梁保松《线性代数》习题三解答(本人亲自求解)习题三

1、第三章线性方程组 习题三习题三 1.1.判断下列命题是否正确并说明理由判断下列命题是否正确并说明理由. . （1）用高斯消元法解线性方程组时，对增广矩阵的初等变换，仅限于行及交换 两列的变换； 解 正确。 （2）无论对于齐次还是非齐次的线性方程组，只要系数矩阵的秩等于未知量的 个数，则方程组就有唯一解； 解 不正确。缺少条件( )( )AA rr，否则非齐次的线性方程组可能无解。 （3）n个方程n个未知量的线性方程组有唯一解的充要条件是方程组的系数矩 阵满秩； 解 正确。系数矩阵满秩( )( )AA rrn 线性方程组有唯一解 （4）非齐次线性方程组有唯一解时，方程的个数必等于未知量的个数；

2、解 不正确。非齐次线性方程组有唯一解时，( )( )AA rr未知量的个数，而方 程的个数未必等于未知量的个数，例如 123 123 123 123 233, 350, 43, 3136, xxx xxx xxx xxx 2133100 1 315 0010 2 4113001 1 1313 6000 0 ， 1 2 3 1, 2, 1. x x x （5）若齐次线性方程组系数矩阵的列数大于行数，则该方程组有非零解； 解 正确。设 1 ,AX= oA m nn nmrmn，方程组有非零解 （6）三个方程四个未知量的线性方程组有无穷多解； 解 不正确。 对于齐次线性方程组正确， 见 （5） .

3、对于非齐次线性方程组不正确， 缺少条件( )( )AA rr，非齐次的线性方程组可能无解。 （7）两个同解的线性方程组的系数矩阵有相同的秩； 第三章线性方程组 解 正确，设,AX = bCX = d同解（无解除外） ，即两个线性方程组的增广矩阵 经行初等变换后得到的最简形矩阵完全相同（除零行个数可能不同外。这是因为两个 方程组的方程个数可能不同，但未知量个数必相同） ，故最简形中系数矩阵、增广矩 阵均相同的秩，即两个方程组的系数矩阵,A C及其增广矩阵都有相同的秩。 （8）两个皆为三个方程四个未知量的方程组，若它们的系数矩阵有相同的秩， 则两个方程组同解. 解 不正确。它们的系数矩阵有相同的秩

4、，对于非齐次线性方程组来说，增广矩 阵的秩未必相同。若增广矩阵的秩不相同，则至少有一个非齐次线性方程组无解。 即使系数矩阵、增广矩阵的秩相同，但最简形未必相同，此时也不同解。 3.3.讨论讨论p取何值时取何值时，下述非齐次线性方程组无解下述非齐次线性方程组无解，有唯一解有唯一解，有无穷多解有无穷多解？在在 有解时求解有解时求解. . 123 2 123 123 4, , 24. xxpx xpxxp xxx 解 13 21 31 22 1141124 110134 11240228 rr rr rr p pppp p 32 2 2 3 2 1124 0134 01 (4) 30 24 (4)

5、3 p rr pp pp ppp 当1p 时，( )3,( )2AA rr，无解； 当4p 时有无穷多解，可解得 123 3 ,4,xkxkxk (k为任意常数). 第三章线性方程组 当1, 4p 时有唯一解，可解得 22 123 2242 , 111 ppppp xxx ppp ； 4.4.当当, a b取何取何值时值时，线性方程组无解线性方程组无解？有唯一解有唯一解？有无穷多解有无穷多解？在有解的情况下在有解的情况下 求出它的全部解求出它的全部解. . 1234 234 234 1234 0, 221, (3)2, 321. xxxx xxx xaxxb xxxax 解 41 32 42

6、3 1111011110 0122101221 013200101 321100010 rr rr rr abab aa ， 可见，当1a 时 （1）1b 时无解， （2）1b 时有无穷多解，无穷多解为： 1122123142 1,122,xkkxkkxkxk ( 12 ,k k 为任意常数). 当1a 时有唯一解 1234 2231 ,0 111 baabb xxxx aaa ； 5.5.设设 121 232 343 454 515 , , , , . xxa xxa xxa xxa xxa 证明该方程组有解的充分必要条件是证明该方程组有解的充分必要条件是 5 1 0 i i a . .在有

