2014级福建师范大学经济学院高等数学C大一上学期期末样卷试题及答案

1、 高等数学第一学期期末练习答案高等数学第一学期期末练习答案 一、填空题一、填空题 1、已知4 3 2 lim 2 3 = + x kxx x ，则k=_. 答案：3k = ； 解：30| )2(4 3 2 lim 3 2 2 3 =+= + = kkxx x kxx x x 。 2、 2 3 1 lim(3cos ) n n n nn + + + = ; sin( !) lim_ n n n =; 答案：0; 0; 解：都是无穷小量与有界变量的乘积。 3、设函数() 1 1 x yx=+，则(1) y =_; ;)2( y=_; ; 答案：2ln21; ; 12 3ln3332 ； 解： ln

2、(1)ln(1)ln(1) 2 ln(1) ln(1) 1 xxx xxx x x x x yeee xx + + + = (1)1 2ln2 y = ， 12 3ln3332 )2( = y 。 4、设函数( )f x可导， 2 ln ()yf x=，则dy =_; 2 ( )( ),( ) d f xg xh xx dx =，则=)(xhfd_; 设函数( )f x可导，)(cos 2 xfy =，则dy =_. 答案： 2 2 2() () xfx dx f x ; 2 2()xg xdx; 22 2 sin(cos)xx fxdx 解： 2 222 222 112 () ()()()

3、()()() x fx yf xfxx f xf xf x = 22 ( ( ( )( ( ) ( )()22()f h xfh xh xfxxxg x= 2222222 (cos)(cos)(cos)(sin)()2 sin(cos)yfxxfxxxxxfx= = 5、曲线 2 t t xe ye = = 在0t =处的切线方程为 . 240 xy+= 设 lntan lntan 2 xt t y = = ，则 3 dy dx t = = . 1 2 ； 解： 2 1 22 t t t dy dye dt e dx dxe dt = 所以 2 00 11 | 22 t tt dy ke dx

4、 = = = 切 当0t =时，2,1xy= 所求切线方程为 1 1(2) 2 yx = ，即240 xy+=。 2 2 11 sec 22 tan 2 1 sec tan t dyt dy dt dx dx t dtt = 3 dy dx t = = 1 2 6、曲线xxyln=的所有切线中，与直线022=+yx垂直的切线方程为 20 xye= . 解：1ln+=xy，令21ln=+=xy得eyex= 切线方程为)(2exey=，即20 xye= 7、已知 x ey 2 =，则= )(n y_. 2 2n x e 解： xxx eyeyey 23222 2,2,2= = = 8、已知函数 y

5、= 3 ex，则其弹性函数 Ex Ey =_ 3 3x 解： 32 33 3 xxe y x dx dy y x Ex Ey x = 9、使函数 23 )(xxxf=在区间2 , 1上的拉格朗日中值公式成立的有 解： . 3)() 1()2(fff=，即0223 2 = 17 3 = 10、函数( )yf x=在点 0 x处可导是它在点 0 x处可微的 条件，是它在点 0 x处连续的 _ n a条件；数列有界为 lim n n a 存在的 条件；数列 n a无界是其为无穷大量 的 条件。充要;充分；必要不充分；必要不充分 11、函数( )f x在区间(), +上可导, 且当1x时，3)( 3

6、+=xxxf；当1x时， baxxf+= 2 )(,那么参数a和b的值应分别为 ；( )f x函数在区间(), + 上连续, 当 0 x 时， 1 ( )sinf xx x =, (0)f= . 解: 当 2,3；0 1x时，axxf2)(= 4) 1 ( = f,af2) 1 ( = + 2= a babaxxf xx +=+= + )(lim)(lim 2 11 ,5)3(lim)(lim 3 11 =+= xxxf xx 5=+ba3= b 00 1 lim( )lim sin0(0) xx f xxf x = 12、已知2) 1 (= f ，若)(xf在区间(), +上为偶函数，则)

