第2章--平面解析几何初步-综合检测

1、第2章 平面解析几何初步 综合检测(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1直线3axy10与直线(a23)xy10垂直，则a的值是()A1或13 B1或13C13或1 D13或1解析：选D.由3a(a23)(1)10，得a13或a1.2直线l1：axyb0，l2：bxya0(a0，b0，ab)在同一坐标系中的图形大致是图中的() 解析：选C.直线l1：axyb0，斜率为a，在y轴上的截距为b，设k1a，m1b.直线l2：bxya0，斜率为b，在y轴上的截距为a，设k2b，m2a.由A知：因为l1l2，k1k20，m

2、1m20，即ab0，ba0，矛盾由B知：k10m20，即a0a0，矛盾由C知：k1k20，m2m10，即ab0，可以成立由D知：k1k20，m20m1，即ab0，a0b，矛盾3已知点A(1,1)和圆C：(x5)2(y7)24，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是()A622 B8C46 D10解析：选B.点A关于x轴对称点A(1，1)，A与圆心(5,7)的距离为(51)2(71)210.所求最短路程为1028.4圆x2y21与圆x2y24的位置关系是()A相离 B相切C相交 D内含解析：选D.圆x2y21的圆心为(0,0)，半径为1，圆x2y24的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心距00

3、)及直线l：xy30，当直线l被圆C截得的弦长为23时，a的值等于()A.2 B.21C22 D.21解析：选B.圆心(a,2)到直线l：xy30的距离d|a23|2|a1|2，依题意|a1|2223224，解得a21.6与直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线是()A3x2y60B2x3y70C3x2y120D2x3y80解析：选D.所求直线平行于直线2x3y60，设所求直线方程为2x3yc0，由|23c|2232|236|2232，c8，或c6(舍去)，所求直线方程为2x3y80.7若直线y2k(x1)与圆x2y21相切，则切线方程为()Ay234(1x)By234(x1)Cx1或y2

4、34(1x)Dx1或y234(x1)解析：选B.数形结合答案容易错选D，但要注意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分8圆x2y22x3与直线yax1的公共点有()A0个 B1个C2个 D随a值变化而变化解析：选C.直线yax1过定点(0,1)，而该点一定在圆内部9过P(5,4)作圆C：x2y22x2y30的切线，切点分别为A、B，四边形PACB的面积是()A5 B10C15 D20解析：选B.圆C的圆心为(1,1)，半径为5.|PC|(51)2(41)25，|PA|PB|52(5)225，S12255210.10若直线mx2ny40(m、nR，nm)始终平

5、分圆x2y24x2y40的周长，则mn的取值范围是()A(0,1) B(0，1)C(，1) D(，1)解析：选C.圆x2y24x2y40可化为(x2)2(y1)29，直线mx2ny40始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m2n40，即mn2，mnm(2m)m22m(m1)211，当m1时等号成立，此时n1，与“mn”矛盾，所以mn1.11已知直线l：yxm与曲线y1x2有两个公共点，则实数m的取值范围是()A(2,2) B(1,1)C1，2) D(2，2)解析：选C. 曲线y1x2表示单位圆的上半部分，画出直线l与曲线在同一坐标系中的图象，可观察出仅当直线l在过点(1,0)与点(0,1

6、)的直线与圆的上切线之间时，直线l与曲线有两个交点 当直线l过点(1,0)时，m1；当直线l为圆的上切线时，m2(注：m2，直线l为下切线)12过点P(2,4)作圆O：(x2)2(y1)225的切线l，直线m：ax3y0与直线l平行，则直线l与m的距离为()A4 B2C.85 D.125解析：选A.点P在圆上，切线l的斜率k1kOP1142243.直线l的方程为y443(x2)，即4x3y200.又直线m与l平行，直线m的方程为4x3y0.故两平行直线的距离为d|020|42(3)24.二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)13过点A(1，1)，B(1,1)且圆心在直线xy20上

7、的圆的方程是_解析：易求得AB的中点为(0,0)，斜率为1，从而其垂直平分线为直线yx，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线xy20联立得到圆心O(1,1)，半径r|OA|2.答案：(x1)2(y1)2414过点P(2,0)作直线l交圆x2y21于A、B两点，则|PA|PB|_.解析：过P作圆的切线PC，切点为C，在RtPOC中，易求|PC|3，由切割线定理，|PA|PB|PC|23.答案：315若垂直于直线2xy0，且与圆x2y25相切的切线方程为ax2yc0，则ac的值为_解析：已知直线斜率k12，直线ax2yc0的斜率为a2.两直线垂直，(2)(a2)1，得a1.圆心到切线的

