复变函数积分方法总结

1、复变函数积分方法总结键入文档副标题acer选取日期 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。 arg z= 称为主值 - ，Arg=argz+2k 。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos ，y=rsin,故z= rcos+i rsin；利用欧拉公式ei=cos+isin。z=rei。1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内

2、起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0 ，z1，zk-1，zk，zn=B，在每个弧段zk-1 zk(k=1,2n)上任取一点xk并作和式Sn=k-1nf(xk)(zk-zk-1)= k-1nf(xk)zk记zk= zk- zk-1，弧段zk-1 zk的长度 =max1knSk(k=1,2,n),当 0时，不论对c的分发即xk的取法如何，Sn有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为： cf(z)dz=lim 0k-1nf(xk)zk设C负方向(即B到A的积分记作) c-f(z)dz.当C为闭曲线时，f(z)的积分记作cf(z)dz (C圆

3、周正方向为逆时针方向)例题：计算积分1)cdz 2) c2zdz,其中C表示a到b的任一曲线。（1） 解：当C为闭合曲线时，cdz=0. f(z)=1 Sn=k-1nf(xk)(zk-zk-1)=b-a limn 0 Sn=b-a,即1)cdz=b-a. (2)当C为闭曲线时，cdz=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分czdz存在，设xk=zk-1,则 1= k-1nZ（k-1）(zk-zk-1)有可设xk=zk，则 2= k-1nZ（k-1）(zk-zk-1)因为Sn的极限存在，且应与1及2极限相等。所以 Sn= (1+2)= k-1nzk(zk2-zk-12)=b2-a2 c2zdz=

4、b2-a21.2 定义衍生1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入cf(z)dz得： cf(z)dz= cudx - vdy + icvdx + udy再设z(t)=x(t)+iy(t) (t) cf(z)dz=f(z(t)z(t)dt参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0t1）；z=z0+rei，(02)例题1： 03+iz2dz 积分路线是原点到3+i的直线段解：参数方程 z=（3+i）t 03+iz2dz=01(3+i)t2(3+i)tdt =(3+i)301t2dt =6+263i例题2： 沿曲线y=x2计算01+i（x2+iy）dz解： 参数方程

5、x=ty=t2 或z=t+it2 (0t1)01+ix2+iydz=01（t2+it2）(1+2it)dt =(1+i)01t2dtdt + 2i01t3dt =-16+56i1.3定义衍生2 重要积分结果：z=z0+ rei ，(02)由参数法可得：cdz(z-z0)n+1=02ireiei（n+1）rn+1d=irn01+ie-indcdz(z-z0)n+1=2i n=00 n0 例题1：z=1dzz-2 例题2：z=1dzz-12 解： =0 解 =2i 2.柯西积分定理法： 2.1 柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有： cf(z)dz=0

6、2.2定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。2.3闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析，C与C1是D内两条正向简单闭曲线，C1在C的内部，且以复合闭路=C+C1所围成的多连通区域G全含于D则有：f(z)dz=cf(z)dz+c1f(z)dz=0即cf(z)dz=c1f(z)dz推论： cf(z)dz=k=1nckf(z)dz例题：c2z-1z2-zdz C为包含0和1的正向简单曲线。解： 被积函数奇点z=0和z=1.在C内互不相交，互不包含的正向曲线c1和c2。c2z-1z2-zdz=c12z-1z(1-z)dz+c22z-1z

7、(1-z)dz =c11z-1+1zdz+c21z-1+1zdz =c11z-1dz+c11zdz+c21z-1dz+c21zdz =0+2i+2i+0 =4i2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：定理2.2可知，解析函数在单连通域B内沿简单曲线C的积分只与起点z0与终点z1有关，即 cf(x)dx = z0z1f(x)dx 这里的z1和z0积分的上下限。当下限z0固定，让上限z1在B内变动，则积分z0z1f(x)dx在B内确定了一个单值函数F(z),即F(z)= z0z1f(x)dx 所以有 若f(z)在单连通区域B内解析，则函数F(z)必为B内的解析函数，且F(z) =f(z).根据定理2

