线性代数复习

1、写在前面的话：复习资料主要取材于书本，书是最有效的复习资料。此卷中知识点大多是对书本的浓缩和总结，同时适当补充少量内容，因此，看复习资料时，请紧密联系书本。第一讲 行列式每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作.行列式的的核心问题是值的计算.n阶行列式= 1.表示对所有n元排列求和.2. 规定为全排列的逆序数.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求的逆序数:,()=3+2+3+2+0+0=10二. 化零降阶法1.余子式和代数余子式的概念（课本15页）；2.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于某行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.=(-3)A11+4A

2、12+6A13=(-3)M11-4M12+6m3 =(-3)(-5)-4(-18)+6(-10)=27.3用初等变换把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式 如三.其它性质行列式还有以下性质性质1 行列式转置后，其值不变，即。（请试做证明）性质 交换行列式的两行（列），行列式的值变号性质3 行列式的某一行（列）元素有公因子，可以提到行列式的外面推论 以下三种行列式的值为零。（1）行列式有某一行（列）的元素全为零。（2）行列式有两行（列）完全相同。（3）行列式有两行（列）的元素成比例性质4 一个行列式可以拆分成两个行列式的和，这两个行列式的某对应行（列

3、）上相同位置的元素之和，正好等于原行列式的对应位置的元素，而其它行（列）的元素都与原行列式相同。性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。四.克莱姆法则 克莱姆法则 当线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵A为n阶矩阵)时. 方程组有唯一解（三阶内实用）。 五计算行列式值时，初等变换的一些小技巧：技巧1，纯用行变换，使得行列式成上三角或下三角矩阵技巧2，利用性质，交换部分行列，能够使值变简单技巧3，当遇到对称矩阵时，有一种办法较实用：首先，把第2，3，n列的数的值加到第一列来，这样第一列各数相等。然后将第一行乘以-1加到其余各

4、行，使各行首位都为0.这样简单许多。（P11例3）技巧4，不断使用性质5，化简行列式（习题1-2的第一大题（7）技巧5，特殊矩阵的方法（习题1-2的第一大题（8）注: 试做习题1-2中的第一大题（5），其中用到了技巧2和4，请详细体会。代数余子式和通过初等变换算行列式是本章的核心，宜多练手，体会初等变换的方法。第二讲 矩阵一 矩阵的运算1.矩阵的加法：，2.数与矩阵的乘法: 数乘矩阵是用数乘矩阵的每一个元素 注意，区分数乘行列式和数乘矩阵的区别。 数乘矩阵的定义，容易得到如下性质：（1）分配律： ， . （2）结合律：.（其中，都是矩阵，为任意常数）3. 矩阵与矩阵的乘法: 设矩阵则定义矩阵A

5、与B的乘积是一个矩阵，记为.其中例题(P25例1) 注意左乘与右乘的区别，两者一般不相等。如A=(X1,X2,X3,Xn), B=(Y1,Y2,Y3,Yn)T, 请写出AB与BA的表达式。注：了解下列矩阵的意义：伴随矩阵，标准矩阵，对角矩阵，数量矩阵，转置矩阵，对称矩阵，反对称矩阵，分块矩阵，相似矩阵，正交矩阵二矩阵的三变换：(1) 互换第行与第行( 记作);(2) 以数乘以第行( 记作 );(3) 将第行各元素乘以数后加到第行的对应元素上去 (记作三关于矩阵的一些计算 矩阵的核心问题：（1）求秩 （2）求逆矩阵和解矩阵方程 （3）矩阵的代数运算 1求矩阵的秩 如果对矩阵A经过若干次初等变换化

6、为B，则称矩阵A和B是等价的，记为 如果A与B等价，则r(A)=r(B);.求一个矩阵的秩，只需将其化为阶梯形即可 求下列矩阵的秩:例题 (1) ; (2) .解: (1)将矩阵用初等行变换化为阶梯形,的阶梯形有两行不是零行,所以. 2求逆矩阵和解矩阵方程 a.逆矩阵的定义：设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB = BA = ，则称方阵A 可逆.而B 为 A 的逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，用符号表示A的逆矩阵 b.逆矩阵的性质 若A，B均为阶可逆方阵，是一个数，则都可逆，且 (1) (2) (3) (4) 注：（2），（3）自己推导 c. 矩阵，是其元素的代数余子式.矩阵 称为矩阵的伴随