8、距离为5，即|c|55，c5，故ac5.答案：516若直线3x4ym0与圆x2y22x4y40没有公共点，则实数m的取值范围是_解析：将圆x2y22x4y40化为标准方程，得(x1)2(y2)21，圆心为(1，2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d|314(2)m|3242|m5|51，m0或m10.答案：(，0)(10，)三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17三角形ABC的边AC，AB的高所在直线方程分别为2x3y10，xy0，顶点A(1,2)，求BC边所在的直线方程解：AC边上的高线2x3y10，所以kAC32.所以A

9、C的方程为y232(x1)，即3x2y70，同理可求直线AB的方程为xy10.下面求直线BC的方程，由3x2y70，xy0，得顶点C(7，7)，由xy10，2x3y10，得顶点B(2，1)所以kBC23，直线BC：y123(x2)，即2x3y70.18一束光线l自A(3,3)发出，射到x轴上，被x轴反射后与圆C：x2y24x4y70有公共点(1)求反射光线通过圆心C时，光线l所在直线的方程；(2)求在x轴上，反射点M的横坐标的取值范围解：圆C的方程可化为(x2)2(y2)21.(1)圆心C关于x轴的对称点为C(2，2)，过点A，C的直线的方程xy0即为光线l所在直线的方程(2)A关于x轴的对称

10、点为A(3，3)，设过点A的直线为y3k(x3)当该直线与圆C相切时，有|2k23k3|1k21，解得k43或k34，所以过点A的圆C的两条切线分别为y343(x3)，y334(x3)令y0，得x134，x21，所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是34，119已知圆x2y22x4ym0.(1)此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x2y40相交于M、N两点，且OMON(O为坐标原点)，求m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程解：(1)方程x2y22x4ym0，可化为(x1)2(y2)25m，此方程表示圆，5m0，即m5.(2)x2y22x4ym0，x2y

11、40，消去x得(42y)2y22(42y)4ym0，化简得5y216ym80.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2165，y1y2m85. 由OMON得y1y2x1x20即y1y2(42y1)(42y2)0，168(y1y2)5y1y20.将两式代入上式得1681655m850，解之得m85.(3)由m85，代入5y216ym80，化简整理得25y280y480，解得y1125，y245.x142y145，x242y2125.M45，125，N125，45，MN的中点C的坐标为45，85.又|MN| 125452451252855，所求圆的半径为455.所求圆的方程为x452y85

12、2165.20. 已知圆O：x2y21和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|PA|成立，如图 (1)求a、b间关系；(2)求|PQ|的最小值；(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程解：(1)连接OQ、OP，则OQP为直角三角形， 又|PQ|PA|，所以|OP|2|OQ|2|PQ|21|PA|2，所以a2b21(a2)2(b1)2，故2ab30.(2)由(1)知，P在直线l：2xy30上，所以|PQ|min|PA|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min|2213|2212255.(或由|PQ|2|OP|21a2b

13、21a2912a4a215a212a85(a1.2)20.8，得|PQ|min255.)(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点与l垂直的直线l与l的交点P0，所以r3221213551，又l：x2y0，联立l：2xy30得P0(65，35)所以所求圆的方程为(x65)2(y35)2(3551)2.21有一圆与直线l：4x3y60相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程解：法一：由题意可设所求的方程为(x3)2(y6)2(4x3y6)0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆

14、的方程求得1，所以所求圆的方程为x2y210x9y390.法二：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则圆心为C(a，b)，由|CA|CB|，CAl，得(3a)2(6b)2r2，(5a)2(2b)2r2，b6a3431，解得a5，b92，r2254.所以所求圆的方程为(x5)2(y92)2254.法三：设圆的方程为x2y2DxEyF0，由CAl，A(3,6)，B(5,2)在圆上，得32623D6EF0，52225D2EF0，E26D23431，解得D10，E9，F39.所以所求圆的方程为x2y210x9y390.法四：设圆心为C，则CAl，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为y634(x

15、3)，即3x4y330.又因为kAB62352，所以kBP12，所以直线BP的方程为x2y10.解方程组3x4y330，x2y10，得x7，y3.所以P(7,3)所以圆心为AP的中点(5，92)，半径为|AC|52.所以所求圆的方程为(x5)2(y92)2254.22如图在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x3)2(y1)24和圆C2：(x4)2(y5)24.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等试求所有满足条件的点P的坐标 解：(1)由于直线x4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在设直线l的方程为yk(x4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为圆C1被直线l截得的弦长为23，所以d22(3)21.由点到直线的距离公式得d|1k(34)|1k2，从而k(24k7)0，即k0或k724，所以直线l的方程为y0或7x24y280. (2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为ybk(xa)，k0，则直线l2的方程为yb1k(xa)因为圆C1和C2的半径相等，且圆C1被直线l1