8、.2和2.4可得z0z1f(z)dz= F(z1) - F(z0).例题：求01zcoszdz解： 函数zcosz在全平面内解析 01zcoszdz=zsinz|0i-01sinzdz = isin i+cosz|0i=isin i+cos i-1 =ie-1-12i+e-1+12i-1=e-1-1此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。2.5柯西积分公式法：设B为以单连通区域，z0位B中一点，如f(z)在B内解析，则函数f(z)z-z0在z0不解析，所以在B内沿围绕z0的闭曲线C的积分cf(z)z-z0dz一般不为零。 取z0位中心，以0为半径的正

9、向圆周z-z0=位积分曲线c，由于f(z)的连续性，所以cf(z)z-z0dz=cf(z)z-z0dz=2if(z0)2.5.1定理：若f(z)在区域D内解析，C为D内任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内的任一点，有： f(z0)=12if(z)z-z0dz例题：1）z=2sin zzdz 2）z=2z(9-z2)(z+i)dz 解：=2 isin z|z=0=0 解： =z=2z9-z2z-(-i)dz =2iz9-z2|z=-i=52.6解析函数的高阶导数： 解析函数的导数仍是解析函数，它的n阶导数为 f(n)(z0)=n!2if(z)(z-z0)n+1dz(n=1,2)

10、其中C为f(z)的解析区域D内围绕z0的任一条正向简单闭曲线，而它的内部全含于D.例题：cezz5dz C:Z=1 解：由高阶导数的柯西积分公式： 原式=2i14!(ez)(4)|z=2 =i123.解析函数与调和函数： 定义：（1）调和函数：如果二元实函数(x,y)在区域D内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：2x2+2y2=0，则称(x,y)为区域D内的调和函数。若f(z)=u+iv为解析函数，则u和v都是调和函数，反之不一定正确（2）共轭调和函数:u(x，y)为区域内给定的调和函数，我们把是 u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数。若v是u的共轭

11、调和函数，则-u是v的共轭调和函数关系：任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数；且虚部为实部的共轭调和函数。3.1求解方法：（1）偏积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的偏导数ux=vy，两边对y积分得v=uxdy+g(x).再由uy=-vx又得xvxdy+g(x)=- u y 从而g(x)=-uy-xuxdydx + C v=uxdy + -uy-xuxdydx + C同理可由v(x,y)求u(x,y).3.2不定积分法：因为f(z)=Ux+i Vx= Ux-iUy= Vy+iVX所以f(z)=Uzdz+c f(z)=Vzdz+c3.3线积分法：若已

12、知实部u=u(x,y),利用C-R方程可得的dv=vxdx+vydy=-uydx+uxdy 故虚部为v=（x0，y0，）（x，y）-uydx+uxdy+C该积分与路径无关，可自选路径，同理已知v(x,y)也可求u(x,y). 例题：设u=x2-y2+xy为调和函数，试求其共轭函数v(x,y)级解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 解：利用C-R条件 ux=2x+y uy=-2y+x 2ux2=2 2uy2=-2所以满足拉普拉斯方程，有vx=-uy=2y-x vy=ux=2x+y所以v=(2y-x)dx+(y)=2xy- x22 +(y)vy=2x+(y)=2x+y(y)=y (y)=

13、y22+cv(x,y)=2xy- x22+y22+cf(z)=u(x,y)+iv(x,y)=12(2-i)z2+iC4.留数求积分：留数定义：设z0为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域、0z-z0 ,我们把f(z)在z0处的洛朗展开式中负一次幂项系数c-1称为f(z)在z0处的留数，记为Resf(z),z0即Resf(z),z0=c-1或者Resf(z),z0=12icfzdz C为0z-z04.1留数定理：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1z2zn, cfzdz =2ik=1nResfz,zk 其中zk表示函数fz的孤立奇点4.2孤立奇点：定义：如果函数fz在z0不解

