矩阵的伴随矩阵的性质

1、矩阵的伴随矩阵的性质数学计算机学院数学与应用数学（师范）2011届方娜摘要:本文首先回顾了伴随矩阵的定义，讨论了伴随矩阵的秩、可逆性、特征值及一些特殊矩阵的伴随矩阵，并加以证明.最后给出了某些性质的简单应用.关键词: 伴随矩阵; 矩阵的秩; 矩阵的逆; 性质中图分类号：O151.21The properties of Adjoint MatrixAbstract: The concept of the adjoint matrix was firstly reviewed, then the rank, the reversibility, the eigenvalue of the adjo

2、int matrix and adjoint matrices of some special matrices were discussed, with proofs of the properties being given out. Lastly, the simple applications of the properties about adjoint matrix were given out.Key words: adjoint matrix； the rank of the matrix； inverse matrix； property目 录1 前言12 伴随矩阵的定义13

3、 伴随矩阵的性质13.1 伴随矩阵的基本性质13.2 伴随矩阵秩的性质33.3 伴随矩阵特征值的性质43.4 特殊矩阵的伴随矩阵的性质44 伴随矩阵的性质的简单应用7结束语8参 考 文 献9致 谢9矩阵的伴随矩阵的性质1 前言矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具.伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类，其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的，并没有进行深入的研究.本文分类研究了伴随矩阵的性质，并给予证明，得到一系列有意义的结果.从而使高等代数中的概念伴随矩阵比较完整地呈现在我们面前.2 伴随矩阵的定义设n阶矩阵=,是A中元素的代数余子式

4、，称矩阵为的伴随矩阵.3 伴随矩阵的性质 3.1 伴随矩阵的基本性质定理3.11 阶矩阵可逆的充分必要条件是;当可逆时,其中为的伴随矩阵.性质1 设为的伴随矩阵,则.证明2 由行列式按一行（列）展开的公式 可得 . 注：（1）可逆时，; （2）有时用伴随矩阵来处理有关代数余子式问题. 推论3.1 与同时可逆或同时不可逆，且为阶可逆矩阵，则. 性质2 .证明 若可逆,则，由性质1得.两边取行列式，得，也就是.又，则.若不可逆,则3,于是A或0.所以，. 性质3 设为阶方阵，为任意非零常数,则. 证明 设， ， 性质4 证明（法一）设，则 ,其中是中元素的代数余子式.又设，其中是中元素在中的代数余

5、子式.由于在中的代数余子式与在中的代数余子式互为转置行列式，故.从而.（法二） 由性质2注（1），. 性质 5 证明 由性质1注（1），.推广 设均为阶方阵，则，特别地，为正整数. 3.2 伴随矩阵秩的性质 矩阵的秩是矩阵的重要特性，若以表示矩阵的秩，则有以下结论: 定理23设是阶矩阵，则 证明 （1）当时，由性质2，,所以.（2）当时，有.于是，由知的列向量都是方程组的解.由于，则齐次线性方程组的解向量组的秩为，知的列向量组的秩为1，即列秩为1，故.(3) 当时，的每一个元素都是0，因为没有不为0的阶子式，故. 性质6 ，特别，当时，. 证明 当可逆，即时，由性质1得.所以，.当不可逆，即时

6、，,所以.因此.性质7 设阶矩阵的秩是，那么存在数使得. 证明 由定理2得，于是必存在的一个列向量使得. 因此，这里 . 3.3 伴随矩阵特征值的性质性质8 设为阶可逆矩阵的一个特征值，则为的特征值. 证明 因为，又为的特征值，故存在非零向量，使得，即，从而，故为的特征值. 性质9 设阶可逆矩阵的特征根为个非零实数，则的特征根. 证明 在两边左乘，利用得到，所以故为的特征值. 3.4 特殊矩阵的伴随矩阵的性质性质10 可逆的充分必要条件是可逆.证明 必要性 由性质1知，.若可逆，则.所以，.由可逆矩阵的定义可知可逆. 充分性 欲证命题成立，只需证其逆否命题成立.即需证若不可逆则也不可逆.即证若

