2017年初中数学竞赛辅导综合试题及答案

1、2017年初中数学竞赛辅导综合试题一、选择题1、已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一个公共根，则的值为（ ）A、0B、1C、2D、32、设a,b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是，则的值为（ ）A、2B、0C、-2D、-1YXFDOBACE(4题)3、正实数a1,a2,.，a2011满足a1+a2+.+a2011=1,设P=，则（ ）A、p2012B、p=2012C、pBC，取线段AE的中点M 。（1）求证：MD=MF,MDMF(6分)（2）若RtCEF绕点C顺时针旋转任意角度（如图2），其他条件不变。（1）中的结论是否仍然成立

2、，若成立，请证明，若不成立，请说明理由。（6分）ADFMECB(图2)EFMDABC（图1）161116X(周)2030Y(元)ADCB13、黄冈市三运会期间，武穴黄商有一种姚明牌运动装每件的销售价y（元）与时间x（周）之间的函数关系式对应的点都在如图所示的图象上，该图象从左至右，依次是线段AB、线段BC、线段CD，而这种运动装每件的进价Z（元）与时间x（周）之间的函数关系式为Z=(1x16且x为整数) （1）写出每件的销售价y（元）与时间x（周）之间的函数关系式；（4分）（2）设每件运动装销售利润为w，写出w（元）与时间x（周）之间的函数关系式；（4分）（3）求该运动装第几周出销时，每件运动

3、装的销售利润最大？最大利润为多少？（6分）14.如图1所示，已知：点A（2，1）在双曲线C：y=上，直线l1：y=x+2，直线l2与l1关于原点成中心对称，F1（2，2），F2（2，2）两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B，P是曲线C上第一象限内异于B的一动点，过P作x轴平行线分别交l1，l2于M，N两点（1）求双曲线C及直线l2的解析式；（2）求证：PF2PF1=MN=4；（3）如图2所示，PF1F2的内切圆与F1F2，PF1，PF2三边分别相切于点Q，R，S，求证：点Q与点B重合（参考公式：在平面坐标系中，若有点A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点间的距离公式为AB=）1

4、5.如图，在RtABC中，ABC=90，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，O是BEF的外接圆，EBF的平分线交EF于点G，交O于点H，连接BD，FH（1）求证：ABCEBF；（2）试判断BD与O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=1，求HGHB的值16.已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFDG的对角线，点E在ABC内，CAE+CBE=90（1）如图，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF（i）求证：CAECBF；（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；（2）如图，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且=k时，若BE=1，AE=2，

5、CE=3，求k的值；（3）如图，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且DAB=GEF=45时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系（直接写出结果，不必写出解答过程） 答案1.D解：ax+bx+c=0 (1)bx+cx+a=0 (2)cx+ax+b=0 (3)(1) - (2) ，得(a-b)x+(b-c)x+(c-a) = 0(a-b)x-(a-b)-(a-c)x+(c-a )= 0x(a-b)(x-1)-(c-a)(x-1) = 0(x-1)x(a-b)-(c-a) = 0x=1是方程的解，又方程(1)和方程(2)恰有一个公共实数根，则此根为x=1同理，由(

6、1)和(3)、(2)和(3)同样解得公共实数根为x=1，代入(1)，得a+b+c=0 c=-(a+b)2.C解：把代入原方程得+因为因是整数,所以 也是整数,要使必须使的系数为0 则有: ， 得,，得3.A利用极值法当，则其它值都为0，得出函数的最小值，进而得出函数的取值范围解：正数，满足，中最大数小于等于1，要使此式子最小只要，中一个为1即可当，则其他都为0，都是正实数4.C解：设点D的坐标为（，），则F（，0）由函数的图象可知：x0，k0同理可得故 ， 正确若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CDEF，即ABEF，AOBFOE. 正确条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故错

7、误；CDEF，DFBE，AF/CE四边形DBEF、ACEF是平行四边形，AE=EF,BD=EF即AC=EF=BD，BD=AC，AC+AB=BD+ABBC=AD 正确 ，因此正确的结论有3个： 5AADN绕A顺时针旋转90，到达ABL.MNMB+BLMB+DN1-CM+1-CN2-CM+CNMNAMNAMLSSS MANMAL45设CNx, CMy,则x+yMN 2-x+yMN 消去MN 得到2-x2-y2常数2-x2-y即xy时，2-x2-y4-x+y2+MN有最小值。此时 xy2-2, MN2-2x42-11. MAN的面积的最小值. 6. -1解：因为 (1) 所以 (2), 所以 = (

