(第五章)统计量及其分布习题解答

1、第五章 统计量及其分布一、 填空题1 设来自总体X的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = 4.8 ，样本方差 = 9.23 。2设随机变量独立同分布，且 ，令，则_. 解： 设为总体的样本，则为样本方差，于是，即3设是总体的样本，是样本均值，则当_时，有.解： 4 设是来自01分布：的样本，则_，_，_. 解： 5设总体为来自的一个样本，则_，_. 解： 6设总体为的一个样本，则_，_. 解： 7设总体为来自的一个样本，设，则当_时， 解： ， 且独立 8设是总体的样本，是样本均值，是样本方差，若，则_. 解：，查分布表9 在总体中随机地抽取一个容量为36的

2、样本，则均值落在4与6之间的概率 = 。10 设某厂生产的灯泡的使用寿命 (单位:小时)，抽取一容量为9的样本，得到 ,100， 则 。11某食品厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取5听饮料，称得其净重（单位：克）为 351 347 355 344 351则其经验分布函数= 。12从指数总体抽取了40个样品，则的渐近分布为 。13设是从均匀总体抽取的样本，则的渐近分布为 。14设是从二点分布抽取的样本，则的渐近分布为 。15设是从正态总体中抽取的样本，则样本均值的标准差为 。16. 设为来自泊松分布的一个样本，分别为样本均值和样本方差。则= ，= ，= 。17设为总体的一个样本，则= 。18设

3、为总体的一个样本，且服从分布，这里，则 1/3 。19设随机变量相互独立，均服从分布且与分别是来自总体的简单随机样本，则统计量服从参数 为 的 分布。 答案：参数为（）的（）分布解：由相互独立，均服从分布，又与分别来自总体，可知与之间均相互独立，均服从分布因而，且与相互独立，因而服从参数为的分布。20设是取自正态总体的简单随机样本且，则 ， 时，统计量Y服从分布，其自由度为 。答案：（），（）时，统计量服从分布，其自由度为（）解：由统计量设即由可知，且 若统计量服从分布，则由，可知自由度为且服从标准正态分布，即，。21设是的样本，则的分布 。22设总体,而是来自总体的简单随机样本，则随机变量

4、服从 分布，参数为 。 答案 填：F; (10,5)解：且显然此二者相互独立，则： 23设随机变量，则 。24 设随机变量且，这里A为常数，则 0.8 。 25设是正态总体的样本，记 ， 则_. 解：设总体则 且 独立，而. 故 .26设为来自总体的样本，则= 0.9370 ，= 0.3308 。27. 设是来自具有分布的总体的样本。求样本均值的数学期望= ，方差= 2n 。28设为总体的一个样本，分别为样本均值与方差。若服从分布，则 ，分布的自由度为 。29设为总体的一个样本，则的一个充分统计量为 。22设为来自的样本，则的一个充分统计量为 。二、单项选择题1设为来自的一个样本，为样本均值，

5、记则服从自由度的分布的随机变量是（ B ）。2设是经验分布函数，基于来自总体的样本，而是总体的分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的，（ A ）。A是分布函数； B依概率收敛于；C是一个统计量； D其数学期望是。3设总体服从01分布，是来自总体的样本，是样本均值，则下列各选项中的量不是统计量的是（ B ）。 A ； B. ; C. ; D. .4设为来自的一个样本，其中已知而未知，则下列各选项中的量不是统计量的是（ C ）。5设为来自的一个样本，其中已知而未知，则下列各选项中的量不是统计量的是（ D ）。6.设和分别来自两个正态总体和的样本，且相互独立，分别为两个样本的样本方差，则服从的

6、统计量是（B ）。7. 设为来自的一个样本，和分别为样本均值和样本方差，则下面结论不成立的有（ D ）。A 和相互独立； B 和相互独立；C和相互独立； D和相互独立。8. 设为来自的一个样本，和分别为样本均值和样本方差，则服从自由度为的分布的随机变量是（ A ）。9设为来自的一个样本，则=（ D ）。10. 设为来自的一个样本，和分别为样本均值和样本方差，则（ C ）三、解答题1某地电视台想了解某电视栏目在该地区的收视率情况，于是委托一家市场咨询公司进行一次电话访查。（1）该项研究的总体是什么？（2）该项研究的样本是什么？解：（1）该项研究的总体是该地区全体电视观众；（2） 该项研究的样本是

7、该地区被访问的电视观众。2为了了解统计学专业本科毕业生的就业情况，我们调查了某地区50名2008年毕业的统计学专业本科生实习期满后的月薪情况。 （1） 什么是总体？ （2） 什么是样本？ （3） 样本量是多少？解： （1）总体是该地区2008年毕业的统计学专业本科生实习期满后的月薪；（2）样本是被调查的50名2008年毕业的统计学专业本科生实习期满后的月薪；（3）样本量为50。3某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，为了了解其平均寿命，从中抽出件产品测其实际使用寿命，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布。解：总体是该厂生产的电容器的使用寿命，或者可以说总体是指数分布；样本是该厂被抽