14、析，但在z0某个去心邻域0z-z0内解析，则称z0为fz的孤立奇点。 例如1z、e1z都是以z=0为孤立奇点函数1z+1（z+2）以z=-1、z=2为孤立奇点.在孤立奇点z=z0的去心邻域内，函数fz可展开为洛朗级数 fz=n=-cn（z-z0）n洛朗级数中负幂项是否存在，若存在是有限项还是无限项，这对f(z)在z0处的奇异性将起着决定性的作用。讨论孤立奇点z0的类型：4.2.1可去奇点：若函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域内的洛朗展开式中不含负幂项，即对一切n0有cn=0，则称z0是f(z)的可去奇点 因为没有负幂项，即c-n=0,(n=1,2.)故c-1=0。遇到函数f(z)的奇点类型是

15、可去奇点 ，一般对函数fz求积分一般为零 cfzdz =2ik=1nResfz,zk=0。判断可去奇点方法：函数fz在某个去心邻域0z-z0内解析，则z0是fz的可去奇点的充要条件是存在极限limzz0f（z）=c0，其中c0是一复常数; 在的假设下，z0是f(z)可去奇点的充要条件是：存在r，使得f(z)在0z-z0r内有界4.2.2极点：若函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有有限个负幂项，即有正整数m，c-m0，而当n-m时c-n=0则称z0是f(z)的m级极点。其洛朗展开式是：f(z)=c-m（z-z0）m+c-m+1（z-z0）m+1+c-1z-z0+c0+c1(

16、z-z0)n+m+c0(z-z0)n +这里c-m0，于是在 0z-z0有f(z)=c-m（z-z0）m+c-m+1（z-z0）m+1+c-1z-z0+c0+c1(z-z0)n+m+c0(z-z0)n +=1z-z0m(z). * (z)一个在0z-z0解析，同时(z)0，则z0是f(z)的m级极点。判断定理：（1）f(z)在z0的去心邻域0z-z0解析，z0是f(z)的m级极点的充要条件是可以表示成*的形式。（2）z0是f(z)的m级极点的充要条件是limzz0f(z)=.4.2.3本性奇点：若函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有无限个负幂项，则称z0是f(z)的本性奇

17、点判断方法：孤立奇点是本性奇点的充要条件是不存在有限或无穷的极限limzz0f(z)。4.3函数在极点的留数：准则一：若z0为一级极点，则Resf(z),z0= limzz0fz(z-z0)准则二：做z0为m级极点，则Resf(z),z0=1(m-1)!limzz0dm-1dzm-1(z-z0)mf(z)准则三：设f(z)=P(Z)Q(Z),P(z)以及Q(z)都在z0解析，如果P(z0)=0，Q(z0)0，则z0是f(z)的一级极点，而且：Resf(z),z0=P(Z0)Q(Z0)4.4无穷远处的留数：定义：扩充z平面上设z=为f(z)上的孤立奇点，即f(z)在Rz+内解析，C为圆环绕原点z

18、=0的任一条正向简单闭曲线，则积分值12ic-1fzdz称为f(z)在z=处的留数，记作 Resf(z), =12ic-1fzdz如果f(z),在Rz+内的洛朗展开式为 f(z),=n=-cnzn 则有Resf(z), =-c-14.4.1如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远处在内）设为z1，z2，zn，则f(z)在各奇点的留数总和为零,即 k=1nResf(z)dz+Resf(z), =0;4.4.2 Resf(z), =-Resf(1z) 1z2,0例题：求下列Resf(z), 的值（1）f(z)=ezz2-1 (2)f(z)=1zz+14(z-4)解：（1）在扩充复平面上有奇点：1， ，而1为f(z)的一级极点且Resf(z),1=limz1(z-1)f(z)=limz1ezz+1=12e Resf(z),-1= limz-1(z-1)f(z)=limz1ezz-1=-12e-1Resf(z), + Resf(z),1 + Resf(z),-1=0得Resf(z), =- Resf(z),1+ Resf(z),-1= 12(e-1+e)=-sh1(2) 由公式Resf(z), =-Resf(1z) 1z2,0，而1z2f(1z)= 1zz+14