2016年湖南省四大名校高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(解析版)

1、2016年湖南省四大名校高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数i（3i）的共轭复数是（）A1+3iB13iC1+3iD13i2设U=R，A=x|2x1，B=x|log2x0，则AUB=（）Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0x13计算sin47cos17+cos47cos107的结果等于（）ABCD4已知向量，若，则m=（）A1B0C1D25已知抛物线y=ax2（a0）的焦点到准线距离为1，则a=（）A4B2CD6下列命题是假命题的是（）AR，函数f（x）=sin（2x+）都不是偶函

2、数B，R，使cos（+）=cos+cosC向量=（2，1），=（3，0），则在方向上的投影为2D“|x|1”是“x1”的既不充分也不必要条件7已知双曲线（a0，b0）的离心率是，则该双曲线两渐近线夹角是（）ABCD8在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+b2c2）tanC=ab，则角C的值为（）A或B或CD9设变量x、y满足约束条件，则z=32xy的最大值为（）ABC3D910如图所示程序框图中，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最小的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）AcxBxcCcbDbc11一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它

3、的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则侧视图的面积是（）A8BC4D12对于函数f（x），若a，b，cR，f（a），f（b），f（c）为某三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A1，0B（，0C2，1D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13设函数，若f（x）为奇函数，则的值为_14已知点A（1，0），过点A可作圆x2+y2+mx+1=0的两条切线，则m的取值范围是_15已知，则=_16已知函数f（x）=|x22ax+b|（xR），给出下列命题：aR，使f（x）为偶函数；若f（0

4、）=f（2），则f（x）的图象关于x=1对称；若a2b0，则f（x）在区间a，+）上是增函数；若a2b20，则函数h（x）=f（x）2有2个零点其中正确命题的序号为_三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列an的前n项和Sn=k（2n1），且a3=8（1）求数列an的通项公式；（2）求数列nan的前n项和Tn18如图，AB是O的直径，点C是弧上一点，VC垂直O所在平面，D，E分别为VA，VC的中点（1）求证：DE平面VBC；（2）若VC=CA=6，O的半径为5，求点E到平面BCD的距离192015年下学期某市教育局对某校高三文科数学进行教学调研

5、，从该校文科生中随机抽取40名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段80，90），90，100），100，110），120，130），130，140）后得到如图所示的频率分布直方图（1）求这40个学生数学成绩的众数和中位数的估计值；（2）若从数学成绩80，100）内的学生中任意抽取2人，求成绩在80，90）中至少有一人的概率20在平角坐标系xOy中，椭圆的离心率，且过点，椭圆C的长轴的两端点为A，B，点P为椭圆上异于A，B的动点，定直线x=4与直线PA、PB分别交于M，N两点（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在定点经过以MN为直径的圆，若存在，求定点坐标；若不存在，说明理由21已

6、知函数f（x）=x2（1）k2alnx（kN，aR且a0）（1）求f（x）的极值；（2）若k=2016，关于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上选修4-1几何证明选讲22如图，O是ABC的外接圆，AD平分BAC交BC于D，交ABC的外接圆于E（1）求证：；（2）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长选修4-4坐标系与参数方程23已知曲线C1的极坐标方程为=2cos，曲线C2的参数方程为为参数）（1）判断C1与C2的位置关系；（2）设

7、M为C1上的动点，N为C2上的动点，求|MN|的最小值选修4-5不等式选讲24已知a，bR，f（x）=|x2|x1|（1）若f（x）0，求实数x的取值范围；（2）对bR，若|a+b|+|ab|f（x）恒成立，求a的取值范围2016年湖南省四大名校高考数学模拟试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数i（3i）的共轭复数是（）A1+3iB13iC1+3iD13i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简，则答案可求【解答】解：i（3i）=3ii2=1+3i，复

8、数i（3i）的共轭复数是13i故选：B2设U=R，A=x|2x1，B=x|log2x0，则AUB=（）Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0x1【考点】交、并、补集的混合运算【分析】利用对数函数的性质，求出集合B中不等式的解集，确定出集合B，利用指数函数的性质确定出集合B，由全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分，即可确定出所求的集合【解答】解：易知A=x|x0，B=x|x1，则ACUB=x|0x1，故选C3计算sin47cos17+cos47cos107的结果等于（）ABCD【考点】两角和与差的余弦函数【分析】有条阿金利用诱导公式、两角和差的正弦公式，求得要求式子的值【解答】解