7、则.用反证法. 假设，则可逆.由得，由伴随矩阵的定义可知与矛盾.故假设不成立，原命题成立.综上所述，可逆可逆.性质11 若对称，则也对称.证明 设,因为是对称的，所以.因此且.从而，,即是对称的. 性质12 设可逆，若是对称矩阵，则为对称矩阵. 证明 所以，为对称矩阵. 性质13 若为阶反对称矩阵，则当为偶数时，仍为反对称矩阵；当为奇数时，为对称矩阵.证明 由性质3知，又,由性质4得，. 所以，当为奇数时，,此时是对称方阵; 当为偶数时，此时是反对称方阵.性质14 上（下）三角矩阵的伴随矩阵仍为上（下）三角矩阵.证明 设,当时，.直接计算得，,.即,则亦为上三角矩阵.同理可证，若为下三角矩阵，

8、则也为下三角矩阵. 推论2.2 对角矩阵的伴随矩阵仍为对角矩阵. 性质15 若为正交矩阵，则也为正交矩阵. 证明 为正交矩阵,而.所以，也为正交矩阵. 性质16 若矩阵与相似，则与也相似. 证明 因为与相似，所以存在可逆矩阵使得,于是，,因此，与也相似. 推论 可对角化矩阵的伴随矩阵仍为可对角化矩阵. 性质17 若是正定的，则也是正定的. 证明 因为是正定的，所以存在可逆矩阵P使,则有.而,因此，也是正定的. 性质18 若矩阵与合同，且与可逆，则与也合同. 证明 因为与合同，所以存在可逆矩阵P使.又与可逆，则有,即.其中.又,则,即,其中是可逆矩阵.故与也合同. 性质19 若是对合矩阵，即,则

9、也是对合矩阵.证明 由知，所以可逆.于是.又由知，,从而.因此，是对合矩阵. 性质204 设是幂等矩阵，即,若或，则亦为幂等矩阵. 证明 当时，.命题显然成立.当时，可逆，且,即为幂等矩阵,于是由知为幂等矩阵. 性质214 设是幂幺矩阵，即，则当时，为幂幺矩阵；当时，为幂负幺矩阵. 证明 由于，所以，,于是,因此当时，为幂幺矩阵；当时，为幂负幺矩阵.性质1021说明的伴随矩阵继承了的许多性质，这里所谓的继承是指具有某种性质，则也具有性质.这些性质包括矩阵的对称性，正定性，正交性等重要性质，对于这些性质，与同时具有或同时不具有，也即具有这些性质的条件是也具有这些性质.4 伴随矩阵的性质的简单应用

10、例3.1 设，求. 解 由, , 可得，. 例3.2 已知三阶矩阵满足条件：（1），其中是的代数余子式；（2），求. 解 由条件（1）知,再由性质2得，,所以或.又，故. 例3.33 设三阶实可逆矩阵的特征值为，求：（1）的特征值；（2）行列式的值. 分析 利用与的特征值的关系. 解 设为的特征值，则为的特征值，为的特征值.由性质8，为的特征值.（1） 设为的特征值，是属于的特征向量，则，由此可得，则 .又，设，则的特征值为.（2）同（1），可求得的特征值为,故.结束语在学习伴随矩阵时，大家对求伴随矩阵的求法比较熟悉，但往往不会利用伴随矩阵求矩阵的逆，甚至有时候不会求伴随矩阵的秩，特征值并且对一些特殊矩阵的伴随矩阵存在一些疑虑.本文就这些问题进行了讨论，并举例进行了简单的练习，使伴随矩阵这个概念比较完整地呈现在我们面前，为我们以后进一步学习高等代数奠定了理论基础.参 考 文 献1张志让，刘启宽.高等代数M.北京：高等教育出版社，2008.71.2赵建中，叶红萍.伴随矩阵的一些性质J.皖西学院学报:2004，20(5):12.3郑素