答案 导数与函数专题

1、1. 已知 （1）当x为何值时，取得最小值？证明你的结论； （2）设f（x）在-1，1上是单调函数，求a的取值范围。解：（1）对函数求导数得w_w w. k#s5_u.c o*m令解得当x变化时，的变化如下表来+0_0+递增极大值递减极小值递增处取得极大值，在x=x2处取得极小值。当时，上为减函数，在上为增函数而当，当x=0时，所以当时，f（x）取得最小值w_w w. k#s5_u.c o*m （II）当时，上为单调函数的充要条件是即于是在-1，1上为单调函数的充要条件是即a的取值范围是2.已知函数,. (1) 求函数的单调区间； (2) 若关于的方程（为自然对数的底数)只有一个实数根, 求的

2、值. (1)解: 函数的定义域为. . 当, 即时, 得,则. 函数在上单调递增. 当, 即时, 令 得,解得. () 若, 则. , , 函数在上单调递增. ()若,则时, ; 时, ,函数在区间上单调递减, 在区间上单调递增. 综上所述, 当时, 函数的单调递增区间为; 当时, 函数的单调递减区间为, 单调递增区间为. (2) 解: 由, 得, 化为.令, 则.令, 得.当时, ; 当时, .函数在区间上单调递增, 在区间上单调递减.当时, 函数取得最大值, 其值为. 而函数,当时, 函数取得最小值, 其值为. 当, 即时, 方程只有一个根. 3. 设函数,其中.(I) 当时,判断函数在定

3、义域上的单调性; (II) 求函数的极值点; (III) 证明对任意的正整数,不等式都成立.解：(I) 函数的定义域为.，高考资源网令，则在上递增，在上递减，. 当时，在上恒成立.即当时,函数在定义域上单调递增。（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，时， 时，时，函数在上无极值点。（3）当时，解得两个不同解高考资源网，.当时，此时在上有唯一的极小值点.当时，高考资源网在都大于0 ，在上小于0 ，此时有一个极大值点和一个极小值点.综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点（III） 当时， 高考资源网令则在上恒正

4、，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，对任意正整数，取得4已知定义在实数集上的函数，其导函数记为，且满足：，为常数（）试求的值；（）设函数与的乘积为函数，求的极大值与极小值；（）试讨论关于的方程在区间上的实数根的个数（），则，又， （）令，则， 令，得，且，当为正偶数时，随的变化，与的变化如下：00极大值极小值所以当时，极大=；当时，极小=0 当为正奇数时，随的变化，与的变化如下：00极大值所以当时，极大=；无极小值 （）由（）知，即，所以方程为， ， 又，而对于，有（利用二项式定理可证），。 综上，对于任意给定的正整数，方程只有唯一实根，且总在区间内，所以原方程在区间上有唯一实根 5已知

5、（1）若函数上为减函数，求实数a的取值范围；(2)令若对任意，总存在成立，求实数b的取值范围。6. 已知函数.（I）若方程在内有两个不等的实根，求实数的取值范围（为自然对数的底）；（II）如果函数的图象与轴交于两点，且。求证：（其中正常数、满足）。解：()由2求导得到：， ，故 0在有唯一的极值点，2 2，极大值1， 且知，故，在内有两个不等的实根满足：21 故的取值范围为 () 2，又0有两个不等的实根、，则两式相减得到 于是+ 21， 0 要证：0，只需证：+0，只需证： 令，0,只需证：+在上恒成立，又 ，则，于是由可知，故知在上为增函数， 则0，从而知即成立，从而原不等式成立。 7已知

6、定义在上的三个函数，且在 处取得极值(1) 求a的值及函数的单调区间；（2）求证：当时，恒有成立；（3）把对应的曲线C1向上平移6个单位后得曲线C2，求C2与对应曲线C3的交点个数，并说明理由解：（）， 而，令得；令得函数单调递增区间是；单调递减区间是 （），欲证，只需要证明，即证明， 记，当时，在上是增函数，即，故结论成立 （）由（）知，C2对应的表达式为，问题转化为求函数与图象交点个数故只需求方程，即根的个数 设，当时，为减函数；当时，为增函数而，图象是开口向下的抛物线作出函数与的图象，而可知交点个数为2个，即曲线C2与C3的交点个数为2个8. 设函数（1）当时，求的最大值；（2）令，（0

7、3），其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；（3）当，方程有唯一实数解，求正数的值.解：（1）依题意，知的定义域为（0，+），当时， ，令=0，解得.（）因为有唯一解，所以，当时，此时单调递增；当时，此时单调递减。所以的极大值为，此即为最大值 （2），则有，在上恒成立，所以，当时，取得最大值，所以8分（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则.令，.因为，所以（舍去），当时，在（0，）上单调递减，当时，在（，+）单调递增当时，=0，取最小值.（12）则既所以，因为，所以（*）设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解.因为，所以方程（*）的解为，即，解得. 9. 设函

8、数 （I）当图像上的点到直线距离的最小值； （II）是否存在正实数a，使对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由 解：（）由为减函数则令所求距离的最小值即为到直线的距离 （）假设存在实数a满足条件，令则 由为减函数当为增函数的取值范围为10.已知函数（），其中（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围解：（）当时，令，解得，当变化时，的变化情况如下表：02f(x)000减极小值增极大值减极小值增所以在，内是增函数，在，内是减函数（），显然不是方程的根为使仅在处有极值，必须成立，即有解些不等

