2015年湖北省高考数学试卷(理科)

1、2015年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2015湖北）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）AiBiC1D12（5分）（2015湖北）我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A134石B169石C338石D1365石3（5分）（2015湖北）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A212B211C210D294（5分）（20

2、15湖北）设XN（1，12），YN（2，22），这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是（）AP（Y2）P（Y1）BP（X2）P（X1）C对任意正数t，P（Xt）P（Yt）D对任意正数t，P（Xt）P（Yt）5（5分）（2015湖北）设a1，a2，anR，n3若p：a1，a2，an成等比数列；q：（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）=（a1a2+a2a3+an1an）2，则（）Ap是q的充分条件，但不是q的必要条件Bp是q的必要条件，但不是q的充分条件Cp是q的充分必要条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6（5分）（2015湖北）已知符号函数sgnx=，f（

3、x）是R上的增函数，g（x）=f（x）f（ax）（a1），则（）Asgng（x）=sgnxBsgng（x）=sgnxCsgng（x）=sgnf（x）Dsgng（x）=sgnf（x）7（5分）（2015湖北）在区间0，1上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y”的概率，P2为事件“|xy|”的概率，P3为事件“xy”的概率，则（）AP1P2P3BP2P3P1CP3P1P2DP3P2P18（5分）（2015湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（ab）同时增加m（m0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A对任意的a，b，e1e2B当ab时，e1e2；当ab时，e1

4、e2C对任意的a，b，e1e2D当ab时，e1e2；当ab时，e1e29（5分）（2015湖北）已知集合A=（x，y）|x2+y21，x，yZ，B=（x，y）|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB=（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）A，（x2，y2）B，则AB中元素的个数为（）A77B49C45D3010（5分）（2015湖北）设xR，x表示不超过x的最大整数若存在实数t，使得t=1，t2=2，tn=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A3B4C5D6二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不

5、得分11（5分）（2015湖北）已知向量，|=3，则=12（5分）（2015湖北）函数f（x）=4cos2cos（x）2sinx|ln（x+1）|的零点个数为13（5分）（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD=m14（5分）（2015湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2（1）圆C的标准方程为；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：=；

6、=2； +=2其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）选修4-1：几何证明选讲15（5分）（2015湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=选修4-4：坐标系与参数方程16（2015湖北）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的极坐标方程为（sin3cos）=0，曲线C的参数方程为（ t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（11分）（2015湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（x+）（0，|）在某一个周期内的图象时，

7、列表并填入了部分数据，如表：x+02xAsin（x+）0550（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动（0）个单位长度，得到y=g（x）的图象若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求的最小值18（12分）（2015湖北）设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100（1）求数列an，bn的通项公式（2）当d1时，记cn=，求数列cn的前n项和Tn19（12分）（2015湖北）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，

8、将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE（1）证明：PB平面DEF试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值20（12分）（2015湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A

9、，B两种产品时间之和不超过12小时假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率21（14分）（2015湖北）一种画椭圆的工具如图1所示O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出

10、的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由22（14分）（2015湖北）已知数列an的各项均为正数，bn=n（1+）nan（nN+），e为自然对数的底数（1）求函数f（x）=1+xex的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；（2）计算，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令cn=（a1a2an），数列an，cn的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：

11、TneSn2015年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2015湖北）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）AiBiC1D1【考点】虚数单位i及其性质菁优网版权所有【专题】数系的扩充和复数【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可【解答】解：i607=i604+3=i3=i，它的共轭复数为：i故选：A【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查2（5分）（2015湖北）我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米

12、1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A134石B169石C338石D1365石【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用菁优网版权所有【专题】计算题；概率与统计【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534169石，故选：B【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础3（5分）（2015湖北）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A212B211C210D29【考点】二项式定理；二项式系数的性质菁优网版权所有【专题】二

13、项式定理【分析】直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可【解答】解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29故选：D【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力4（5分）（2015湖北）设XN（1，12），YN（2，22），这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是（）AP（Y2）P（Y1）BP（X2）P（X1）C对任意正数t，P（Xt）P（Yt）D对任意正数t，P（Xt）P（Yt）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的

14、意义菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可【解答】解：正态分布密度曲线图象关于x=对称，所以12，从图中容易得到P（Xt）P（Yt）故选：C【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数和标准差这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质5（5分）（2015湖北）设a1，a2，anR，n3若p：a1，a2，an成等比数列；q：（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）=（a1a2+a2a3+an1an）2，则（）Ap是q的充分条件，但不是q的必要条件Bp是q的必要条件，但不是q的充分条件Cp