7、解的情况下在有解的情况下，求出它的全部解求出它的全部解. . 第三章线性方程组 证证 1 1 2 2 53 3 4 4 5 5 i 1 1100011000 0110001100 0011000110 0001100011 1000100000 各行加到第 行 i a a a a a a a a aa ， 可见，方程组有解的充分必要条件是 5 1 0 i i a ，此时可求得解为 112342234334 ,xaaaakxaaakxaak 44 ,xak 5 xk.(k为任意常数). 6.6.判断下列命题是否正确并说明理由判断下列命题是否正确并说明理由. . （1）两个向量线性相关，则这两个向

8、量可互相线性表示； 解错误，两个向量线性相关 两个向量成比例，但未必可互相线性表示，例 如，若对于, 00 ，有,00 但 无法由线性表示 （2）向量组 12 , s （3s ）两两线性无关，则该向量组线性无关； 解错误，对于多于两个向量的向量组，若两两线性无关，不能保证整体无关。 例如，向量组 123 123 235 347 ，两两不成比例，即两两线性无关，但 312 。 （3）向量组 123 , 线性相关，则 3 必可由 12 , 线性表示； 解错误，向量组 123 , 线性相关，只能说明存在某个向量可由其余向量线性 表示，不一定是 3 必可由 12 , 线性表示。例如 23 , ， 23

9、 00 ，而非零向量 第三章线性方程组 23 , 可能线性无关，此时 23 , 都不能用其余向量线性表示。 （4）若对于任意一组不全为零的数 12 , m k kk，都有 1122mm kkko， 则 12 , m 线性无关； 解正确，若对于任意一组不全为零的数 12 , m k kk，都有 1122mm kkko 只有 12 0 m kkk时， 1122 o mm kkk，即 12 , m 线性无关； （5）若对任意一组不全为零的数 12 , m k kk，使得 11221122mmmm kkkkkko， 则 12 , m 线性相关， 12 , m 线性相关； 解错误，若令 ii，则无论12

10、 , m 是否线性相关，则都有 11221122111222 o mmmmmmm kkkkkkkkk （6）A为n阶方阵，0A ，则A中必有某一行（列）可以由其余行（列）线 性表示. 解正确，（反证） 若任一行都不能由其余行线性表示， 则应用行初等变换可将A 化为具有n个非零行的阶梯形矩阵，绝对不会出现零行（否则，零行对应的A的这一 行必可由其余行线性表示） ，故A满秩，即0A ，与条件矛盾。 9.9.把向量把向量表示成向量表示成向量 1234 , 的线性组合的线性组合. . （1） 123 (1,1,1,1),(1,1, 1, 1),(1, 1,1, 1), 4 (1, 1, 1,1) ，(

11、1, 2,1,1)； （2） 123 (1,1,0,1),(2,1,3,1),(1,1,0,0), 4 (0,1, 1, 1) ，(0, 0, 0,1). 解 11223344 xxxx，将具体分量代入，解方程组即可。 第三章线性方程组 （1） 1234 5111 4444 ；（2） 1234 00 . 10.10.判断下列向量组的线性相关性判断下列向量组的线性相关性： （1） 123 (1,1,1),(0, 2,5),(1,3,6)； （2） TTT 123 (1,1, 2, 4) ,(0,3,1, 2) ,(3, 0, 7,14)； （3） TTT 123 (1,1,3,1) ,(4,1,

12、3, 2) ,(1, 0,1, 2) . 解方法一： 应用定义一， 从中找出某个向量， 这个向量可由其余向量线性表示； 方法二：应用定义二，构造 112233 xxx，解方程组，判断解的情况。 线性无关 方程组有唯一解； 方法三：对向量组构造矩阵，求矩阵的秩。若秩小于向量个数，则线性相关； 若秩等于向量个数则线性无关。 （1）线性相关； （2）线性相关； （3）线性无关. 11.11.设设 112223334441 ,证明向量组证明向量组 1234 , 线性相关线性相关. . 证 设存在一组常数 1234 ,k k k k 使 112223334441 O kkkk， 即 1411222333

