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1、第2章 平面解析几何初步 综合检测(时间:120分钟;满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1直线3axy10与直线(a23)xy10垂直,则a的值是()A1或13 B1或13C13或1 D13或1解析:选D.由3a(a23)(1)10,得a13或a1.2直线l1:axyb0,l2:bxya0(a0,b0,ab)在同一坐标系中的图形大致是图中的() 解析:选C.直线l1:axyb0,斜率为a,在y轴上的截距为b,设k1a,m1b.直线l2:bxya0,斜率为b,在y轴上的截距为a,设k2b,m2a.由A知:因为l1l2,k1k20,m

2、1m20,即ab0,ba0,矛盾由B知:k10m20,即a0a0,矛盾由C知:k1k20,m2m10,即ab0,可以成立由D知:k1k20,m20m1,即ab0,a0b,矛盾3已知点A(1,1)和圆C:(x5)2(y7)24,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是()A622 B8C46 D10解析:选B.点A关于x轴对称点A(1,1),A与圆心(5,7)的距离为(51)2(71)210.所求最短路程为1028.4圆x2y21与圆x2y24的位置关系是()A相离 B相切C相交 D内含解析:选D.圆x2y21的圆心为(0,0),半径为1,圆x2y24的圆心为(0,0),半径为2,则圆心距00

3、)及直线l:xy30,当直线l被圆C截得的弦长为23时,a的值等于()A.2 B.21C22 D.21解析:选B.圆心(a,2)到直线l:xy30的距离d|a23|2|a1|2,依题意|a1|2223224,解得a21.6与直线2x3y60关于点(1,1)对称的直线是()A3x2y60B2x3y70C3x2y120D2x3y80解析:选D.所求直线平行于直线2x3y60,设所求直线方程为2x3yc0,由|23c|2232|236|2232,c8,或c6(舍去),所求直线方程为2x3y80.7若直线y2k(x1)与圆x2y21相切,则切线方程为()Ay234(1x)By234(x1)Cx1或y2

4、34(1x)Dx1或y234(x1)解析:选B.数形结合答案容易错选D,但要注意直线的表达式是点斜式,说明直线的斜率存在,它与直线过点(1,2)要有所区分8圆x2y22x3与直线yax1的公共点有()A0个 B1个C2个 D随a值变化而变化解析:选C.直线yax1过定点(0,1),而该点一定在圆内部9过P(5,4)作圆C:x2y22x2y30的切线,切点分别为A、B,四边形PACB的面积是()A5 B10C15 D20解析:选B.圆C的圆心为(1,1),半径为5.|PC|(51)2(41)25,|PA|PB|52(5)225,S12255210.10若直线mx2ny40(m、nR,nm)始终平

5、分圆x2y24x2y40的周长,则mn的取值范围是()A(0,1) B(0,1)C(,1) D(,1)解析:选C.圆x2y24x2y40可化为(x2)2(y1)29,直线mx2ny40始终平分圆周,即直线过圆心(2,1),所以2m2n40,即mn2,mnm(2m)m22m(m1)211,当m1时等号成立,此时n1,与“mn”矛盾,所以mn1.11已知直线l:yxm与曲线y1x2有两个公共点,则实数m的取值范围是()A(2,2) B(1,1)C1,2) D(2,2)解析:选C. 曲线y1x2表示单位圆的上半部分,画出直线l与曲线在同一坐标系中的图象,可观察出仅当直线l在过点(1,0)与点(0,1

6、)的直线与圆的上切线之间时,直线l与曲线有两个交点 当直线l过点(1,0)时,m1;当直线l为圆的上切线时,m2(注:m2,直线l为下切线)12过点P(2,4)作圆O:(x2)2(y1)225的切线l,直线m:ax3y0与直线l平行,则直线l与m的距离为()A4 B2C.85 D.125解析:选A.点P在圆上,切线l的斜率k1kOP1142243.直线l的方程为y443(x2),即4x3y200.又直线m与l平行,直线m的方程为4x3y0.故两平行直线的距离为d|020|42(3)24.二、填空题(本大题共4小题,请把答案填在题中横线上)13过点A(1,1),B(1,1)且圆心在直线xy20上

7、的圆的方程是_解析:易求得AB的中点为(0,0),斜率为1,从而其垂直平分线为直线yx,根据圆的几何性质,这条直线应该过圆心,将它与直线xy20联立得到圆心O(1,1),半径r|OA|2.答案:(x1)2(y1)2414过点P(2,0)作直线l交圆x2y21于A、B两点,则|PA|PB|_.解析:过P作圆的切线PC,切点为C,在RtPOC中,易求|PC|3,由切割线定理,|PA|PB|PC|23.答案:315若垂直于直线2xy0,且与圆x2y25相切的切线方程为ax2yc0,则ac的值为_解析:已知直线斜率k12,直线ax2yc0的斜率为a2.两直线垂直,(2)(a2)1,得a1.圆心到切线的

8、距离为5,即|c|55,c5,故ac5.答案:516若直线3x4ym0与圆x2y22x4y40没有公共点,则实数m的取值范围是_解析:将圆x2y22x4y40化为标准方程,得(x1)2(y2)21,圆心为(1,2),半径为1.若直线与圆无公共点,即圆心到直线的距离大于半径,即d|314(2)m|3242|m5|51,m0或m10.答案:(,0)(10,)三、解答题(本大题共6小题,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17三角形ABC的边AC,AB的高所在直线方程分别为2x3y10,xy0,顶点A(1,2),求BC边所在的直线方程解:AC边上的高线2x3y10,所以kAC32.所以A

