全等三角形辅助线

1、全等三角形问题中常见辅助线的制作方法一般的辅助线方法如下1 )遇到等腰三角形，利用底边的高度，可以利用“三线一条”的性质解决问题，思考模式是联合变换中的“对折”。2 )遇到三角形的中线、倍长中线，使延长线段和原中线的长度相等，构筑联合三角形，利用的想法是联合变换中的“旋转”。3 )可以遇到平分线，从平分线上的某点向角的两侧作垂线，利用的想法为三角形全等变换中的“对折”，知识点通常为平分线的性质定理或逆定理4 )将图形上的某点做成特定的二等分线，构筑共同三角形，利用的思考模式是共同变换中的“平移”或“反转折叠”5 )切片法和补短法，具体是在某线段上切下一条线段和特定线段，还是延长某线段，利用与特

2、定线段相等的三角形的全等性进行说明.特殊方法：求三角形值之类的问题时，多把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识来求解一、倍长中线(线段)造全等示例1、(“希望杯”问题)中，中心线AD的值范围为：ABC中AB=5、AC=3在例2、图、ABC中，e、f是AB、AC，DEDF、d是中点，试着比较了BE CF和EF的大小在图中，ABC中，BD=DC=AC，e是DC的中点，求出AD二等分BAE应用程序：以1、(09崇文二型)的两边AB、AC为腰，分别制作等腰Rt和等腰Rt，把DE连接起来，m、n分别是BC、DE的中点。 探索PS与PS的位置关系和数量关系(1)如图所示，直角三角形的情

3、况下，AM和DE的位置关系为线段AM和DE的数量关系是(2)将图的等腰Rt以点a为中心逆时针旋转(090 )，和图一样，说明(1)通过提问得到的两个结论是否有变化的理由二、弥补长短如图所示，AB=2AC，AD为二等分，AD=BD，要求证明： CDAC2、图、ACBD、EA、EB分别为CAB、DBA、CD越过点e，求证的AB=AC BD3、如附图所示，p、q分别在BC、CA上，AP、BQ分别为下一条平分线。 寻求证据： PS=PS PS K4、如图所示，在四边形ABCD中，BCBA、AD=CD、BD被二等分寻求证据：在图ABC中，ABAC、1=2，p为AD上的任意点，求证明的AB-ACPB-PC

4、应用程序：三、平移变换例1 AD是ABC的二等分线，直线MNAD是A.E，是MN上一点，ABC周长是EBC周长是.求证如图所示，在ABC的边上取两点d、e，BD=CE，求出证据： AB ACAD AE用四、二等分线组成联合1、如图所示，在ABC中，B=60、ABC的二等分线AD、CE在点o处相交，OE=OD2、在图中，AD把BAC、DGBC平分，DEAB处于e，DFAC处于f(2)求出AC=、AC=、AE、BE的长度应用程序：如图所示，OP是mon的二等分线，利用这个图形，画出以OP所在的直线为对称轴的共同三角形。 请参考这个回答以下问题。(1)如图所示，在ABC，ACB为直角，B=60，AD

5、，CE分别为BAC、UUUUUUUUR的二等分线，AD、CE在点f相交。 请判断FE和软盘的数量关系后写下来(第二十三题图)o.op甲组联赛mne乙级联赛c.c德. df.f甲组联赛c.cef.f乙级联赛德. d图图图(2)如图所示，如果ABC中ACB不是直角，在(1)中其他条件没有变化，在(1)中得到的结论还成立吗？ 成立后，请证明。如果不成立的话，请说明理由。五、旋转在例1正方形ABCD中，e是BC上的点，f是CD上的点，用BE DF=EF求出EAF的度数.例2 D是等腰三角形AB的中点，DMDN、DM、DN分别与BC相交，CA与点e、f相交。(1)在以点d为中心旋转的情况下，求出DE=D

6、F。(如果AB=2，则求出四边形DECF的面积。如图3所示，边的长度为3的等边三角形，是等边三角形，且d为顶点形成角，其两侧分别在点m上连接AB，在点n上连接AC，MN时，周长为应用程序：1、在已知的四边形中，以点为中心旋转时(图1 )，容易证明。以点为中心旋转的话，图2和图3两者的情况下，上述结论成立，请证明，如果不成立，线段有什么样的数量关系？ 请写下你的预想。 没有必要证明。(图1 )(图2 )(图3 )2、(西城09年一型) :PA=、PB=4、把AB作为一边的正方形ABCD，把p、d两点落在直线AB的两侧，这是众所周知的(1)如图所示，在APB=45时，求出AB和PD的长度(2)在A

7、PB变化且其他条件不变化的情况下，求出PD的最大值和对应的apb的大小.3 .等边两边AB、AC所在的直线上分别有两点m、n、d的点，而且BD=DC .探索m、n分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN间的数量的关系和周长q与等边的周长l的关系.图1图2图3(I )如图1所示，在点m、n边AB、AC上、DM=DN的情况下，BM、NC、MN间的数值关系此时(II )如图2所示，在点m、n边AB、AC上，在DMDN的情况下，(I )的问题的两个结论是否还成立？ 写下你的预想来证明(III )如图3所示，在m、n分别位于边AB、CA延长线上的情况下AN=、Q=(用、l表示.一、倍长中线(线段)

8、造全等例题的解说例如，已知“希望杯”问题在图中求出“中线AD的值的范围。分析：这个问题的关键在于如何将AB、AC、AD三条线段转换成相同的三角形。ec.c甲组联赛乙级联赛德. d从解：延长到e，连接到BE另外，再见M (三角形三边关系定理)也就是说2220经验总结：看中线，延长加倍。例2、图中，e、f是AB、AC上、d是中点，对与EF的大小进行了比较。证明：延长软盘点g，连接PS、PSgf.fec.c甲组联赛乙级联赛德. d222222222222222222622202220喀喀喀喀喀喀地6532220在里面卡卡卡2222222222222220例3，图中，e是DC的中点，求证明： AD是二

