因式分解(一)

1、第一节课的因数分解(a)多项式的因式分解是因式恒等变形的基本形式之一，广泛应用于初等数学，是解决很多数学问题的有力工具。保理方法灵活，技术力量强，学习这些方法和技巧不仅对掌握保理内容有必要，而且对开发学生的问题解决技术和发展学生的思维能力也有着非常独特的作用。中学数学教科书中主要介绍了公认法提取、公式法使用、分组分解法、十字乘法。本讲座和下一讲决定以中学数学教材为基础，进一步介绍人造分解方法、技法和应用。1.使用公式方法我在整数乘法，除法中学了一些乘法公式，现在反向使用是因数分解中常用的公式。例如：(1)a2-B2=(a b)(a-b)；(2)a22 abb 2=(ab)2；(3)a3 B3=

2、(a b)(a2-ab B2)；(4) a3-B3=(a-b) (a2 ab B2)。以下是一些常用公式的补充：(5)a2 B2 c22ab 2bc 2ca=(a b c)2；(6)a3 B3 C3-3 ABC=(a b c)(a2 B2 C2-a B- BC-ca)；(7) an-bn=(a-b) (an-1 an-2b an-3b2.ABN-2 bn-1)，其中n是正整数。(8) an-bn=(a b) (an-1-an-2b an-3 B2-.ABN-2-bn-1)，其中n是偶数。(9) an bn=(a b) (an-1-an-2b an-3 B2-.-ABN-2 bn-1)其中n是奇

3、数。使用修饰法分解因子时，要根据多项式的性质，根据字母、系数、指数、符号等准确地选择公式。范例1分解引数：(1)-2x5n-1yn 4x3n-1yn 2-2xn-1yn 4；(2)x3-8 y3-z3-6 XYZ；(3)a2 B2 C2-2bc 2ca-2ab；(4) a7-a5b2 a2 b5-B7。解决方案(1)原始=-2xn-1yn (x4n-2x2y2 y4)=-2xn-1yn(x2n)2-2x2ny2 (y2)2=-2xn-1yn(x2n-y2)2=-2xn-1yn (xn-y) 2 (xn y) 2。(2)预设=x3 (-2y)3 (-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z

4、) (x24 y2 z2 2xyxz-2yz)。(3)原始=(a2-2ab b2) (-2bc 2ca) C2=(a-b) 2c (a-b) C2=(a-b c) 2。这个问题可以稍微变形，直接使用公式(5)，解决方法如下：原始=a2 (-b)2 C2 2(-b)c 2ca 2a(-b)=(a-b c)2(4)基本=(a7-a5b2) (a2b5-b7)=a5(a2-b2) b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5 b5)=(a b) (a-b) (a b) (a4-a3b a2-ab3 B4)=(a b) 2 (a-b) (a4-a3b a2-ab3 B4)范例2分解引数：a3 B3 c3-

5、3abc.这个问题实际上是用因数分解方法来证明前面给出的公式(6)。分析我们已经知道公式了(a b)3=a3 3a2b 3ab2 B3准确地说，现在这个公式A3b3=(a b) 3-3ab (a b)。这个样式也是常用的公式，这个问题是用它推导出来的。解决方案=(a b)3-3ab(a b) c3-3abc=(a b) 3 C3-3ab (a b c)=(a b c) (a b) 2-c (a b) C2-3ab (a b c)=(a b c) (a2 B2 C2-a b-BC-ca)。说明公式(6)是非常广泛使用的公式，例如，公式(6)可以有多种变化，如下所示A3 B3 c3-3abc显然，

6、当a b c=0时，a3b3 C3=3 ABC如果A b c 0，则只有当a3 B3 c3-3abc0、a3 B3 c33abc、a=b=c时，等号才成立。如果X=a30，y=b30，z=c30，则等号成立的先决条件是x=y=z。也是一般的结论。示例3分解因子：x15x14x13.x2 x 1。分析这个多项式的特点是，有16个恒等式，从最大阶x15开始，x的次数减少到0，从而分解了n-bn的公式。解决方案X16-1=(x-1) (x15x14x13.x2 x 1)、所以解释了在这个问题的分解过程中，用(X-1)乘以(X-1)再除以(X-1)的方法，该方法经常用于等式变形。2.移除项目，新增项目

7、因数分解是多项式乘法的逆向运算。在多项式乘法运算中，将多个相同项目整理、简化或仅与符号相反的两个相同项目相互抵消为零。分解一些多项式时，需要恢复耦合或相互抵消的项。也就是说，将多项式的一个项目分割为两个或多个项目，或者在多项式的情况下，添加仅对应于彼此相反的两个项目。后者称为添加。项目，添加的目的是使多项式可以作为分组分解方法进行自变量分解。示例4分解因子：x3-9x8。分析这个问题有多种解法。这里只介绍注意分解项目，追加项目的目的和方法的几种解法。解法1将常数8分解为-1 9。原始=x3-9x-1 9=(x3-1)-9x 9=(x-1)(x2 x 1)-9(x-1)=(x-1) (x2 x-

8、8)。解决方案2将一次-9x分离为-x-8x。基本=x3-x-8x 8=(x3-x) (-8x 8)=x(x 1)(x-1)-8(x-1)=(x-1) (x2 x-8)。解决方案3包含3个项目x3，9x3-8x3。以将其分离。原始=9x3-8x3-9x 8=(9x3-9x) (-8x3 8)=9x(x 1)(x-1)-8(x-1)(x2 x 1)=(x-1) (x2 x-8)。解决方案4添加两个-x2 x2。基本=x3-9x 8=x3-x2 x2-9x 8=x2(x-1) (x-8)(x-1)=(x-1) (x2 x-8)。说明这个问题，通过分解项目和添加项目的方法分解元素时，没有一定的规则来

