复数在初等数学中的应用

1、 复数在初等数学中的应用复数具有代数形式、三角形式、几何形式等多种表示方法,而这些表示所蕴含的实际意义,以新的视角、新的途径沟通了代数、三角和几何等内容之间的联系，所以巧妙得利用复数四则运算法则，以及复数模，幅角的运算性质能够巧妙的解决初等数学中的一些问题。一 复数在函数中的应用 利用复数求函数值域例1求函数的值域解：，令，则因，（*）又复数在复平面上对应的点在平行于实轴的直线上，从而和原点O不可能共线，即（*）式不能取等号则，即所求函数的值域为例2 解： 又y是x的连续函数 2利用复数求函数的最值例3求函数的最小值解：原函数可化为构造复数，则当且仅当，即时，等号成立故当时， 二复数证明不等式

2、中的应用例4设a、b、x、y都是实数，求证：证明：设，则，则|z|，则，则，又，由模的性质可知，三复数在三角函数中的应用 1. 利用复数计算三角函数的和、积问题例5 计算：p=coscoscos. 解：设z= cosi sin，由公式得， 又z= cosi sin= cosi sin=1.所以可得：p=coscoscos=由等比数列求和公式，得 =0于是 p=.例 6 计算：S=coscoscos.解：设z= cosi sin，由公式二得 ，又z= cosi sin= cosi sin=1.S=coscos cos=由等比数列求和公式，得 =于是 S=.例 7 计算：q= sinsin.解：设

3、z= cosi sin，则z=1，z= i ，由公式二得q= sinsin=，由等比数列求和公式，得 =于是 q=.2、复数证明三角恒等式例 8 求证：= 证明：设z= cosi sin，则z=1，由公式得 sin，sin，sin，由此有=，+=+=， 例 9 设A、B、C为三角形三内角，求证：sinAsinBsinC =4coscoscos. 证明：设= cosi sin，= cosi sin，= cosi sin，ABC=，则= cosi sin= i，由公式得右边 =4coscoscos =4=左边=sinAsinBsinC =所以可得sinAsinBsinC =4coscoscos3.

4、 复数证明三角不等式例 10 求证：58cos4coscos0.证明：设z= cosi sin，z= 2cos，由公式得 cos=，cos=，cos=左边=5= 所以可得：58cos4coscos0.四复数在几何图形中的应用 1.复数与几何图形的关系 例 11（矩形）已知复数、满足，且，求与的值解：设复数、在复平面上对应的点分别为、，由于，故，故以 ，为邻边的平行四边形是矩形,，则；例12（正方形）已知复数、满足，且，求证证明：设复数、在复平面上对应的点分别为、，由条件知，以，为邻边的平行四边形为正方形，而在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以例13（菱形）已知、，求解：设复数、在复平

5、面上对应的点分别为、，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，在中，由余弦定理，得，因此，是正三角形，2. 求几何图形的点的坐标例 14 如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0，试求：（1）所表示的复数，所表示的复数. （2）对角线所表示的复数 （3）对角线所表示的复数及的长度分析：要求某个向量对应的复数，只要找出所求的向量的始点和终点。或者用向量的相等直接给出所求的结论解：（1）所表示的复数为，所表示的复数为（2）， 所表示的复数为（3）对角线，它所对应的复数为所以 例 15 复数，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。分析：利用或者求点D对应的复数。解：设复数，所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为（）则 ， 解得故点D对应的复数五复数在求点运动轨迹的运用例16: 已知关于t的一元二次方程（1）当方程有实根时，求点的轨迹方程（2）求方程的实根的取值范围解：（1）设实根为t，则即根据复数相等的充要条件得由（2）得代入（1）得即（3）所求点的轨迹方程为，轨迹是以（1，1）为 圆心，为半径的圆（2）由（3）得圆心为（1，1），半径，直线与圆有公共点，则，即 ，故方程的实根的取值范围为例17 ，求对应的点的轨迹方程解：，则又，故有 对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆 6 复数