9、等分证明方法1 :利用类似的论证。证明： ec.c甲组联赛乙级联赛德. d2220AR e是PS的中点AA2220喀喀喀喀喀喀地65322202220AD二等分证明方法2 :利用联合论证。证明：将PS延长到m，并链接PS容易证据mec.c甲组联赛乙级联赛德. d又镜另外，再见222022202220AD二等分(2)实用化：1、(2009崇文二型)的两边AB、AC为腰，分别制作等腰Rt和等腰Rt，把DE连接起来，m、n分别是BC、DE的中点。 探索： PS和PS的位置关系和数量关系。(1)如图1所示，在直角三角形的情况下，关于AM和DE的位置关系，线段AM和DE的数关系为(2)以点a为中心逆时针

10、旋转图1的等腰Rt后，如图2所示，说明(1)通过提问得到的两个结论是否有变化的理由。图1mnc.c甲组联赛乙级联赛德. dnec.c甲组联赛乙级联赛德. dm图2解： (1)、证明：从PS延长PS，到PS，PS为平行四边形gc.ch甲组联赛乙级联赛德. dmne又镜2220再证：将MN交叉DE延长到h喀喀喀喀喀喀地653f.fc.cp甲组联赛乙级联赛德. dmne22202220(2)结论还成立证明：如图所示，从CA延长到f，使FA与点p交叉，连接BF喀喀喀喀2222222222201222222220航空航空6号班机PR (PS )22202220另外，再见然后。二、弥补长短例题的解说例1、

11、图、中、AD被平分，并且要求证明书证明：做过d作品，脚下是mmc.c甲组联赛乙级联赛德. d2220另外，再见22202220喀喀喀喀喀喀地6532220系列ad二等分2220在和中，22202220即：例2、图、EA、EB分别二等分，CD过了e，求证明f.fe德. d甲组联赛乙级联赛c.c证明：用AB剪切，与EF连接在和中222022202220也就是说在和中HR22202220如在图3中已知的，p、q分别在BC、CA上，AP、BQ分别是正的二等分线。 寻求证据：证明：从AB延长d，连接PD22222222222222222222262222222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地45232德. dq.qp

12、c.c甲组联赛乙级联赛12220又来了2220在和之间，PS (PS )2220也就是说2220例4、如图所示，在四边形ABCD中，寻求证据：解：设过点d为e，过点d为交叉BA的延长线为f2222222222222222226ef.f德. dc.c甲组联赛乙级联赛在和中PSe德. d甲组联赛pc.c乙级联赛22202220例5、图中、p是AD上的任意点。寻求证据：证明：如图所示，在AB上监听AE，连接PE在和中PR (PS )2220中，即(2)实用化如图所示，在四边形ABCD中，点e是AB上的动点，判断与的关系来证明你的结论。分析：该问题通过连接交流，将梯形问题转换为等边三角形问题，并利用已

13、知条件和等边三角形的性质证明三角形全等来解决。德. de甲组联赛c.c乙级联赛解：有德. de甲组联赛c.c乙级联赛f.f连接交流，通过e把交流设为f点可以证明是等边三角形也就是说2220另外，再见2220又镜2220在和之间，222022202220点评：这个问题的解法比较新颖，把梯形问题转换成等边三角形问题，然后利用全等三角形的性质来解决。三、平移变换f.fnm德. de甲组联赛c.c乙级联赛例题的解说例1，AD是二等分线，直线是A.E在MN上的点，周长，周长记为.求证：证明：从PS延长PS连接PSad是平分线2220喀喀喀喀喀喀喀地6532220卡卡卡222222222222222022

14、20喀喀喀喀喀喀喀地6532220HHHHR HHR HR HR HR HR RHR HR HR HR H的周长小于的周长，即如图所示，在边上取两点d、e，然后求证明解析：连接AF延长到g，其中f是BC的中点，GB、GC、GD、GE .四边形ABGC、四边形ADGE是平行四边形，从AD延长到h，交点BG可以用h .三角形的三边关系“两边之和大于第三边”来证明。证明：连接PS并延长到PS，f是PS的中点，连接PS、PS、PS、PS、PS喀喀喀喀喀喀喀地6532220gf.fh德. de甲组联赛c.c乙级联赛四边形ABGC，四边形ADGE是平行四边形把PS延长到h，把PS交给h卡卡卡2222222

15、2222222202220也就是说评分：本问题考察三角形三边关系，把证明边大小关系的问题变成三角形三边关系问题是解决问题的关键。 本问题通过辅助线DH发挥中枢作用。方法2 :取BC中点m，延长到AM和n，延长到BN、DNnm德. de甲组联赛c.c乙级联赛喀喀喀喀喀喀喀地6532220PR (PS )2220同一类别如果把PR PS延长到p的话合计：减去PS，结果如下2220f.fo.o德. de甲组联赛c.c乙级联赛用四、二等分线组成联合例题的解说例1、如图所示，已知其中，列的二等分线AD、CE相交于点o寻求证据：证明：在交流上取点f，连接PSad是平分线2220喀喀喀喀喀喀喀地6532220PS是平分线2220喀喀喀喀喀喀喀地6532220222022202220喀喀喀喀喀喀喀地65322202220也就是说例2、图、中、AD二等分，BC二等分，e，F. (1)中说明的理由(2)，求AE、BE的长度。(证明：已连接到DB、DCgf.f德. de甲组联赛c.c乙级联赛然后把PS平分22202222222222222222222222022202220解：22202220也就是说2