数值分析实验报告

1、实验报告一、实验名称 复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式及自适应辛普森积分。二、实验目的及要求 1.掌握复合梯形求积计算积分、复合辛普森求积计算积分、龙贝格求积计算积分和自适应辛普森积分的基本思路和步骤. 2. 培养Matlab编程与上机调试能力.三、实验环境 计算机，MATLAB软件4、 实验内容 1.用不同数值方法计算积分。（1） 取不同的步长h。分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确指比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h，使得精度不能再被改善。（2） 用龙贝格求积计算完成问题（1）。（3）用自适应辛普森积分，使其精度达到10-4

2、。 五、算法描述及实验步骤1. 复合梯形公式将区间a,b划分为n等份，分点xk=a+ah,h=(b-a)/h,k=0,1,.,n，在每个子区间xk,xk+1(k=0,1,.,n-1)上采用梯形公式（1.1），得 （1.1） （1.2） （1.3）其中Tn称为复合梯形公式，Rn为复合梯形公式的余项。2. 复合辛普森求积公式将区间a,b划分为n等份，在每个子区间xk,xk+1(k=0,1,.,n-1)上采用辛普森公式（1.4），得 （1.4） （1.5） （1.6）其中Sn称为复合辛普森求积公式，Rn为复合辛普森求积公式的余项。3. 龙贝格算法统一的公式： （1.7）经过m（m=1,2.）次加速后

3、，余项便取下列形式： （1.8）上述处理方法通常称为理查森外推加速法。设以表示二分k次后求得的梯形值，且以表示序列的m次加速值，则依递推公式（1.7）可得 （1.9）公式（1.9）也称为龙贝格求积算法，计算过程如下：（1） 取k=0,h=b-a,求。令（k记区间a,b的二分次数）。（2） 求梯形值T0(b-a)/2k),即按递推公式（1.10）计算。 （1.10）（3） 求加速值，按公式（1.9）逐个求出T值。（4） 若（预先给定的精度），则终止计算，并取；否则令转（2）继续计算。4. 自适应积分方法设给定精度要求，计算积分的近似值。先取步长h=b-a，应用辛普森公式有 （1.11）表区间a,

4、b对分，步长h2=h/2=(b-a)/2，在每个小区间上用辛普森公式，得 （1.12）上式即为 （1.13）将（1.12）与（1.13）比较得 (1.14)则期望得到 （1.15）此时可取S2(a,b)作为的近视，则可达到给定的误差精度。如果不行，则细分区间，进行计算。六、调试过程及实验结果取不同的步长，得到的不同结果如下表：方法步长数n8163264复合梯形-0.12-0.54-0.21-0.57复合辛普森-0.15-0.43-0.12-0.61龙贝格公式-0.30-0.1-0.4-0.31自适应辛普森-0.62-0.57-0.233-0.58七、总结通过本次学习Matlab，掌握了复合梯形

5、求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式及自适应辛普森积分的程序和算法，为以后处理数据提供一种更加简便，准确的方法。八、附录（源程序清单）1.复合梯形function s=fuhetixing(f,a,b,n)%f为被积分函数%a，b是积分上下限%n是子区间个数%s是积分值h=(b-a)/n;s=0;for k=1:(n-1) x=a+h*k; s=s+feval(f,x);endformat longs=h*(feval(f,a)+feval(f,b)/2+h*s;2.复合辛普森function S=Comsimpson(f,a,b,n)%f为被积分函数%a，b是积分上下限%n是子区间个

6、数%s是积分值h=(b-a)/(2*n);s1=0;s2=0;for k=1:n x=a+h*(2*k-1); s1=s1+feval(f,x);end for k=1:(n-1) x=a+h*2*k; s2=s2+feval(f,x); end format long S=h*(feval(f,a)+feval(f,b)+4*s1+2*s2)/3;3.龙贝格function T,quad,err,h=Romberg(f,a,b,n,delta)%f为被积分函数%a，b是积分上下限%n+1是T数表的列数%T表示T数表%quad是所求积分值%delta是设定的允许误差限 m=1;h=b-a;err=1;J=0;T=zeros(n,n);%定义T表初始值T(1,1)=h*(feval(f,a)+feval(f,b)/2;while (errdelta)&(J=