9、：，故选：D4已知向量，若，则m=（）A1B0C1D2【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积的运算即可求出【解答】解：由已知得，又，m=1，故选：C5已知抛物线y=ax2（a0）的焦点到准线距离为1，则a=（）A4B2CD【考点】抛物线的简单性质【分析】抛物线y=ax2（a0）化为，可得再利用抛物线y=ax2（a0）的焦点到准线的距离为1，即可得出结论【解答】解：抛物线方程化为，焦点到准线距离为，故选D6下列命题是假命题的是（）AR，函数f（x）=sin（2x+）都不是偶函数B，R，使cos（+）=cos+cosC向量=（2，1），=（3，0），则在方向上的投影为

10、2D“|x|1”是“x1”的既不充分也不必要条件【考点】命题的真假判断与应用【分析】A，B寻找特殊值进行判断即可；C，D根据投影和充要条件的概念判断即可【解答】解：A当=时，函数f（x）=sin（2x+）=cos2x是偶函数，故错误；B当=，=时，能使cos（+）=cos+cos，故正确；C则在方向上的投影为=2，故正确；D“|x|1，则1x1，故是“x1”的既不充分也不必要条件，故正确；故选A7已知双曲线（a0，b0）的离心率是，则该双曲线两渐近线夹角是（）ABCD【考点】两直线的夹角与到角问题；双曲线的简单性质【分析】由离心率可得 c= a，故可求得 =，故一条渐近线的倾斜角等于30，从而

11、求得两渐近线夹角【解答】解：，c= a，故在一、三象限内的渐近线的斜率为 =，故此渐近线的倾斜角等于30，故该双曲线两渐近线夹角是230=60，即，故选C8在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+b2c2）tanC=ab，则角C的值为（）A或B或CD【考点】余弦定理【分析】已知等式整理后，利用余弦定理，以及同角三角函数间基本关系化简，求出sinC的值，即可确定出C的度数【解答】解：在ABC中，由已知等式整理得： =，即cosC=，cosC0，sinC=，C为ABC内角，C=或，故选：A9设变量x、y满足约束条件，则z=32xy的最大值为（）ABC3D9【考点】简单线性规划【分

12、析】首先由约束条件画出可行域，令2xy=t，利用t的几何意义求出最值，然后求z 的最值【解答】解：约束条件对应的平面区域如图：令2xy=t，变形得y=2xt，根据t的几何意义，由约束条件知t过A时在y轴的截距最大，使t最小，由得到交点A（，）所以t最小为；过C时直线y=2xt在y轴截距最小，t最大，由解得C（1，0），所以t的最大值为210=2，所以，故；故选D10如图所示程序框图中，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最小的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）AcxBxcCcbDbc【考点】程序框图【分析】由于该程序的作用输出a、b、c中的最小数，因此在程序中要比

13、较数与数的大小，第一个判断框是判断x与b的大小，故第二个判断框一定是判断最小值x与c的大小【解答】解：则流程图可知a、b、c中的最大数用变量x表示并输出，第一个判断框是判断x与b的大小，第二个判断框一定是判断最大值x与c的大小，并将最大数赋给变量x，故第二个判断框应填入：xc，故选：A11一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则侧视图的面积是（）A8BC4D【考点】由三视图求面积、体积【分析】设出对面边长，表示出几何体的体积，求出边长，然后求解侧视图的面积【解答】解：设底面边长为x，则，x=4侧视图是长为4，宽为的矩形，故选：B12对于函数

14、f（x），若a，b，cR，f（a），f（b），f（c）为某三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A1，0B（，0C2，1D【考点】函数与方程的综合运用【分析】化简f（x），讨论t的取值，判断f（a）、f（b）、f（c）能否构成一个三角形的三边长，从而求出t的取值范围【解答】解： =1，当t+1=0即t=1时，f（x）=1，此时f（a），f（b），f（c）都为1，能构成一个正三角形的三边长，满足题意；当t+10即t1时，f（x）在R上单调递增，tf（x）1，tf（a），f（b），f（c）1，由f（a）+f（b）f（c）得2t1，解