7、1( f = ；若 )(xf在区间(), +上为奇函数，则) 1( f = 2；2 解：2) 1 () 1()()()()(=ffxfxfxfxf 2) 1 () 1()()()()(=ffxfxfxfxf 13、函数xxy+=1在 1 , 5的最大值=_，最小值=_.65, 4 5 + 解： x y = 12 1 1，令0= y ，得 4 3 =x，65| 5 += =x y， 4 5 | 4 3= =x y，1| 1=x y 14、已知 +=cxdxxf)1arctan()( 2 ，则() xx e f e dx = . Ce x +)1arctan( 2 解：设+=CxFdxxf)()(

8、，即CxxF+=)1arctan()( 2 则CeCeFdeefdxefe xxxxxx +=+= )1arctan()()()( 2 15、若 2 ( ) x f x dxe xC=+ ,则( )f x= 2 (2 ) x exx+ 解： 2 ( ) x f x dxe xC=+ )2()()()( 22 xxeCxedxxfxf xx +=+= 16、 x yxe=的麦克劳林展开式中 6 x的系数=_; 把函数 2 )( x exf =展开成具有 Peano 型余项的 Maclaurin 公式，=)(xf . 1 120 ; 2 2 0 ( 1) () ! kk n n k x o x k

9、 = + 二、选择题二、选择题 1、当时，无穷小量是的（ C ） 当0x时，xxsin与x比较是（ A ） 当时，无穷小量 )1 ( 2 x是)1 (3x的（ D ） A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.等价无穷小 D.同阶但不等价无穷小 解：1)1 (lim 2 1 )1 (2 )1)(1 ( lim )1 (2 1 lim 111 =+= + = x x xx x x xxx 011 sin limlim sin lim 0 . 0 . 0 . = x x x x x xx xxx 3 2 3 2 lim )1 (3 1 lim 1 2 1 = = x x x xx 2、当x 时，若 2

10、1 axbxc+ 等价于 1 1x+ ，则, ,a b c的值一定是（ B ） A. 0,1,1abc= B.0,1,abc=为任意常数 C. 0, ,ab c=为任意常数 D. , ,a b c均为任意常数 解： cbxax x x cbxax xx + + = + + = 2 2 1 lim 1 1 1 lim1 1, 0=ba，c任意 3、设 nnn xzy，且lim()0 nn n yx =，则lim n n z （ C ） A. 存在且等于零 B. 存在但不等于零 C. 不一定存在 D. 必不存在 解：取nzyx nnn =，极限不存在，取 n zyx nnn 1 =，极限存在 4、

11、在 1 , 1上满足罗尔定理条件的函数是（ C ） A. 2 1 x B.| x C. 2 1x D. 12 2 xx 解： 2 1 x 在0=x不连续，| x在0=x不可导，12 2 xx在1=x处不相等 5、设对于任意的x，都有 0 ()( ),()0fxf xfxk= = ，则 0 ()fx =（ B ）. A.k B.k C. k 1 D. k 1 解：)()(xfxf=)()()() 1)( 00 xfxfxfxf= 6、设函数( )f x二阶可导，如果 00 ()() 10fxfx=+ =，那么点 0 x（ A ） A是极大值点 B是极小值点 C不是极值点 D不是驻点 解：01)(

12、01)( 00 = =xfxfxf ，则（D ）. A. )( 0 x f 是)(x f 的极值. B. )( 0 xf是)(xf的极大值. C. )( 0 xf是)(xf的极小值. D. )(,( 00 xfx是曲线)(xfy =的拐点. 解： 0)()(0)()( )()( lim)(0 00 0 0 0 0 = = + + xfxfxfxf xx xfxf xf xx 0)()(0)()( )()( lim)(0 00 0 0 0 0 = ,时证明：当 证明：)(ln)(exxexexxe ex xexxfln)(=设 )(ex , 01)( = x ex x e xf)(ex ，所以)

13、(xf在),( +e单调递增 又0)(=ef 时，当ex 0)()(=efxf xexexln,时即当 ex xe 14、已知函数 2 1 x y x = + ，求函数的增减区间、极值、凹性、拐点以及渐近线，并作函数图像. 解 ：（1）定义域：1x （2） 2 )1 ( )2( )( x xx xf + + =，由( )0fx=得0, 2 21 =xx 3 )1 ( 2 )( x xf + = （3）列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点: x )2,( 2 ) 1, 2( 1 )0 , 1( 0 ), 0( + ( )fx + 0 - 不存 在 - 0 + ( )fx - - 不存 在