15、是q的充分必要条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【考点】等比数列的性质菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列；简易逻辑【分析】运用柯西不等式，可得：（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）（a1a2+a2a3+an1an）2，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到【解答】解：由a1，a2，anR，n3运用柯西不等式，可得：（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）（a1a2+a2a3+an1an）2，若a1，a2，an成等比数列，即有=，则（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）=（a1a2+a2a3+an1a

16、n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=an=0，则a1，a2，an不成等比数列故p是q的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键6（5分）（2015湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）f（ax）（a1），则（）Asgng（x）=sgnxBsgng（x）=sgnxCsgng（x）=sgnf（x）Dsgng（x）=sgnf（x）【考点】函数与方程的综合运用菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可【解答

17、】解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）f（ax）（a1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）f（ax）=x，sgng（x）=sgnx所以A不正确，B正确，sgnf（x）=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）f（ax）=x，sgnf（x）=sgn（x+1）=；sgng（x）=sgn（x）=，sgnf（x）=sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题7（5分）（2015湖北）在区间

18、0，1上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y”的概率，P2为事件“|xy|”的概率，P3为事件“xy”的概率，则（）AP1P2P3BP2P3P1CP3P1P2DP3P2P1【考点】几何概型菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积S1=11=1=，S2=112=1=，S3=1+dx=+lnx|=ln=+ln2，S2S3S1，即P2P3P1，故选：B【点评】本题主要考查几何概

19、型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小8（5分）（2015湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（ab）同时增加m（m0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A对任意的a，b，e1e2B当ab时，e1e2；当ab时，e1e2C对任意的a，b，e1e2D当ab时，e1e2；当ab时，e1e2【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论【解答】解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c2=（a+m）2+（

20、b+m）2，e2=，=，当ab时，e1e2；当ab时，e1e2，故选：D【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础9（5分）（2015湖北）已知集合A=（x，y）|x2+y21，x，yZ，B=（x，y）|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB=（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）A，（x2，y2）B，则AB中元素的个数为（）A77B49C45D30【考点】集合中元素个数的最值菁优网版权所有【专题】新定义；开放型；集合【分析】由题意可得，A=（0，0），（0，1），（0，1），（1，0），（1，0），B=（0，0），（0，1），（0，2），（0，1），（0，2），（1，0

21、），（1，1），（1，2）（1，1），（1，2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，1），（2，2），（1，2），（1，1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（2，0），（2，1），（2，2），根据定义可求【解答】解：解法一：A=（x，y）|x2+y21，x，yZ=（0，0），（0，1），（0，1），（1，0），（1，0），B=（x，y）|x|2，|y|2，x，yZ=（0，0），（0，1），（0，2），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，1），（1，2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，1），（2，2），（1，2），（1，1），

22、（1，0），（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（2，0），（2，1），（2，2）AB=（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）A，（x2，y2）B，AB=（0，0），（0，1），（0，2），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，1），（1，2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，1），（2，2），（1，2），（1，1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（2，3），（0，3），（2，3），（1，3），（1，3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，1），（3，0）（3

23、，1），（3，2），（3，2）（3，2）（3，1），（1，3），（3，1），（3，0），（3，2）共45个元素；解法二：因为集合A=（x，y）|x2+y21，x，yZ，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B=（x，y）|x|2，|y|2，x，yZ，中有55=25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，AB=（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）A，（x2，y2）B的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即774=45个故选：C【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素10（5分）（2015湖北）设xR，x表示不超过x的最大整

24、数若存在实数t，使得t=1，t2=2，tn=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A3B4C5D6【考点】进行简单的演绎推理菁优网版权所有【专题】创新题型；简易逻辑【分析】由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4【解答】解：若t=1，则t1，2），若t2=2，则t，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若t3=3，则t，），若t4=4，则t，），若t5=5，则t，），其中1.732，1.587，1.495，1.4311.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间1，2），），），）上，但当t=5时，无法找到实数t使其在区间1，2），），），），）上，正整数n的最大

25、值4故选：B【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11（5分）（2015湖北）已知向量，|=3，则=9【考点】平面向量数量积的运算菁优网版权所有【专题】平面向量及应用【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案【解答】解：由，得=0，即（）=0，|=3，故答案为：9【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题12（5分）（2015湖北）函数f（x）=4cos2cos（x）2sinx|ln（x+1）|的零点个数为2【

26、考点】根的存在性及根的个数判断菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点个数即可【解答】解：函数f（x）的定义域为：x|x1f（x）=4cos2cos（x）2sinx|ln（x+1）|=2sinx|ln（x+1）|=sin2x|ln（x+1）|，分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2所以函数的零点有2个故答案为：2【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用13（5分）（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到

