2018高考数列(二)等比数列及数列求和(教师版)

1、2018高考-数列（二）等比数列及其前n项和知识梳理1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1(2)前n项和公式：Sn3等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa；(3)若数列an，bn(

2、项数相同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列；(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk小题体验1(教材习题改编)将公比为q的等比数列a1，a2，a3，a4，依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，此数列是()A公比为q的等比数列 B公比为q2的等比数列C公比为q3的等比数列D不一定是等比数列答案：B2等比数列an中，a312，a418，则a6_解析：法一：由a312，a418，得解得a1，q，a6a1q55法二：由等比数列性质知，aa2a4，a28，又aa2a6，a6答案：3

3、(教材习题改编)在等比数列an中，已知a11，a464，则公比q_，S4_答案：4514在等比数列an中，a32，a78，则a5等于()A5B5C4 D4解析：选Caa3a72816，a54，又a5a3q20，a545设数列an是等比数列，前n项和为Sn，若S33a3，则公比q_答案：或1课堂考点突破典例引领1(2017武汉调研)若等比数列an的各项均为正数，a12a23，a4a2a6，则a4()AB C D解析：选C由题意，得解得所以a4a1q332(2015全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_解析：a12，an12an，数列an是首项为2，公

4、比为2的等比数列又Sn126，126，n6答案：6即时应用1等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1()A BC D解析：选C设等比数列an的公比为q，S3a210a1，a59，解得2(2017洛阳统考)设等比数列an的前n项和为Sn，若a18a40，则()A B C D解析：选C在等比数列an中，因为a18a40，所以q，所以3(2015安徽高考)已知数列是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列的前n项和等于_解析：设等比数列的公比为q，则有解得或又为递增数列，Sn2n1答案：2n1典例引领(2016全国丙卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0(1)证

5、明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求解：(1)证明：由题意得a1S11a1，故1，a1，故a10由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an由a10，0得an0，所以因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1(2)由(1)得Sn1n由S5得15，即5解得1即时应用设数列的前n项和为Sn，nN*已知a11，a2，a3，且当n2时，4Sn25Sn8Sn1Sn1(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列解：(1)当n2时，4S45S28S3S1，即4581，解得a4(2)证明：由4Sn25Sn8Sn1Sn1(n2)，得4Sn24Sn1SnSn14Sn14Sn(

6、n2)，即4an2an4an1(n2)4a3a14164a2，4an2an4an1，数列是以a2a11为首项，为公比的等比数列典例引领1(2017湖南师大附中月考)已知各项不为0的等差数列an满足a6aa80，数列bn是等比数列，且b7a7，则b2b8b11()A1B2 C4 D8解析：选D由等差数列的性质，得a6a82a7由a6aa80，可得a72，所以b7a72由等比数列的性质得b2b8b11b2b7b12b2382若等比数列an的前n项和为Sn，且5，则_解析：设数列an的公比为q，由已知得15，即1q25，所以q24，11q411617答案：17即时应用1等比数列an的各项均为正数，且

7、a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A5B9Clog345D10解析：选D由等比数列的性质知a5a6a4a7，又a5a6a4a718，所以a5a69，则原式log3(a1a2a10)log3(a5a6)5102(2017长春调研)在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n_解析：设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12，可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以3n636，即n14答案：14课后.三维演练一、基础巩固1对任意等比数列an，下列说法一定正确

8、的是()Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列 Da3，a6，a9成等比数列解析：选D由等比数列的性质得，a3a9a0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D2在正项等比数列an中，a11，前n项和为Sn，且a3，a2，a4成等差数列，则S7的值为()A125B126C127D128解析：选C设an的公比为q，则2a2a4a3，又a11，2qq3q2，解得q2或q1，an0，q0，q2，S71273(2016石家庄质检)已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an4(nN*)，则an()A2n1 B2n C2n1 D2n2解析：选A依题意，an1S

9、n1Sn2an14(2an4)，则an12an，令n1，则S12a14，即a14，数列an是以4为首项，2为公比的等比数列，an42n12n1，故选A4在等比数列an中，若a1a516，a48，则a6_解析：由题意得，a2a4a1a516，a22，q24，a6a4q232答案：325在等比数列an中，an0，a5a115，a4a26，则a3_解析：a5a115，a4a26(q1)两式相除得，即2q25q20，q2或q，当q2时，a11；当q时，a116(舍去)a31224答案：42、 巩固加强1已知数列an为等比数列，若a4a610，则a7(a12a3)a3a9的值为()A10 B20C100