13、44 O. kkkkkkkk 因向量组 1234 , 线性无关，则有 第三章线性方程组 14 12 23 34 0, 0, 0, 0. kk kk kk kk 10011001 11000101 01100011 00110000 ， 其系数矩阵的秩等于 3，故方程组有非零解，即线性相关. 13.13.证明向量组证明向量组 12 (1, 1,4),(1,0,3)与向量组与向量组 12 (1,1,2),(0, 1,1)等价等价. 证 对 1212 (,) 作初等行变换, 有 1212 11 101011 (,)10 1101 21 43 2100 00 121212 (,)(,) rr, 即方程

14、组 1122 (1,2) i xxi有解，所以, 12 , 可由 向量组 12 , 线性表示 同理， 121212 (,)(,) rr， 即方程组 1122 (1,2) i xxi有解， 所以 12 , 可由向量组 12 , 线性表示。 14.14.判断下列命题是否正确并说判断下列命题是否正确并说明理由明理由. . （1）等价的向量组所含向量的个数相同； 解错误，等价的线性无关向量组所含向量的个数相同 （2）向量组 1 Q 与 2 Q 的极大线性无关组等价，则 1 Q 与 2 Q 等价； 解正确， 1 Q 等价于 1 Q 的极大线性无关组， 1 Q 的极大线性无关组等价于 2 Q 的极 第三章

15、线性方程组 大线性无关组， 2 Q 的极大线性无关组等价于 2 Q ，则 1 Q 与 2 Q 等价。 （3）若向量组的秩为r，则向量组中任意r个线性无关的向量构成向量组的极大 线性无关组； 解正确 ， 若向量组的秩为r， 即向量组的极大线性无关组所含向量的个数为r. 若某个含r个向量的线性无关的向量组不是向量组的极大线性无关组，则向量组的极 大线性无关组所含向量的个数必大于r，与向量组的秩为r矛盾。 （4）对矩阵作行初等变换不改变矩阵的行秩； 解正确，矩阵的秩=行秩=列秩，因初等变换不改变矩阵的秩，因此无论行变换 还是列变换都不会改变行秩和列秩。 （5）对矩阵作列初等变换不改变矩阵的行秩； 解

16、正确，见（4） 。 （6）因为矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩，所以矩阵的行向量组与列向 量组等价. 解错误。 我们知道，同维数的行向量（或列向量）等价 向量组的秩相等。 事实上，n维向量组 12s12 , 等价于 t 线性方程组 11 (1,2, ) ssi xxit ， 11 (1,2, ) ttj xxjs， 均有解 对 1212 (,) st 作初等行变换， 111 (,)(,) sst rr， 111 (,)(,) tts rr， 即 11 (,), st rr. 对于本题，矩阵的行向量组与列向量组的形式不同，无法互相表示。即使转置以 后，他们的维数也未必相同。 15.用求矩阵秩的

17、方法分别判断下列各组向量的线性相关性，然后求出各向量组 的秩及各向量组的一个极大线性无关组， 并将各向量组其余的向量用其极大线性无关 第三章线性方程组 组线性表示. （3） 123 (1, 2, 1,0, 2),(1, 2,1, 3,3),(2, 1, 0, 2,3)， 4 (3,3,3,3, 4) . 解把向量组按列排成矩阵A，用初等行变换把A化为简化的行阶梯形矩阵C， 求出C的列向量组的一个极大线性无关组，与其相应的A中的列就是A的列向量组 的一个极大线性无关组. 构造 TTTT 1234 ,A ，则 1 234 11231004 22130101 11030013 03230000 23

18、340000 AC 可见( )3rC， 因此， 向量组 1234 , 的极大线性无关组含有 3 个向量.因为C 第一、二、三列向量 123 , 线性无关，故与其对应的矩阵A中的 TTT 123 ,线性无 关，从而 123 , 就是所求向量组的一个极大线性无关组. 由矩阵C， 4123 43 ，所以有 4123 43 . 16.设有向量 123 (1,1, 2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14), 4 (1, 1,2, 0), 5 (2,1,5, 6)， （1）证明 12 , 线性无关； （2）求包含 12 , 的极大线性无关组. 解（1）因 12 , 不成比例，故 12 , 线性无