9、分解什么和添加什么，主要是根据对主题特性的观察灵活地变换项目，因此，分解项目和添加项目的方法是其原因分解方法中最有技巧的。示例5分解参数：(1)x9x 6 x3-3；(2)(m2-1)(N2-1)4 Mn；(3)(x 1)4(x2-1)2(x-1)4；(4) a3 b-ab3 a2 B2 1。将解决方案(1) -3分离为-1-1-1。基本=x9 X6 x3-1-1-1=(x9-1) (x6-1) (x3-1)=(x3-1)(X6 x3 1)(x3-1)(x3 1)(x3-1)(x3-1)=(x3-1)(x6 2x3 3)=(x-1) (x2 x 1) (X6 2x3 3)。(2) 4mn到2m

10、n 2mn。分解为。基本=(m2-1)(n2-1) 2mn 2mn=m2n2-m2-n2 1 2mn 2mn=(m2n2 2mn 1)-(m2-2mn N2)=(mn 1)2-(m-n)2=(Mn m-n 1) (Mn-m n 1)。(3) 2到2 (x2-1)2-(x2-1) 2。原始=(x 1)4 2(x2-1)2-(x2-1)2 (x-1)4=(x 1)4 2(x 1)2(x-1)2(x-1)4-(x2-1)2=(x 1) 2 (x-1) 2 2-(x2-1) 2=(2x2) 2-(x2-1) 2=(3x21) (x23)。(4)添加两个a b-ab。原始=a3b-ab3 a2 B2 1

11、 ab-ab=(a3b-ab3) (a2-ab) (ab B2 1)=ab(a b)(a-b) a(a-b) (ab B2 1)=a (a-b) b (a b) 1 (ab B2 1)=a(a-b) 1(ab B2 1)=(a2-ab1) (B2 ab1)。说明(4)是更难的主题。分解后的人脉结构复杂，添加ab-ab不容易。然后添加项目后分成三组的是免息犹大。先分解前两个组，然后与第三个组组合，寻找共同因子。通过这个问题，我们认识到有拆解、添加项目方法的强大技巧，学生们要多练习，积累经验。3.轮回转世法替换法是指将一些更复杂的代数看作整体，并用新的字代替整个，从而使计算过程简洁明了。范例6分解

12、引数：(x2 x 1) (x2 x 2)-12。分析是关于x的四次多项式的，分解更困难。如果将x2 x看作一个整体，并将其替换为字符y，则原始问题将转换为关于y的二次三元因数分解问题。如果设置X2 x=y来源=(y 1)(y 2)-12=y2 3y-10=(y-2)(y 5)=(x2 x-2)(x2 x 5)=(x-1) (x 2) (x2 x 5)。说明文也可以认为x2 x 1是一个整体。与今天的x2 x 1=u相比，可以得到相同的结果。感兴趣的学生可以试一试。示例7分解参数：(x2 3x2) (4x2 8x3)-90。分析分解两个括号内的多项式，然后重新组合。解决方案=(x 1)(x 2)

13、(2x 1)(2x 3)-90=(x 1)(2x 3)(x 2)(2x 1)-90=(2x2 5x3) (2x2 5x2)-90。Y=2x2 5x 2来源=y(y 1)-90=y2 y-90=(y 10)(y-9)=(2x12 5x12) (2x2 5x-7)=(2x12 5x12) (2x7) (x-1)。描述多项式的适当常数变化是我们寻找新元素(y)的基本。示例8分解参数：(x24x8) 2x3 (x24x8) 2x2。如果设置X2 4x 8=y预设=y2 3xy 2x2=(y 2x)(y x)=(x2 6x 8)(x2 5x 8)=(x 2) (x 4) (x25x8)。说明可以从这个问

14、题中看出，分解因子时，不需要用新元素全部代替原里的元素，根据标题要求引入必要的新元素，原里的参数和新参数可以一起变形，替换方法的本质是简化多项式。示例9分解参数：6x4 7x3-36x2-7x6。解决方案1基本=6 (x41) 7x (x2-1)-36x2=6 (x4-2x12 1) 2x2 7x (x2-1)-36x2=6 (x2-1) 2x2 7x (x2-1)-36x2=6(x2-1)2 7x(x2-1)-24x2=2 (x2-1)-3x 3 (x2-1) 8x=(2x2-3x-2)(3x2 8x-3)=(2x1) (x-2) (3x-1) (x 3)。说明此解决方案实际上将x2-1视为

15、一个整体，但不会设置替换它的新元素。也就是说，在熟练使用转换方法后，并非所有问题都设置新元素来代替整体。解决方案2原始=x26(t2 2) 7t-36=x2(6t2 7t-24)=x2(2t-3)(3t 8)=x22(x-1/x)-33(x-1/x) 8=(2x2-3x-2)(3x2 8x-3)=(2x1) (x-2) (3x-1) (x 3)。范例10分解引数：(x2 xy y2)-4xy (x2 y2)。分析这个问题，两个字的位置互换。这个多项式叫做二元对称。对于难以分解的二进制对称式，u=x y，v=xy，通常用转换方法分解参数。解决方案=(x y) 2-xy 2-4xy (x y) 2-2xy。如果命令x y=u，xy=v原始=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v 9v2=(u2-3v)2=(x2 2xy y2-3xy)2=(x2-xy y2) 2。练习11.分解参数(2)x10x 5-2；(4) (X5 x4x3 x2 x 1) 2-X5。2.分解参数：(1)x3 3x 2-4；(2)x4-11x2y 2 y2；(3)x3 9x 226 x24；(4) x4-12x33。3.分解参数：(1)(2 x2-3 x1)2-2