27、A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD=100m【考点】解三角形的实际应用菁优网版权所有【专题】计算题；解三角形【分析】设此山高h（m），在BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在ABC中利用正弦定理求得h【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，在ABC中，BAC=30，CBA=105，BCA=45，AB=600根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件

28、之间的联系，列方程或列式求解14（5分）（2015湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2（1）圆C的标准方程为（x1）2+（y）2=2；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：=； =2； +=2其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）【考点】命题的真假判断与应用；圆与圆的位置关系及其判定菁优网版权所有【专题】创新题型；简易逻辑【分析】（1）取AB的中点E，通过圆C与x轴相切于点T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；（2）设M（cos，sin），N（cos，sin），计算出、

29、的值即可【解答】解：（1）圆C与x轴相切于点T（1，0），圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，|AB|=2，|BE|=1，则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，圆心C（1，），则圆的标准方程为（x1）2+（y）2=2，故答案为：（x1）2+（y）2=2（2）圆心C（1，），E（0，），又|AB|=2，且E为AB中点，A（0，1），B（0，+1），M、N在圆O：x2+y2=1上，可设M（cos，sin），N（cos，sin），|NA|=，|NB|=，=，同理可得=，=，成立，=（）=2，正确+=+（）=，正确故答案为：【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的

30、关键，注意解题方法的积累，属于难题选修4-1：几何证明选讲15（5分）（2015湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=【考点】与圆有关的比例线段菁优网版权所有【专题】推理和证明【分析】利用切割线定理推出PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可【解答】解：由切割线定理可知：PA2=PBPC，又BC=3PB，可得PA=2PB，在PAB与PAC中，P=P，PAB=PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得PABPAC，=故答案为：【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力选修4-4：坐标系与参数方程16（2015湖北）在直角坐标系xO

31、y中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的极坐标方程为（sin3cos）=0，曲线C的参数方程为（ t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=【考点】简单曲线的极坐标方程；双曲线的参数方程菁优网版权所有【专题】坐标系和参数方程【分析】化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案【解答】解：由（sin3cos）=0，得y3x=0，由C的参数方程为（ t为参数），两式平方作差得：x2y2=4联立，得，即A（），B（），|AB|=故答案为：【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直

32、线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（11分）（2015湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（x+）（0，|）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：x+02xAsin（x+）0550（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动（0）个单位长度，得到y=g（x）的图象若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求的最小值【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权

33、所有【专题】三角函数的图像与性质【分析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，=2，=从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x）（2）由（）及函数y=Asin（x+）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+2）令2x+2=k，解得x=，kZ令=，解得=，kZ由0可得解【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，=2，=数据补全如下表：x+02xAsin（x+）05050且函数表达式为f（x）=5sin（2x）（2）由（）知f（x）=5sin（2x），得g（x）=5sin（2x+2）因为y=sinx的对称中心为（k，0），kZ令2x+2=k，解得x=，kZ由于函数y=g（x）

34、的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得=，kZ由0可知，当K=1时，取得最小值【点评】本题主要考查了由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（x+）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查18（12分）（2015湖北）设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100（1）求数列an，bn的通项公式（2）当d1时，记cn=，求数列cn的前n项和Tn【考点】数列的求和菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d1时，由（1）知cn=，

35、写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，an=2n1，bn=2n1；当时，an=（2n+79），bn=9；（2）当d1时，由（1）知an=2n1，bn=2n1，cn=，Tn=1+3+5+7+9+（2n1），Tn=1+3+5+7+（2n3）+（2n1），Tn=2+（2n1）=3，Tn=6【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题19（12分）（2015湖北）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称

36、之为鳖臑如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE（1）证明：PB平面DEF试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用【分析】解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PBEF，DEFE=E，所以PB平面DEF，即可判断DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直

37、角三角形，确定直角（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线利用直线平面的垂直判断出DGDF，DGDB，根据平面角的定义得出BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可2）由PD底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（）知，PB平面DEF，所以=（，1，1）是平面DEF的一个法向量根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案【解答】解法1）（1）因为PD底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD为长方形，有BC

38、CD，而PDCD=D，所以BC平面PCD而DE平面PDC，所以BCDE又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DEPC而PCCB=C，所以DE平面PBC而PB平面PBC，所以PBDE又PBEF，DEFE=E，所以PB平面DEF由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB（2）如图1，在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线由（）知，PB平面DEF，所以PBDG又因为PD底面ABCD，所以PDDG而PDPB=P，所以DG平面PBD所以DGDF，DGDB

