图11-2，在直四棱术ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，ADDC，ACBD，垂足为E。（1）求证BDA1C；（2）求二面角A1-BD-C1的大小；（3）求异面直线AD与BC1所成角的大小。考场错解第（3）问，由已知AD、DC、DD1两两互相垂直，建立如图

48、所示的空间直角坐标系，A（2，0，0）、D（0，0，0）、B（2，2，0）C1（0，2，）（-2，0，0）=（-2，0，）。cos=AD与BC1所成的角为arccos.专家把脉 B点坐标计算错误,其实质是位置关系未分析清楚,错误地认为ABAD,BCCD,本题还会出现以BD为x轴,DC为y轴,DD1为z轴的建立坐标系的错误.对症下药 (1) ABCDA1B1C1D1为直四棱柱。AA1底面ABCD，A1C在底面ABCD上的射影为AC，又由已知AC依三垂线定理可得BDA1C。（2）如图，以D为坐标原点，DA、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。连接A1E1、C1E1、AG1。与

49、（1）同理可证，BDA1E1，BDC1E1，A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角。由A1（2，0）、C1（0，2，）、E（），得即EA1EC1。二面角A1-BD-C1的大小为90。（3）在平面ABCD中，过A作BFAD，交DA的延长线于F，由AD=2，CD=2，得AC=4，DAE=60，AE=1，在RtAEB中，AB=2，AE=1，BAE=60，在RtAFB中AB=2，BAF=60，BF=，AF=1，DF=2+1=3，B的坐标为（3，0）由D（0，0，0）、A（2，0，0）、C1（0，2，）、B（3，0），得cos（、）=，异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos。本题还可以E为坐

50、标原点，EB、EC分别为x轴和y轴，则z轴与AA1平行，E（0，0，0）、A1（0，-1，）、C1（0，3，）B（，）0，0）、D（-，0，0）、A（0，-1，0），其中A1、D、A的坐标容易求错。专家会诊利用空间向量求异面直线所成的角，公式为cos关键是正确地建立坐标系进而写出各有关点的坐标，建立坐标会出现用三条两两不垂直的直线作x轴、y轴、z轴的错误，还会出现用三条两两互相垂直但不过同一点的三条直线作x轴、y轴、z轴的错误。写点的坐标也容易出现错误，学习时要掌握一些特殊点坐标的特点，如x轴上的点坐标为（a，0，0），xoz面上的点坐标为（a,0,b）等，其次还应学会把某个平面单独分化出来，

51、利用平面几何的知识求解，如本节的例2，求B的坐标。考场思维训练1已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2a,高为b，求异面直线AC1和A1B所成的角。答案：如图：ABC-A1B1C1为正三棱柱，AA1平面空间直角坐标系.则A（0，0，0）、A1（0，0，b）、B（a,a,0）、C1（2a,0,b）, cos=AC1与A1B所成的角为arc cosAC1与A1Ba所成的角为-arc cos.2如图11-4，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是D1D，BD的中点，G在CD上，且CG=CD，H为C1G的中点。（1）求证：EFB1C；答案：建立如图所示的空间直角坐标系，由已知

52、有E（0，0，）、F（，0）、C（0，1，0）、B1（1，1，1）、G（0，0）（1）EFB1C.（2）求EF与C1G所成角的余弦；答案：(0,0)-(0,1,1)=(0,-,-1),cos=（3）求FH的长。答案：由中点坐标公式，得H的坐标为（0，）又F（，0）, (-,),FH=3如图11-5 四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，BC=2。（1）求证：平面PAD平面PCD；答案：由已知PA平面ABCD，又ABCD为矩形，CDAD, CD平面PAD，面PAD面PCD.（2）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；答案： A(0,0,0)、P（

53、0，0，1）、D（0，2，0），E为PD中点，E(0,1, )、C（1，2，0），AE与PC所成角的余弦值为（3）在BC边上是否存在一点G，使得D点在平面PAG的距离为1，如果存在，求出BG的值；如果不存在，请说明理由。答案：假设BC边上存在一点G满足D到PAG的距离为1，设G（1，y ,0）,则=（0,0,1）=(1,y,0),设n=(a、b、c)为平面PAG的一个法向量，由n,得c=0,由n，得a+by=0,令a=1,得b=-,n=(1, -,0)为平面PAG的一个法向量，d=,解得y=,BC上存在一点G，BG=，使得D到平面PAG的距离为1.命题角度 2求直线与平面所成的角1（典型例题）如图在三棱锥PABC中，ABBC，AB=BC=KPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC。（1）当k=时，求直线PA与平面PBC所成角的