19、关. （2）为求包含 12 , 的极大线性无关组，构造 TTTTT 12345 ,A ，则 第三章线性方程组 34125 34512 1031210301 1301101101 2172500011 42140600000 TTTTT AC 可见( )3rC， 因此， 向量组 1234 , 的极大线性无关组含有 3 个向量.考虑C 中包含 12 , 的 12345 , 的极大线性无关组： 第一、二、四列向量 124 , 线性无关，故与其对应的矩阵A中的 TTT 124 ,线 性无关，从而 124 , 就是所求向量组的一个极大线性无关组. 第一、二、五列向量 125 , 线性无关，故与其对应的矩

20、阵A中的 TTT 125 ,线 性无关，从而 125 , 就是所求向量组的一个极大线性无关组. 17.设向量组 12 , r 线性无关，若向量组 12 , s 中的每个向量都可由向 量组 1, 2, , r 线性表出，且sr，则 12 , s 线性相关. 证由 12 , s 中的每个向量都可由向量组 1, 2, , r 线性表出，即存在矩 阵A，使得 1212 , sr A. 因sr，则 121212 ,min, srr srr s RRRRrS A A， 即 12 , s RS ，故 12 , s 线性相关. 注 参见 98 页定理 1 之推论，结论显然。可见，题中条件“向量组 12 , r

21、 线 性无关”是多余的。 第三章线性方程组 18.证明秩为r的向量组中，任何1r 个向量一定线性相关. 证设向量组A的秩为r， 即向量组A的极大线性无关组含有r个向量。 A， 则 必可由该极大线性无关组线性表示，即任何1r 个向量一定线性相关. 19.若向量 可由向量组 m , 21 线性表示， 而向量 m , 21 又可由向量 组 1, 2, , p 线性表示，证明向量 可由向量组 12 , p 线性表示. 证 不妨设向量为列向量，由题意， 121 , mm K， 1212 , mpp m B， 则 121121121 , mmpp mmpp KBKC 即向量 可由向量组 12 , p 线性

22、表示. 20.设 T 1121212 ( ,),0 nnn x xxx xxxxxVxR， T 2121212 ( ,),1 nnn x xxx xxxxxVxR. 问 12 ,VV 是不是向量空间，为什么？若是向量空间，求其基和维数. 解 1 V是， 2 V不是. 对于 1 V，因 T 11212 ,(,) ,0, nn a aaaaa V T 1212 ( ,) ,0, nn b bbbbb T 11221122 (,) ,0, nnnn ab ababababab 而 故 1 V . 而 T 11212 ,(,) ,0, nn kkka kakakakaka VR, 故 1 k V .

23、因此 1 V 是向量空间.且 1 V的维数为1n（因有约束 12 0 n xxx） ，且基 第三章线性方程组 为 ( 1,1,0,0,0),( 1,0,1,0,0),( 1,0,0,0,1). 同理， 2 V不是向量空间. 21.验证 TTT 123 (1, 1,0) ,(2,1,3) ,(3,1,2)是 3 R 的一个基，并用这个基分别 表示向量 T 1 (5,0,7)和 T 2 ( 9,8,13) . 解因为 123 ,A , 123 ,0A ,故 TTT 123 (1, 1,0) ,(2,1,3) ,(3,1,2) 线性无关， 3 R 中任意 3 个线性无关的向量都是 3 R 的基。因为

24、 12312 100 23 ,010 33 00112 A B 行变换 故 11232123 23,332 22.证明向量组 TTTT 1234 (1,1,0,1) ,(2,1,3,1) ,(1,1,0,0) ,(0,1, 1, 1) 构成 了 4 R 的一个基，并求 T (2,2,4,1)在此基下的坐标. 解因为 1234 ,A ，, 1234 ,0A ，,故 TTTT 1234 (1,1,0,1) ,(2,1,3,1) ,(1,1,0,0) ,(0,1, 1, 1) 构成了 4 R 的一个基。 令 T (2,2,4,1)在此基下的坐标为 T 1234 ( ,)x x x xX，则有方程组

25、1 2 1234 3 4 , x x x x . 解得 T (1,2, 3,2). 第三章线性方程组 23.设向量组 TTT 123 (1,0, 1) ,(2,1,1) ,(1,1,1)和 T 12 (0,1,1) , T ( 1,1,0) , 3 T (1,2,1) 为 3 R 中的两个基， （1）求 123 , 到 123 , 的过渡矩阵C及 123 , 到 123 , 的过渡矩阵 1 C ； （2）求向量 123 23 在基 123 , 下的坐标Y. 解（1） 123123 (,)(,) C , 则 1 123122 , A B E A BE C 行变换 ， 11 123122 , B