9、C的方程为y232(x1),即3x2y70,同理可求直线AB的方程为xy10.下面求直线BC的方程,由3x2y70,xy0,得顶点C(7,7),由xy10,2x3y10,得顶点B(2,1)所以kBC23,直线BC:y123(x2),即2x3y70.18一束光线l自A(3,3)发出,射到x轴上,被x轴反射后与圆C:x2y24x4y70有公共点(1)求反射光线通过圆心C时,光线l所在直线的方程;(2)求在x轴上,反射点M的横坐标的取值范围解:圆C的方程可化为(x2)2(y2)21.(1)圆心C关于x轴的对称点为C(2,2),过点A,C的直线的方程xy0即为光线l所在直线的方程(2)A关于x轴的对称

10、点为A(3,3),设过点A的直线为y3k(x3)当该直线与圆C相切时,有|2k23k3|1k21,解得k43或k34,所以过点A的圆C的两条切线分别为y343(x3),y334(x3)令y0,得x134,x21,所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是34,119已知圆x2y22x4ym0.(1)此方程表示圆,求m的取值范围;(2)若(1)中的圆与直线x2y40相交于M、N两点,且OMON(O为坐标原点),求m的值;(3)在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程解:(1)方程x2y22x4ym0,可化为(x1)2(y2)25m,此方程表示圆,5m0,即m5.(2)x2y22x4ym0,x2y

11、40,消去x得(42y)2y22(42y)4ym0,化简得5y216ym80.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1y2165,y1y2m85. 由OMON得y1y2x1x20即y1y2(42y1)(42y2)0,168(y1y2)5y1y20.将两式代入上式得1681655m850,解之得m85.(3)由m85,代入5y216ym80,化简整理得25y280y480,解得y1125,y245.x142y145,x242y2125.M45,125,N125,45,MN的中点C的坐标为45,85.又|MN| 125452451252855,所求圆的半径为455.所求圆的方程为x452y85

12、2165.20. 已知圆O:x2y21和定点A(2,1),由圆O外一点P(a,b)向圆O引切线PQ,切点为Q,|PQ|PA|成立,如图 (1)求a、b间关系;(2)求|PQ|的最小值;(3)以P为圆心作圆,使它与圆O有公共点,试在其中求出半径最小的圆的方程解:(1)连接OQ、OP,则OQP为直角三角形, 又|PQ|PA|,所以|OP|2|OQ|2|PQ|21|PA|2,所以a2b21(a2)2(b1)2,故2ab30.(2)由(1)知,P在直线l:2xy30上,所以|PQ|min|PA|min,为A到直线l的距离,所以|PQ|min|2213|2212255.(或由|PQ|2|OP|21a2b

13、21a2912a4a215a212a85(a1.2)20.8,得|PQ|min255.)(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点,半径最小时为与圆O相切的情形,而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径,圆心P为过原点与l垂直的直线l与l的交点P0,所以r3221213551,又l:x2y0,联立l:2xy30得P0(65,35)所以所求圆的方程为(x65)2(y35)2(3551)2.21有一圆与直线l:4x3y60相切于点A(3,6),且经过点B(5,2),求此圆的方程解:法一:由题意可设所求的方程为(x3)2(y6)2(4x3y6)0,又因为此圆过点(5,2),将坐标(5,2)代入圆

14、的方程求得1,所以所求圆的方程为x2y210x9y390.法二:设圆的方程为(xa)2(yb)2r2,则圆心为C(a,b),由|CA|CB|,CAl,得(3a)2(6b)2r2,(5a)2(2b)2r2,b6a3431,解得a5,b92,r2254.所以所求圆的方程为(x5)2(y92)2254.法三:设圆的方程为x2y2DxEyF0,由CAl,A(3,6),B(5,2)在圆上,得32623D6EF0,52225D2EF0,E26D23431,解得D10,E9,F39.所以所求圆的方程为x2y210x9y390.法四:设圆心为C,则CAl,又设AC与圆的另一交点为P,则CA的方程为y634(x

15、3),即3x4y330.又因为kAB62352,所以kBP12,所以直线BP的方程为x2y10.解方程组3x4y330,x2y10,得x7,y3.所以P(7,3)所以圆心为AP的中点(5,92),半径为|AC|52.所以所求圆的方程为(x5)2(y92)2254.22如图在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x3)2(y1)24和圆C2:(x4)2(y5)24.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等试求所有满足条件的点P的坐标 解:(1)由于直线x4与圆C1不相交,所以直线l的斜率存在设直线l的方程为yk(x4),圆C1的圆心到直线l的距离为d,因为圆C1被直线l截得的弦长为23,所以d22(3)21.由点到直线的距离公式得d|1k(34)|1k2,从而k(24k7)0,即k0或k724,所以直线l的方程为y0或7x24y280. (2)设点P(a,b)满足条件,不妨设直线l1的方程为ybk(xa),k0,则直线l2的方程为yb1k(xa)因为圆C1和C2的半径相等,且圆C1被直线l1

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