9、式，得这时，是唯一极值因此满足条件的的取值范围是（）由条件，可知，从而恒成立当时，；当时，因此函数在上的最大值是与两者中的较大者为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立所以，因此满足条件的的取值范围是11.已知函数.（为常数,）（）若是函数的一个极值点，求的值；（）求证：当时，在上是增函数；（）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围. .（）由已知，得 且，. （）当时，,当时，.又，故在上是增函数. 5分（）时，由（）知，在上的最大值为，于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立.记，（）则，当时，在区间上递减，此时，由于，时不可能使恒成立，故必有,.若，可知在区间上

10、递减，在此区间上，有，与恒成立矛盾，故，这时，在上递增，恒有，满足题设要求，即，所以，实数的取值范围为.12. 已知实数a满足0a2，a1，设函数f (x)x3x2ax(1) 当a2时，求f (x)的极小值；(2) 若函数g(x)x3bx2(2b4)xln x (bR)的极小值点与f (x)的极小值点相同求证：g(x)的极大值小于等于 () 解: 当a2时，f (x)x23x2(x1)(x2) 列表如下：x(，1)1(1，2)2(2，)f (x)00f (x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，f (x)极小值为f (2) () 解：f (x)x2(a1)xa(x1)(xa)g (x)3

11、x22bx(2b4)令p(x)3x2(2b3)x1， (1) 当1a2时，f (x)的极小值点xa，则g(x)的极小值点也为xa，所以p(a)0，即3a2(2b3)a10，即b，此时g(x)极大值g(1)1b(2b4)3b3 由于1a2，故 2 (2) 当0a1时，f (x)的极小值点x1，则g(x)的极小值点为x1，由于p(x)0有一正一负两实根，不妨设x20x1，所以0x11，即p(1)32b310，故b此时g(x)的极大值点xx1， 有 g(x1)x13bx12(2b4)x1lnx11bx12(2b4)x1(x122x1)b4x11 (x122x10)(x122x1)4x11x12x11

12、(x1)21 (0x11) 综上所述，g(x)的极大值小于等于 13已知函数，其中. (1)若有相同的极值点，求的值；(2)若存在两个整数使得函数在区间上都是减函数, 求的最大值，及取最大值时的取值范围.见2011年浙江省会考数学卷压轴题.14已知函数，其中；（1）当时，求的值并判断函数的奇偶性； （2）当时，若函数的图像在处的切线经过坐标原点，求的值；（3）当时，求函数在上的最小值。解：（1） 时 ，所以，所以时非奇非偶函数 （2）时，所以 所以在处的切线方程为 因为过原点，所以； （3）（）当时，上，所以在内单调递减，递增，所以 （） 当时，上，所以单调递增， （）当时，当时，所以单调递增

13、， 当时，因，所以在上单调递减，在上递增，所以若，则，当时而 时 ，所以，时ks*5*u 同样，因，所以 综上：时， 时 - 15设，函数. ()当时，求曲线在点处的切线方程； ()当时，求函数的最小值. 解: ()当时， 令，得 所以切点为（1，2），切线的斜率为1， 所以曲线在处的切线方程为：. ()当时， . ，恒成立. 在上为增函数. 故当时，. 当时，（） ()当即时，若时，所以在区间上为增函数. 故当时，且此时. ()当，即时，若时，; 若时, 所以在区间上为减函数，在上为增函数， 故当时，且此时. ()当；即时，若时，,所以在区间上为减函数， 而。所以当时，不存在最小值 12分

14、当时，在时的最小值为，而， 所以在上的最小值为.当时，在时最小值为，在时的最小值为，而, 所以在上的最小值为.所以函数的最小值为 16已知函数.(1) 讨论函数的单调性；(2) 设函数. 当时，若对任意实数，存在，使，求实数的最小值.17.已知函数 （I）证明函数在区间（0，1）上单调递减； （II）若不等式都成立，（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值。 解：（I） 上单调递减。 （II）不等式由， 设， 设 由（I）知， 故函数即 18.定义：（其中）。 （1）求的单调区间； （2）若恒成立，试求实数a的取值范围； （3）记的导数，当a=1时，对任意的，在区间上总存在k个正数，使成立

15、，试求k的最小值。解：（1），则 1分当时，对恒成立，在上递增当时，令，则，时，为增函数； 时，为减函数综上，时，增区间为；时，增区间为，减区间为. （2）由（1）知时，在递增，且时，则不恒成立，故 5分又的极大值即最大值恒成立，只须，即 （3）当时，令，则 当时， 在上是增函数当时， 在上是增函数 当时，当时，则为使得k最小，需，则，又，所以当时，当时，则为使得k最小，需， 则，又又，所以当时，对时，不存在个正数，使得 所以， 19. 已知函数（）为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；（）当时，求函数的最大值；（）当时，且，证明：.解：（1）， 因为对，有不存在实数使，对恒成立 由恒成立，而，所以经检验，当时，对恒成立。当时，为定义域上的单调增函数 （2）当时，由，得 当时，当时，在时取得最大值，此时函数的最大值为 （3）由（2）得，对恒成立，当且仅当时取等号 当时，同理可得， 法二：当时（由待证命题的结构进行猜想，辅助函数，求差得之），在上递增令在上总有，即在上递增当时，即令由（2）它在上递减 即， ，综上成立 20. 设函数.（）求函数的单调递增区间；（）设函数在上是增函数，且对于内的任意实数,当为偶数时，恒有成立，求实数的取值范围