26、A E B AE C 行变换 得 011 132 244 C, 1 201 2 011 2 111 2 C. （2） 123123 1 232 3 ， ，, 1 1122331232 3 x xxxx x ， ， 即 1 1231232 3 1 2 3 x x x ， ， ， 1 1 1 2123123 3 117 2 221 2 . 333 2 x x x C， ， ， 24.判断下列命题是否正确并说明理由. 第三章线性方程组 （1）齐次线性方程组的基础解系不是唯一的； 解正确. 极大线性无关组不唯一. （2）如果齐次线性方程组有两个不同的解，则必有无穷多解； 解正确. 有两个不同的解即解不

27、唯一，即有无穷多解. （3）齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解集都构成解空间； 解不正确. 齐次线性方程组的解集构成解空间，非齐次线性方程组的解集构不 成解空间. （4）若齐次线性方程组AXo有无穷多解，则非齐次线性方程组AXb有解； 解不正确. 齐次线性方程组有解，不能保证非齐次线性方程组有解。因为齐次 线性方程组有解时，非齐次线性方程组有可能无解. （5）相容的非齐次线性方程组AXb有唯一解的充要条件是其导出组AXo 仅有零解； 解正确. 非齐次线性方程组AXb有唯一解时， rrAA变量个数，此 时，其导出组AXo满足 rA变量个数，故有唯一解，即仅有零解. （6）齐次线性方程组AXo有

28、非零解当且仅当A的行向量线性相关； 解不正确. 齐次线性方程组AXo有非零解 r A 小于变量个数，而变量 个数等于A的列数，即 r A 小于变量个数 r AA小于 的列数A的列向量线性 相关。而A的列向量线性相关与A的行向量线性相关并无必然的关系。 （7）若非齐次线性方程组AXb有解，且A的列向量组线性无关，则向量b可 由A的列向量组线性表示且表示式唯一； 解正确. 令 12,n A， 1122nn xxxAXbb， AXb有解，且A的列向量组线性无关，由 P94 定理 6，可知向量b可由A的列向量 组线性表示且表示式唯一. （8）设A为m n矩阵，若( )rmA ，则非齐次线性方程组AXb

29、有解. 第三章线性方程组 解正确.( )rmA ,即A的行向量线性无关，则A的行向量线性无关（相当于 线性无关组A添加分量） ，因此 rrAA ，故非齐次线性方程组AXb有解. 27.问,a b取何值时，下列线性方程组有无穷多解？并给出无穷多解的结构. （1） 123 123 2 123 22, 2, 2. xxx xxxa xxxa （2） 12345 12345 2345 12345 1, 323, 2261, 5433. xxxxx xxxxxa xxxx xxxxxb 解（1） 2 2 2112112 1210331 11200021 a aa a aaa A 行变换 ，可见 当1a

30、或2a 时有无穷多解，求解得 1a 时无穷多解为 TT (1,0,0)(1,1,1)k； 2a 时无穷多解为 TT (2, 2, 0)(1,1,1)k.k为任意常数. （2） 11111 1111111 32113012263 01226 1000002 54331000002 aa a bba A 行变换 ， 当2a 且4b 时有无穷多解，求解得 TTTT 123 (0,1, 0, 0, 0)(1,2,1, 0, 0)(1,2, 0,1, 0)(5,6, 0, 0,1)kkk. 28.设 * 是非齐次线性方程组AX = b的一个解， 12 , n r 是对应的齐次线性 方程组的一个基础解系，

31、证明 （1） * ， 12 , n r 线性无关； （2） * 12 , n r 线性无关. 证证（）反证法. 设 *, 12 , n r 线性相关，由 12 , n r 是对应的齐次 第三章线性方程组 线性方程组的一个基础解系知 12 , n r 线性无关，故 * 可由 12 , n r 线性表 示，即 * 是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾故 *, 12 , n r 线性无关 （2）反证法.设 * 12 , n r 线性相关，则存在不全为零的数 012 , n r k k kk ，使得 * 01122 ()()() n rn r kkkk , 即 * 0121 122 () n rn