15、得1t；当t+10即t1时，f（x）在R上单调递减，又1f（x）t，由f（a）+f（b）f（c）得2t，即t2，所以2t1；综上，t的取值范围是故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13设函数，若f（x）为奇函数，则的值为2【考点】函数奇偶性的性质【分析】由题意可得g（）=f（）=f（）=，再利用对数的运算性质，求得结果【解答】解：g（）=f（）=f（）=log24=2，故答案为：214已知点A（1，0），过点A可作圆x2+y2+mx+1=0的两条切线，则m的取值范围是（2，+）【考点】圆的切线方程【分析】过点A可作圆x2+y2+mx+1=0的两条

16、切线，即为A在圆外，把已知圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径r，列出关于m的不等式，同时考虑1大于0，两不等式求出公共解集即可得到m的取值范围【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+）2+y2=1，所以圆心坐标为（，0），半径r=，由题意可知A在圆外时，过点A可作圆x2+y2+mx+1=0的两条切线，所以dr即1+m+10，且10，解得：m2，则m的取值范围是（2，+）故答案为：（2，+）15已知，则=【考点】二倍角的正弦【分析】由已知式子和二倍角公式可得sin，进而可得cos，再由切化弦和二倍角公式代值计算可得【解答】解：5sin2=6cos，10sincos=6cos，（0，）

17、，cos0，由同角三角函数基本关系可得cos=，故答案为：16已知函数f（x）=|x22ax+b|（xR），给出下列命题：aR，使f（x）为偶函数；若f（0）=f（2），则f（x）的图象关于x=1对称；若a2b0，则f（x）在区间a，+）上是增函数；若a2b20，则函数h（x）=f（x）2有2个零点其中正确命题的序号为【考点】命题的真假判断与应用【分析】当a=0时，f（x）=|x2+b|显然是偶函数，故正确；由f（0）=f（2），则|b|=|44a+b|，取a=0，b=2，此式成立，此时函数化为f（x）=|x22|，其图象不关于x=1对称，故错误；f（x）=|（xa）2+ba2|=（xa）2+

18、ba2在区间a，+）上是增函数，故正确；画出图象可知，h（x）=|（xa）2+ba2|2有4个零点，故错误【解答】解：当a=0时，f（x）=|x2+b|显然是偶函数，故正确；取a=0，b=2，函数f（x）=|x22ax+b|化为f（x）=|x22|，满足f（0）=f（2），但f（x）的图象不关于x=1对称，故错误；若a2b0，则f（x）=|（xa）2+ba2|=（xa）2+ba2在区间a，+）上是增函数，故正确；h（x）=|（xa）2+ba2|2有4个零点，故错误正确命题为故答案为：三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列an的前n项和Sn=k

19、（2n1），且a3=8（1）求数列an的通项公式；（2）求数列nan的前n项和Tn【考点】数列的求和【分析】（1）利用数列的前n项和与通项的关系，求出通项公式，验证首项是否满足所求的通项公式（2）写出通项公式利用错位相减法求解前n项和即可【解答】解：（1）当n2时，当n=1时，综上所述，（2）由（1）知，则得：，18如图，AB是O的直径，点C是弧上一点，VC垂直O所在平面，D，E分别为VA，VC的中点（1）求证：DE平面VBC；（2）若VC=CA=6，O的半径为5，求点E到平面BCD的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定【分析】（1）利用圆的性质可证明：ACCB利用线面垂直

20、的性质定理可得：VCAC，于是AC平面VCB利用三角形中位线定理可得DEAC，即可证明DE平面VCB（2）设点E到平面BCD的距离为d，利用VEBCD=VBCDE解出即可得出【解答】（1）证明：AB是O的直径，C是弧AB上一点，ACCB又VC垂直O所在平面，VCAC，AC平面VCB又D，E分别为VA，VC的中点，DEAC，DE平面VCB（2）解：设点E到平面BCD的距离为d，由VEBCD=VBCDE得，即点E到平面BCD的距离为192015年下学期某市教育局对某校高三文科数学进行教学调研，从该校文科生中随机抽取40名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段80，90），90，100），10