39、故BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=，有BD=，在RtPDB中，由DFPB，得DGF=FDB=，则 tan=tanDPF=，解得所以=故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=（解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系设PD=DC=1，BC=，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（，1，0），C（0，1，0），=（1，1），点E是PC的中点，所以E（0，），=（0，），于是=0，即PBDE又已知EFPB，而EDEF=E，所以PB平面DEF因=（0，1，1），=0，则DEPC，所以DE平面PBC由

40、DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB（2）由PD底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（）知，PB平面DEF，所以=（，1，1）是平面DEF的一个法向量若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出cos=，解得所以所以=故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题20（12分）（2015湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，

41、B两种奶制品生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率【考点】简单线性规划的应用；离散型随机变量的期望与方差菁

42、优网版权所有【专题】不等式的解法及应用；概率与统计【分析】（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，目标函数，通过当W=12时，当W=15时，当W=18时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到Z的分布列求出期望即可（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可【解答】（12分）解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有，如图1，目标函数为：z=1000x+1200y当W=12时，表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）将z=1000x+1200y变形为，当x=2.4，y=4.8时

43、，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Zmax=2.41000+4.81200=8160当W=15时，表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）将z=1000x+1200y变形为，当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Zmax=31000+61200=10200当W=18时，表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）将z=1000x+1200y变形为：，当x=6，y=4时，直线l：y=56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Zmax=61000+41200=10800故最大

44、获利Z的分布列为：Z81601020010800P0.30.50.2因此，E（Z）=81600.3+102000.5+108000.2=9708（2）由（）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z10000）=0.5+0.2=0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力21（14分）（2015湖北）一种画椭圆的工具如图1所示O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，

45、MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题】创新题型；开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式

46、进行求解即可【解答】解：（1）设D（t，0），|t|2，N（x0，y0），M（x，y），由题意得=2，且|=|=1，（tx，y）=2（x0t，y0），且，即，且t（t2x0）=0，由于当点D不动时，点N也不动，t不恒等于0，于是t=2x0，故x0=，y0=，代入x02+y02=1，得方程为（2）当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=4，都有SOPQ=，直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m216=0，直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，=64k2m24（1+4k2）（4m216）=0，即m2=16k2+4，由，可得P（，

47、），同理得Q（，），原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=|xPxQ|，可得SOPQ=|PQ|d=|m|xPxQ|=|m|=|，将代入得SOPQ=|=8|，当k2时，SOPQ=8（）=8（1+）8，当0k2时，SOPQ=8|=8（）=8（1+），0k2时，014k21，2，SOPQ=8（1+）8，当且仅当k=0时取等号，当k=0时，SOPQ的最小值为8，综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键综合性较强，运算量较大22（14分）（2015湖北）已知数列

48、an的各项均为正数，bn=n（1+）nan（nN+），e为自然对数的底数（1）求函数f（x）=1+xex的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；（2）计算，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令cn=（a1a2an），数列an，cn的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：TneSn【考点】数列与不等式的综合菁优网版权所有【专题】创新题型；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用【分析】（1）求出f（x）的定义域，利用导数求其最大值，得到1+xex取x=即可得到答案；（2）由bn=n（1+）nan（nN+），变形求得，由此推测=（n+1）n然后利用数学归纳法证明（3）由cn的

49、定义、=（n+1）n、算术几何平均不等式、bn的定义及，利用放缩法证得TneSn【解答】（1）解：f（x）的定义域为（，+），f（x）=1ex当f（x）0，即x0时，f（x）单调递增；当f（x）0，即x0时，f（x）单调递减故f（x）的单调递增区间为（，0），单调递减区间为（0，+）当x0时，f（x）f（0）=0，即1+xex令，得，即（2）解：；=；由此推测：=（n+1）n下面用数学归纳法证明（1）当n=1时，左边=右边=2，成立（2）假设当n=k时，成立，即当n=k+1时，由归纳假设可得=当n=k+1时，也成立根据（1）（2），可知对一切正整数n都成立（3）证明：由cn的定义，算术几何平均

50、不等式，bn的定义及得Tn=c1+c2+cn=ea1+ea2+ean=eSn即TneSn【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；刘长柏；双曲线；maths；吕静；lincy；sxs123；cst；w；sdpyqzh（排名不分先后）菁优网2016年6月8日考点卡片1集合中元素个数的最值【知识点的认识】【命题方向】【解题方法点拨】 求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决2命题的真假判断与应用【知识点的认识】 判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x22x+1=0的两根