8、出的个电容器的使用寿命；若记被抽出的第个电容器的使用寿命为，则，样本的联合分布为。4设有N个产品，其中有M个次品。进行放回抽样。定义求样本的联合分布。解：总体的分布列为，因此样本的联合分布为5设是取自总体的一个样本。在下列三种情况下，分别写出的联合概率函数解：（1）的联合概率函数为（2）的联合概率函数为（3）的联合概率函数为6 某地随机地挑选了100个中学生，量得他们的身高(单位：厘米)如下： 身高160162163165166168169171172174学生数61540309试就上述数据作出直方图。7 从某厂生产的零件中随机地抽取30个进行测量，测得它们的重量(单位：克)如下： 6.120

9、 6.129 6.116 6.114 6.112 6.1196.119 6.121 6.124 6.127 6.113 6.1166.117 6.126 6.123 6.123 6.122 6.1186.120 6.120 6.121 6.124 6.114 6.1216.120 6.116 6.113 6.111 6.123 6.124试就上述数据作出直方图8. 设为来自的一个样本，试求统计量的分布，其中是不全为零的已知常数。9根据调查，某集团公司的中层管理人员的年薪数据如下（单位：千元）：40.6 39.6 37.8 36.2 38.8 38.6 39.6 40.0 34.7 41.738

10、.9 37.9 37.0 35.1 36.7 37.1 37.7 39.2 36.9 38.3试画出茎叶图。10对下列数据构造箱线图 472 425 447 377 341 369 412 419 400 382 366 425 399 398 423 384 418 392 372 418 374 385 439 428 429 428 430 413 405 381 403 479 381 443 441 433 419 379 386 38711设为来自几何分布的样本，是给出的一个充分统计量。（答案：）12设为来自的一个样本。（1）在已知时给出的一个充分统计量； （2）在已知时给出的一个

11、充分统计量。（答案：（1）；（2） ）13设为来自均匀总体的样本，试给出参数的一个充分统计量。（答案：）四、计算题1. 在总体中随机地抽取一个容量为36的样本，求样本均值落在50.8与53.8之间的概率。解： 由于，故 所以。于是可得 2设总体的概率密度函数为是来自的样本，试求样本中位数的分布。解：总体分布函数为故样本中位数的精确分布密度函数为3设是取自总体的一个样本，已知，其中,试求最大次序统计量的均值与方差。4设是取自总体的一个样本，为样本均值。求（1）； （2）。解 （1） (2)5. 求总体的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。解 设容量分别为10，15的两

12、独立样本的均值分别为，则,从而 6. 设为的一个样本，求解 由于的一个样本，故于是 故 即 由 即 7. 设总体是来自X的样本。（1）求 分布律；（2）求 分布律；（3）求。解 （1）X的分布律为相互独立，于是 的分布律为：（2）由有xib(1,p)有i=1nxib(n,p)其分布律为Pi=1nxi=k=cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,n(3) EX=E1ni=1nxi=1ni=1nExi=1ni=1np=p DX=D1ni=1nxi=1n2Di=1nxi=1n2i=1nD(xi)=1n2P1-P+P1-P=1nP(1-P)ES2=E1n-1i=1nXi2-nX2=1n-1i=1n

13、E(Xi2)-nn-1E(X2) = 1n-1Dxi+EXi2-nn-1DX+EX2 =nn-1p1-p+p2-nn-11np1-p+p2=p-p28. 设总体X2(n)，x1,x2,xn是来自X的样本，求EX、DX、ES2。解 总体，由此得 9. 设在总体XN(，2)中抽取一容量为16的样本，这里，2均为未知，（1）求PS2/22.041，其中S2为样本方差；（2）求DS2.解 （1）设xi(I=1,2,16)为总体X一个样本，则 (n-1）S222(n-1)从而 PS2/22.041 = P15S2/2152.041 =1- P15S2230.615=1-0.01=0.99上式0.01的由

14、及反查出：（2）由 (n-1）S222(n-1)有 Dn-1S22=2(n-1)，即 n-12D(S2)4=2(n-1)故 D(S2)=24n-1=2/15410设为来自的一个样本，其样本均值为，求统计量的数学期望解： 11. 设为来自总体的一个样本，为样本均值。问多大时才能使得成立。解：样本均值，因而可得，所以有，即，因此至少为97时，上述概率不等式才成立。12设从两个方差相等的正态总体中分布抽取容量为15，20的样本，其样本方差分别为，试求。解：不妨设正态总体的方差为，则有，于是。因此所求概率为13. 设容量为n的简单随机样本取自总体N ( 3.4, 36 ),且样本均值在区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大？解：设是取自总体的简单随机样本，则： 又由于：，则，查表得即知样本容量n至少应取35.五、证明题1设是独立同分布的随机变量，且都服从试证： 证明：（1）因为独立同服从分布，所以是相互独立的标准正态变量，于是有。（2）因为独立同服从分布，所以，即，于是有2设是取自正态总体的一个样本，试证：证明：（1）由题设知相互独立都