21、0，110），120，130），130，140）后得到如图所示的频率分布直方图（1）求这40个学生数学成绩的众数和中位数的估计值；（2）若从数学成绩80，100）内的学生中任意抽取2人，求成绩在80，90）中至少有一人的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（1）众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点，由此能求出众数的估计值，设中位数的估计值为x，由频率分布直方图得100.005+0.01010+0.02010+（x110）0.030=0.5，由此能求出中位数的估计值（2）从图中知，成绩在80，90）的人数为2人，成绩在90，100）的人数为4人，由此利用

22、列举法能求出从数学成绩80，100）内的学生中任意抽取2人，成绩在80，90）中至少有一人的概率【解答】解：（1）众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点，即众数的估计值为115设中位数的估计值为x，则100.005+0.01010+0.02010+（x110）0.030=0.5，解得x=115中位数的估计值为115（2）从图中知，成绩在80，90）的人数为m1=0.0051040=2（人），成绩在90，100）的人数为m2=0.0101040=4（人），设成绩在80，90）的学生记为a，b，成绩在90，100）的学生记为c，d，e，f则从成绩在80，100）内的学生中任取2人组成的基本事件

23、有：（a，b）（a，c）（a，d）（a，e）（a，f）（b，c）（b，d）（b，e）（b，f）（c，d）（c，e）（c，f）（d，e）（d，f）（e，f）共15种其中成绩在80，90）的学生至少有一人的基本事件有：（a，b）（a，c）（a，d）（a，e）（a，f）（b，c）（b，d）（b，e）（b，f）共9种所以成绩在80，90）的学生至少有一人的概率为20在平角坐标系xOy中，椭圆的离心率，且过点，椭圆C的长轴的两端点为A，B，点P为椭圆上异于A，B的动点，定直线x=4与直线PA、PB分别交于M，N两点（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在定点经过以MN为直径的圆，若存在，求定点坐标；

24、若不存在，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）利用椭圆经过的点，求出b，利用椭圆的离心率求解，a，b，得到椭圆方程（2）设PA、PB的斜率分别为k1，k2，P（x0，y0），求出斜率的表达式，利用斜率乘积推出定值得到MN的中点G（4，3k1+k2）写出以MN为直径的圆的方程，通过令y=0，求解存在定点（1，0），（7，0）经过以MN为直径的圆【解答】解：（1），椭圆C的方程为（2）设PA、PB的斜率分别为k1，k2，P（x0，y0），取，由lPA：y=k1（x+2）知M（4，6k1），由lPB：y=k2（x2）知N（4，2k2），MN的中点G（4，3k1+k2

25、）以MN为直径的圆的方程为，令y=0，x28x+16+12k1k2=0，即x28x+7=0，解得x=7或x=1存在定点（1，0），（7，0）经过以MN为直径的圆21已知函数f（x）=x2（1）k2alnx（kN，aR且a0）（1）求f（x）的极值；（2）若k=2016，关于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值【考点】利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出函数的导数，通过k为偶数与奇数，求解函数的极值即可（2）k=2016，化简关于x的方程f（x）=2ax，构造函数g（x）=x22alnx2ax，求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，利用函数的零点个数，求解即可【解答】解：（1）

26、函数f（x）=x2（1）k2alnx（kN，aR且a0）可得，当k为奇数时，f（x）在（0，+）上单调递增，f（x）无极值当k为偶数时，f（x）在上单调递减，上单调递增，f（x）有极小值，（2）k=2016，则f（x）=x22alnx，令g（x）=x22alnx2ax，令g（x）=0，x2axa=0，a0，x0，当x（0，x0）时，g（x）0，g（x）在（0，x0）上单调递减当x（x0，+）时，g（x）0，g（x）在（x0，+）上单调递增又g（x）=0有唯一解，即得：2alnx0+ax0a=02lnx0+x01=0x0=112aa=0请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上选修4-1几何证明选讲22如图，O是ABC的外接圆，AD平分BAC交BC于D，交ABC的外接圆于E（1）求证：；（2）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长【考点】平