10、 D200解析：选Ca7(a12a3)a3a9a7a12a7a3a3a9a2a4a6a(a4a6)21021002设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于()A BC D解析：选A因为a7a8a9S9S6，且S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以8(S9S6)1，即S9S6所以a7a8a93已知数列an满足log3an1log3an1(nN*)，且a2a4a69，则log(a5a7a9)的值是()A5 BC5 D解析：选Alog3an1log3an1，an13an数列an是以公比q3的等比数列a5a7a9q3(a2a4a6)，l

11、og(a5a7a9)log(933)log3554已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在mN*，满足9，则数列an的公比为()A2 B2C3 D3解析：选B设公比为q，若q1，则2，与题中条件矛盾，故q1qm19，qm8qm8，m3，q38，q26(2015湖南高考)设Sn为等比数列an的前n项和若a11，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an_解析：因为3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S23S1S3，即4(a1a2)3a1a1a2a3化简，得3，即等比数列an的公比q3，故an13n13n1答案：3n17(2017海口调研)设数列an的前n项和为Sn且a11，anan1(n1,2,

12、3，)，则S2n3_解析：依题意得S2n3a1(a2a3)(a4a5)(a2n2a2n3)1答案：8(2017兰州诊断性测试)在公差不为零的等差数列an中，a11，a2，a4，a8成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an，Tnb1b2bn，求Tn解：(1)设等差数列an的公差为d，则依题意有解得d1或d0(舍去)，an1(n1)n(2)由(1)得ann，bn2n，2，bn是首项为2，公比为2的等比数列，Tn2n129(2016云南统测)设等比数列an的前n项和为Sn，a1a2a326，S6728(1)求数列an的通项公式；(2)求证：SSnSn243n解：(1)设等比数列an的

13、公比为q，由728226得，S62S3，q1由已知得解得an23n1(2)证明：由(1)可得Sn3n1Sn13n11，Sn23n21SSnSn2(3n11)2(3n1)(3n21)43n10已知数列an满足a15，a25，an1an6an1(n2)(1)求证：an12an是等比数列；(2)求数列an的通项公式解：(1)证明：an1an6an1(n2)，an12an3an6an13(an2an1)(n2)a15，a25，a22a115，an2an10(n2)，3(n2)，数列an12an是以15为首项，3为公比的等比数列(2)由(1)得an12an153n153n，则an12an53n，an13

14、n12(an3n)又a132，an3n0，an3n是以2为首项，2为公比的等比数列an3n2(2)n1，即an2(2)n13n第四节数列求和一、知识梳理1公式法(1)等差数列an的前n项和Snna1推导方法：倒序相加法(2)等比数列an的前n项和Sn2几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和常用的裂项公式有：；(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求

15、这个数列的前n项和即可用错位相减法求解(4)倒序相加法：如果一个数列an与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解小题体验1若Sn123456(1)n1n，则S50_答案：252(教材习题改编)数列1，3，5，7，(2n1)，的前n项和Sn的值等于_答案：n21课堂.考点突破题组练透1(2017重庆适应性测试)在数列an中，an1an2，a25，则数列an的前4项和为()A9B22C24 D32解析：选C依题意得，数列an是公差为2的等差数列，a1a223，因此数列an的前4项和等于43224，选C2若等比数列an满足a1a410，a2a5

16、20，则an的前n项和Sn_解析：由题意a2a5q(a1a4)，得20q10，故q2，代入a1a4a1a1q310，得9a110，即a1故Sn(2n1)答案：(2n1)3已知等差数列an满足a32，前3项和S3(1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b1a1，b4a15，求bn的前n项和Tn解：(1)设an的公差为d，则由已知条件得化简得解得故an的通项公式an1，即an(2)由(1)得b11，b4a158设bn的公比为q，则q38，从而q2，故bn的前n项和Tn2n1二、分组求和典例引领(2016北京高考)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4(1

17、)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解：(1)设等比数列bn的公比为q，则q3，所以b11，b4b3q27，所以bn3n1(nN*)设等差数列an的公差为d因为a1b11，a14b427，所以113d27，即d2所以an2n1(nN*)(2)由(1)知，cnanbn2n13n1从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2即时应用(2017兰州实战考试)在等差数列an中，a2a723，a3a829(1)求数列an的通项公式；(2)设数列anbn是首项为1，公比为q的等比数列，求bn的前n项和Sn解：(1)设等差数列an的公差是da3a8(a2a7)2d6，d3