8、3) 化简得 解得 若x=-y，代入(1), 左边=-2011, 右边=2011, 矛盾, 故舍去. 若 x=y，代入(1),解得所以原式=7 解：原式= = = =89 10解：菱形A1B1C1D1的边长为2，A1B1C1=60，OA1=A1B1sin30=2=1，OB1=A1B1cos30=2=，A1（1，0）B1C2D1A2菱形A1B1C1D1，OA2=3，A2（3，0）同理可得A3（9，0）An（3n1，0）故答案为：（3n1，0）11.解：设直角边为a，b（ak-n-6 解得（舍去），,当时，a+b=17,ab=60 a=15 ， b=12 ， c=13；当时，a+b=14,ab=4

9、8a=6 ， b=8 ，c=1012.13、（1）（2）（3）由（2）化简得当时 1x6 当x=6时，w有最大值，最大值为18.5当 6x11，故当x=11时，w有最大值，最大值为当 12x16 当x=12时，w有最大值为18综上所述，当x=11时，w有最大值为答：该运动装第11周出售时，每件利润最大，最大利润为14.如图1所示，已知：点A（2，1）在双曲线C：y=上，直线l1：y=x+2，直线l2与l1关于原点成中心对称，F1（2，2），F2（2，2）两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B，P是曲线C上第一象限内异于B的一动点，过P作x轴平行线分别交l1，l2于M，N两点（1）求双曲线C

10、及直线l2的解析式；（2）求证：PF2PF1=MN=4；（3）如图2所示，PF1F2的内切圆与F1F2，PF1，PF2三边分别相切于点Q，R，S，求证：点Q与点B重合（参考公式：在平面坐标系中，若有点A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点间的距离公式为AB=）【分析】（1）利用点A的坐标求出a的值，根据原点对称的性质找出直线l2上两点的坐标，求出解析式；（2）设P（x，），利用两点距离公式分别求出PF1、PF2、PM、PN的长，相减得出结论；（3）利用切线长定理得出，并由（2）的结论PF2PF1=4得出PF2PF1=QF2QF1=4，再由两点间距离公式求出F1F2的长，计算出OQ和O

11、B的长，得出点Q与点B重合14.【解答】解：（1）解：把A（2，1）代入y=中得：a=（2）（1）=2，双曲线C：y=，直线l1与x轴、y轴的交点分别是（2，0）、（0，2），它们关于原点的对称点分别是（2，0）、（0，2），l2：y=x2（2）设P（x，），由F1（2，2）得：PF12=（x2）2+（2）2=x24x+8，PF12=（x+2）2，x+2=0，PF1=x+2，PMx轴PM=PE+ME=PE+EF=x+2，PM=PF1，同理，PF22=（x+2）2+（+2）2=（x+2）2，PF2=x+2，PN=x+2因此PF2=PN，PF2PF1=PNPM=MN=4，（3）PF1F2的内切圆与

12、F1F2，PF1，PF2三边分别相切于点Q，R，S，PF2PF1=QF2QF1=4又QF2+QF1=F1F2=4，QF1=22，QO=2，B（，），OB=2=OQ，所以，点Q与点B重合15.解；（1）证明：ABC=90，EBF=90，DFAC，ADF=90，C+A=A+AFD=90，C=BFE，在ABC与EBF中，ABCEBF；（2）BD与O相切，如图1，连接OB证明如下：OB=OF，OBF=OFB，ABC=90，AD=CD，BD=CD，C=DBC，C=BFE，DBC=OBF，CBO+OBF=90，DBC+CBO=90，DBO=90，BD与O相切；（3）解：如图2，连接CF，HE，CBF=90

13、，BC=BF，CF=BF，DF垂直平分AC，AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，BF=，ABCEBF，BE=AB=1，EF=，BH平分CBF，EH=FH，EHF是等腰直角三角形，HF=EF=，EFH=HBF=45，BHF=BHF，BHFFHG，HGHB=HF2=2+16.解；（1）（i）证明：四边形ABCD和EFCG均为正方形，ACB=ECF=45，ACE=BCF，在CAE和CBF中，CAECBF（ii）解：CAECBF，CAE=CBF，又CAE+CBE=90，CBF+CBE=90，EBF=90，又，AE=2，EF2=BE2+BF2=3，EF=，CE2=2EF2=6，CE=（2）如图，连接BF，=k，BC=a，AB=ka，FC=b，EF=kb，AC=，CE=，ACE=BCF，在ACE和BCF中，ACEBCF，CAE=CBF，又AE=2，BF=，CAE=CBF，CAE+CBE=90，CBE+CBF=90，EBF=90，EF2=BE2+BF2=