14、 + + ( )f x 极大值 4 极小值 0 （4）= + = x x xf xx 1 lim)(lim 2 11 ，得铅直渐近线1x = . 1 )1 ( lim )( lim 2 = + = xx x x xf xx 1 1 lim) 1 (lim)(lim 2 = + = + = x x x x x xf xxx 得斜渐近线1= xy 15、求函数 2 3 2 (1) x y x =+ + 的定义域，单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐进线，并画出草图. 解 ：（1）定义域：1x （2） 22 333 ( )22, (1)(1)(1) x f x xxx =+=+ + 则 233 363(

15、1) ( ) (1)(1)(1) x fx xxx = += + ，由( )0fx=得1x = 344 6186(2) ( ) (1)(1)(1) x fx xxx = + ，由( )0fx=得2x = （3）列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点: x (, 1) 1 ( 1,1) 1 (1,2) 2 (2,)+ ( )fx - 不存在 + - - ( )fx - 不存在 - - + ( )f x 不存在 极大 值 11 4 拐点 8 (2, ) 3 （4） 2 3 lim( )lim22 (1) xx x f x x =+= + ，得水平渐近线2y =， 2 11 3 lim( )l

16、im2 (1) xx x f x x =+= + ，得铅直渐近线1x = . 16、假设某种商品的需求量 Q 是单价 P（单位：元）的函数：Q=12000-80P，商品的 总成本 C 是需求量 Q 的函数：C=25000+50Q，并且每单位商品需纳税 2 元，试求使销 售利润最大的商品单价. 解：)8012000(2)8012000(5025000)8012000(2PPPPQCQPL= 87400784080)8012000(2)8012000(5025000)8012000( 2 +=PPPPPP 160,7840160= +=LPL 令49078401600=+=PPL，又0160| 4

17、9 。证明： ( , )a b ，使得 ( ) 0f= 证明：( )f x在 , a b上连续, ( ) ()0 2 ab f a f + ( ) ()0 2 ab f b f + 由零点定理，), 2 ( 2 b ba + ，使得0)( 2 =f )()( 21 ff= ( )f x在 , a b上连续，在( , )a b内可导 由罗尔定理， 12 (,)( , )a b ，使得 ( ) 0f= 18、 设( )f x在 , a b上连续， 在( , )a b内存在二阶导数， 且( )f a与( )f b均不是( )f x在 , a b上 最值，证明： ( , )a b ，使得 ( ) 0f

18、= 证明：因为( )f x在, a b上连续，且( )( )f af b和均不是( )f x在, a b上的最值， 所以不妨设 12 , )a b，（且 12 使 12 ( ),()( ),fff xa b分别为在上的最大值和最小值 12 ( ),()( ),fff xa b从而也为在上的极大值和极小值 12 ff所以（）=0，（）=0 又因为f(x)在（a,b)内存在二阶导数， 所以 1212 ( )fx在，上连续且在（，）上可微， 再由罗尔定理可知，),(),( 21 ba，使得 ( ) 0f=. 19、 将边长为a的一块正方形铁皮,四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起做 成一

19、个无盖的方盒.问截掉的小正方形边长为多大时,所得方盒的容积最大. 解：解：设截掉的小正方形边长为x, 则所得方盒的容积 322 44)2(xaxxaxxav+=, ) 2 0( a x = V x y，所以 3 0 3 4V x =是极小点，从而为最小点， 故当长方匣的底面边长为 3 0 3 4V x =时，匣子的造价最低. 21、证明： 2 arcsinarcsin 1, 1,0 2 xxx = = . 证明：设)0 , 1(,1arcsinarcsin)( 2 =xxxxf 则)0 , 1(, 0)2( 12 1 11 1 1 1 )( 222 = + =xx xxx xf Cxf=)(（常数） ，)0 , 1(x，且 2 ) 2 1 ( =f 2 )( =xf，)0 , 1(x 又 2 )0() 1( =ff，从而 2 arcsinarcsin 1, 1,0 2 xxx = = 22、求下列积分 dx xx x + )1 ( arctan dxex x2 2 3 xdxx 34 cossin 解： 2 arctan 2 arctanarctanarctan (1) x dxxdxxC xx =+ + 222 222 3 2 121 44 xxx