18、，a2a72a17d23，解得a11，数列an的通项公式为an3n2(2)数列anbn是首项为1，公比为q的等比数列，anbnqn1，即3n2bnqn1，bn3n2qn1Sn147(3n2)(1qq2qn1)(1qq2qn1)，故当q1时，Snn；当q1时，Sn典例引领(2016山东高考)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn解：(1)由题意知，当n2时，anSnSn16n5，当n1时，a1S111，满足上式，所以an6n5设数列bn的公差为d由即可解得所以bn3n1(2)由(1)知cn3(n1)

19、2n1，又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2即时应用(2017泉州调研)已知等差数列an的前n项和Sn满足S36，S515(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn解：(1)设等差数列an的公差为d，首项为a1，S36，S515，即解得an的通项公式为ana1(n1)d1(n1)1n(2)由(1)得bn，Tn，Tn， 得Tn1，Tn2常见的命题角度有：(1)形如an型；(2)形如an 型；(3)形如an型 题点全练角度一：形如an型1(

20、2017西安质检)等差数列an的各项均为正数，a11，前n项和为Sn；数列bn为等比数列，b11，且b2S26，b2S38(1)求数列an与bn的通项公式；(2)求解：(1)设等差数列an的公差为d，d0，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1依题意有解得或(舍去)故ann，bn2n1(2)由(1)知Sn12nn(n1)，2，22角度二：形如an 型2(2017江南十校联考)已知函数f(x)x的图象过点(4,2)，令an，nN*记数列an的前n项和为Sn，则S2 017()A1B1C1 D1解析：选C由f(4)2可得42，解得，则f(x)xan，S2 017a1a2a3a2 017()

21、()()()()1角度三：形如an型3正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn证明：对于任意的nN*，都有Tn0，Snn2n于是a1S12，当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n综上，数列an的通项公式为an2n(2)证明：由于an2n，故bnTn0，an13an，又a12，an是首项为2，公比为3的等比数列，Sn3n1答案：3n15(2017广西高三适应性测试)已知数列的前n项和Snn2，则数列的前n项和Tn_解析：2n1，Tn答案：二、巩固加强1已知an是首项为1的等比数列，Sn是an

22、的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为()A或5 B或5 C D解析：选C设an的公比为q，显然q1，由题意得，所以1q39，得q2，所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和为2已知数列an中，an4n5，等比数列bn的公比q满足qanan1(n2)且b1a2，则|b1|b2|b3|bn|()A14n B4n1 C D解析：选B由已知得b1a23，q4，bn(3)(4)n1，|bn|34n1，即|bn|是以3为首项，4为公比的等比数列|b1|b2|bn|4n13(2017江西重点中学联考)已知数列5,6,1，5，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16

23、项之和S16等于()A5 B6C7 D16解析：选C根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，5，6，1,5,6，发现从第7项起，数列重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为561(5)(6)(1)0又因为16264，所以这个数列的前16项之和S162077故选C4在数列an中，若a12，且对任意正整数m，k，总有amkamak，则an的前n项和Sn_解析：依题意得an1ana1，即有an1ana12，所以数列an是以2为首项、2为公差的等差数列，an22(n1)2n，Snn(n1)答案：n(n1)5(2016浙江高考)设数列an的前n项和为Sn若S24，an12Sn1，nN*，

24、则a1_，S5_解析：an12Sn1，Sn1Sn2Sn1，Sn13Sn1，Sn13，数列是公比为3的等比数列，3又S24，S11，a11，S53434，S5121答案：11216已知数列an满足a11，an1an2n(nN*)，则S2 017_解析：数列an满足a11，an1an2n，n1时，a22，n2时，anan12n1，得2，数列an的奇数项、偶数项分别成等比数列，S2 01721 0103答案：21 01036已知等比数列an的各项均为正数，a11，公比为q；等差数列bn中，b13，且bn的前n项和为Sn，a3S327，q(1)求an与bn的通项公式；(2)设数列cn满足cn，求cn的前n项和Tn解：(1)设数列bn的公差为d，a3S327，q，q23d18,6dq2，联立方程可求得q3，d3，an3n1，bn3n(2)由题意得：Sn，cnTn117(2017广州综合测试)已知数列an是等比数列，a24，a32是a2和a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)设b