32、rn r kkkkkkk , 由（）知， *, 12 , n r 线性无关，则 012 0 n r kkkk ， 1 0k ， 2 0k ， ，0 n r k , 从而 0 0k ，这与 012 , n r k k kk 不全为零矛盾, 故 * 12 , n r 线性 无关 29.设A为m n矩阵，证明：若任一个n维向量都是AXo的解，则AO 证若任一个n维向量都是AXo的解，则 12 , n 是AXo的解，从而 ,1,2, i inAo，即 12 , , n A o oo即,AEO即.AO 综合练习题三综合练习题三 1.填空题 （1）若 T (1,2, ) t可由 TTT 123 (2,1,

33、1) ,( 1, 2, 7) ,(1,1,4) 线性表示， 则t . 第三章线性方程组 （2） 若 123 (1,0,5,2),(3, 2,3, 4),( 1,1, ,3)t 线性相关， 则t . （3）若 TTT 123 (1, 1,2,4) ,(0,3,1,2) ,(3,0,7, ) ,t T 4 (1,2,2,0)线性无 关，则t. （4）设向量组 123 (1,1, 2, 2),(1,3, 2 ),(1, 1,6,0)xx的秩为 2，则 x . （5） 设有向量组 TTT 123 (2,3,4,5) ,(3,4,5,6) ,(4,5,6, 7) , T 4 (5, 6,7,8)， 则

34、1234 (,)r . （6）已知 2020 0210 0013 0000 A ， 1000 0200 3010 0004 B ，则()r AB . （7）设 1 2 3 1211 232 ,3 , 121 x ax ax AbX 若AXo只有零解，则 a ；若AXb无解，则a . （8）已知 12 , 是方程组 123 13 123 23, 231, 2104. xxx xx xaxx 的两个不同的解向量，则 a . （9） 已知 12 , t 是方程组AXb的解， 如果 1122tt ccc仍是AXb 的解，则 12t ccc. （10）A是n阶矩阵，且A中每行元素均为零，( )1rnA

35、，则AXo的通解 为. 2.选择题 第三章线性方程组 （1）下列各向量组线性无关的是. )(a (1,2,3,4), (4,3,2,1), (0,0,0,0)； )b（( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , ,)a b cb c dc d ed e f； )(c ( ,1, ,0,0), ( ,0, ,2,3),( ,4,5,6)abcdef； )(d ( ,1,2,3), ( ,1,2,3), ( ,4,2,3), ( ,0,0,0)abcd （2）已知 1234 , 线性无关，则命题正确的是. )(a 12233441 , 线性无关； )b（ 12233441 , 线

36、性无关； )(c 12233441 , 线性无关； )(d 12233441 , 线性无关. （3）设 12 , s 是n维向量，下列命题正确的是. )(a若 s 不能用 121 , s 线性表示，则 12 , s 线性无关； )b（若 12 , s 线 性 相 关 ， s 不 能 用 121 , s 线 性 表 示 ， 则 121 , s 线性相关； )(c若 12 , s 中，任意1s个向量线性无关，则 12 , s 线性无关； )(d零向量不能用 12 , s 线性表示. （4）若, , 线性无关，, , 线性相关，则. )(a能由, ,线性表示；)b（不能由, ,线性表示； )(c能由

37、, , 线性表示；)(d不能由, , 线性表示. 第三章线性方程组 （5）n维向量组 12 , s 线性相关的充分必要条件是. )(a 12 , s 中有一个零向量； )b（ 12 , s 中任意两个向量的分量成比例； )(c 12 , s 中有一个向量是其余向量的线性组合； )(d 12 , s 中任意一个向量是其余向量的线性组合. （6）向量组 12 , s 的秩不为零的充分必要条件是. )(a 12 , s 中至少有一个非零向量；)b（ 12 , s 全是非零向量； )(c 12 , s 线性无关；)(d 12 , s 线性相关. （7）若向量组 12 , s 的秩为r，则. )(ars； )b（向量组中任何小于r个向量的部分组皆线性无关； )(c向量组中任意r个向量线性无关； )(d向量组中任意1r 个向量皆线性相关. （8）下列命题中，不是n阶矩阵A可逆的充分必要条件. )(a A的列秩为n； )b（A的列向量组线性无关； )(c A的每个列向量都是非零向量； )(d