医药数理统计

1、项目4 参数估计,学习目标 学习目的 医药学研究中常常从总体中随机抽取样本进行研究，目的是通过样本的研究去推断总体，称为统计推断。统计推断包括两个重要方面：参数估计和假设检验。通过学习参数估计的点估计法和区间估计法，能够正确地进行总体参数估计，对总体做出推断。 知识要求 熟悉点估计与区间估计的概念和基本思想；掌握点估计的矩估计法；熟悉估计量的优良衡量标准；掌握正态总体参数（均值和方差）的置信区间的求法。 能力要求 熟练掌握正态总体参数（均值和方差）的区间估计的有关计算；学会查标准正态分布的双侧临界值表和 分布表。,任务1 总体参数的点估计与优良性 一、参数的点估计 定义1 设总体X的分布函数

2、形式为已知， 是待估参数， 是X的一个样本， 是相应的一个样本值。所谓点估计问题就是要构建一个适当的统计量 ，用其观察值 作为未知参数 的近似值来估计未知参数 ，称 为 的估计量， 为 的估计值。简记为 ，这类对于参数值的估计称为点估计。,定义2 矩是描述随机变量最简单的数字特征，是以均值为基础的数字特征，均值是一阶矩，方差是二阶中心矩。总体期望值（均值） 、总体方差 与总体标准差 的矩估计量分别是,二、矩估计法,例1 对糖尿病患者随机选取10名经检验空腹血糖水平的测定值(mmol/L)为5.47，6.17，6.42，6.56，6.62，6.81，7.12，7.20，8.41，8.53。假定该

3、批患者的空腹血糖值服从正态分布 ，其中 ， 分别是正态总体的均值和方差。试求该批患者空腹血糖均值和方差的点估计值。,解 由10名空腹血糖的实测值计算得： 样本均值 =6.331 样本方差 =4.657 故 的点估计值是的点估计值是 的点估计值是,三、估计量优良的衡量标准 (一)无偏性 定义3 设参数 的估计量 的数学期望 存在且等于 ，即 ，称是 的无偏估计量，否则称为有偏估计量。,例2 设总体X服从任意分布，且总体X的均值 ，方差 ， 是取自该总体的样本，证明 （1）样本均值 是总体均值 的无偏估计量； （2）样本方差 是总体方差的无偏估计量。,证 样本 相互独立，与总体服从相同分布，可以得

4、 （1）根据数学期望性质可得 所以， 是 的无偏估计量： （2） 根据样本方差公式可得,利用关于方差的定理得 因此使用数学期望的定理得,所以， 是 的无偏估计量：,（二）有效性,定义4 设 与 都是参数 的无偏估计量，如果 则称比更有效。 例4 设 与 都是总体均值 的无偏估计量，证明样本均值 比总体均值 的另一个无偏估计量 更有效。,任务2 区间估计概述 定义5 设总体X的分布函数 中含有未知参数 ，对于给定的概率 值，由样本 确定的两个统计量 和 且 ，有 则称随机区间 为参数 的置信度为 的置信区间。,任务3 正态总体参数的区间估计,一、正态总体均值的区间估计 对正态总体均值 的区间估计

5、分为正态总体方差 已知和未知两种情况。 （一） 已知时正态总体均值 的区间估计 因为,对于给定的置信度 查标准正态分布的临界值表可得临界值 使得： 可得 由此得,于是得到总体均值 的置信度为 的置信区间为： 简写为 ：,案例1 某药厂随机抽取12名新入学的学生，用某批号结核菌素作皮试，皮肤浸润直径为正态总体 ，测得该12名新生皮肤浸润直径分别为（单位：mm）： 8.8 9.1 8.7 10.3 7.6 8.4 9.3 11.2 10.7 11.6 8.2 8.7 试求该批号结核菌素皮试平均浸润直径的均值 的95%置信区间。,解 计算样本均值 因为置信度 得 ，查附表2得 ，又n=12， 故 所

6、以该批号结合菌素皮肤平均浸润直径的均值 的95%置信区间为（8.77，10.03）。,（二） 未知时正态总体均值 的区间估计 由于 未知，可以用 的无偏估计 代替 ，得到样本统计量：,由于t分布曲线关于y轴对称，对于已给的置信度 ，结合其自由度df=n-1，查t分布的临界值表，得临界值 ，使得： 于是 即,即 故总体均值 的置信度为 的置信区间为 : 简写为 :,案例2 某医师为了认证某新研制的安眠药的疗效，从已确认的神经衰弱的病人中随机抽取25例病人服用该种新药，计算得到平均睡眠时间为6.42小时，标准差为2.17小时。如果该药治疗的平均睡眠时间近似服从正态分布，试求该药治疗的平均睡眠时间的

7、95%置信区间。 解 已知 ,自由度 df=n-1=25-1, 查附表4得 :,由此得 : 所以该药治疗的平均睡眠时间的95%的置信区间为 (5.52,7.32),二、正态总体方差的区间估计,设总体 ,未知参数 ,求未知参数 的 置信区间。 由于 分布曲线不关于Y 轴对称，对于已给的置信度 可选取适当的临界值 , 使得,可得,即 所以得总体方差 的置信度为 的置信区间为:,案例3 某药厂对某批已打包药品进行随机抽检，测得9包药的重量（kg）如下：49.2 48.9 50.2 51.4 47.9 51.5 49.2 50.4 48.5 ，试求该批成包药品重量总体方差90%的置信区间。 解 由样本

8、数据计算得 ,而n=9, 因 查附表3得临界值：,则 故总体方差的90%的置信区间为（0.818，4.640）。,学习小结 一、学习内容,二、学习指南 1估计未知参数分点估计和区间估计。在点估计中最常用的是矩估计法，使用的是替换原则，即总体期望值 、总体方差 与总体标准差 的矩估计量分别是是 2矩估计方法直观而又简单，适用广，使用方便。对于同一参数，使用的估计方法不同，从而求出的估计量可能不相同，这就涉及用无偏性和有效性作为标准来评价估计量的优良性问题。 3样本均值与样本方差分别是总体均值与总体方差的无偏、有效和一致估计量。,4点估计由于样本的随机性，不能明确其与真值的误差与估计的可靠性，因而使用更加广泛的是参数的区间估计法。由于以置信区间 按置信度 对总体X的一个待估计参数 进行估计，解决了参数估计的精确度和可靠度问题。在区间估计中，精确度（区间