7、矩阵d.利用伴随矩阵求逆矩阵 利用以上公式，求出伴随矩阵，直接代入公式： 注：试求伴随矩阵的行列式的值（结果等于|A|的n-1次方） e.利用初等行变换求逆矩阵 简单地说就是： 补充：利用矩阵的代数运算的一点题目：1.习题2-3的第五大题（1）这一章的内容主要是介绍 矩阵的运算法则，矩阵的秩，逆，求逆请多在习题2-3上下功夫。第三讲 线性方程组 线性方程组的一般形式为： （1）方程组(1)可以用矩阵表示为. 其中 称为方程(1)的系数矩阵，称为(1)的常数项矩阵， 称为增广矩阵，称为元未知量矩阵. 当全为0时，方程组称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。方程组的主要问题是求解，下面总

8、结方程组的求解方法二方程组的解法非齐次方程组求特解解题方略： 1克莱姆法则 2AX=B，得X=A的逆乘以B （注：用上述两方法解p91中例1，与答案进行对比，顺便复习以下以前的内容） 3.高斯消元法 本质就是矩阵的初等行变换； 先判断方程组有没有有解: 线性方程组有解的充要条件是：方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即且(1) 当（未知数的个数）时，方程组有唯一一组解；(2) 当时，方程组有无穷多组解.只是自由未知量的个数为个.实际上，高斯消元法就是通过矩阵行变换，化简成与原方程组有相同解的方程组，之后再去解。例题见书p91例2，请详细琢磨该例中的过程，并与方略进行对比。三线性方程组的通解

9、 无论是齐次还是非齐次，线性方程组的通解可以类比成我们之前学过的常微分方程的通解。齐次方程组求通解解题方略：1，系数矩阵化简2，写出同解方程组3，看看同解方程组中有几个方程，几个未知量，如果方程比未知量多，则方程组无解；若相等，则仅有一解（即X的值全0）；若未知量多，则用未知量的个数减去方程的个数，这也是基础解系的个数。如3个方程，4个未知量，给其中一个变量赋值，如x1=1之类，解出其余的x值，此即方程组的一个基础解系。4，赋其他值，写出其他基础解系，最后得通解c1h1+c2h2+cshs例题见书p96例2，与解题方略进行对比，同时，把习题4-1中第一大题（2）作为练手。非齐次方程组AX=b的

10、通解通解即为齐次方程的通解加上非齐次方程的特解。x0+c1h1+c2h2+cshs（还是常微分啊）例题见书p103的例2，同时把习题4-3中第二大题作为练手。练习：试问:取何值时,线性方程组无解,有唯一解,有无穷多组解?并且有解时，求出解。解 对方程组的增广矩阵实施初等行变换化为阶梯形(1) 当且,即且时, ,方程组无解;(2) 当,即时, ,方程组有唯一解;(3) 当且,即且时, ,方程组有无穷多组解.说明：对于齐次线性方程组，恒有则它一定有解，且（1）时，有惟一解-零解；（2）时，有无穷多组解.一般求解齐次线性方程组时，只需对其系数矩阵实施变换.另外， 4-3中第三大题，里面的第二大问的一

11、个简便解法就是用第一个方程组中的特解代入到未知的方程中，务必请自己练手。本章的内容主要有以下几个方面：判断线性方程组是否有解，求齐次方程组和非齐次方程组的解，请熟练掌握。第四章 向量空间一向量的基本概念 n维向量的定义和表示：=（a1，a2，an）了解什么叫行向量，列向量，两向量相等。向量的四则运算（须熟练掌握，在此不赘述）了解什么叫向量空间，什么叫子空间，并通过习题3-1中第7大题加深对子空间的了解第五章 线性变换，特征值和特征向量在这一章中，V总表示数域K上的n维线性空间。本章主要内容和目的是：线性空间V的基不唯一，V上的线性变换也不唯一。对某一个确定的线性变换来说，是否存在V的一组基，使

12、关于这组基的矩阵具有最简单的形式对角形式？如果有，要满足什么条件？这组基又怎么找？这就是线性变换的对角化问题。固定V的一组基，则V的线性变换与数域K上的阶方阵之间一一对应，而V中的向量与向量在这组基下的坐标一一对应。因此线性变换的一切概念与结论方阵都有，只需把线性变换改为方阵，V中的向量改为向量的坐标，即n1矩阵。一基本概念及基本结论1设是线性空间V到V的映射，若满足：（1）；（2）则称是V上的线性变换。线性空间V上的所有线性变换的集合记为。2 设矩阵，如果存在可逆矩阵，使，就称矩阵相似于。记为。3若存在非零向量设，数，使得，则称是的一个特征值（特征根），的属于特征值的特征向量。一个线性变换的

13、特征值可以不唯一，属于同一特征值的特征向量有无穷多个，4 是的一个特征值，则集合为V的线性子空间，称为的属于特征值特征的特征子空间。5 同样可定义方阵的特征值、特征向量和特征子空间。（1）设，是一个变量，行列式是一个关于的次多项式，称该多项式为矩阵的特征多项式，记为。（2）设，如果存在V的一组基，使关于这组基的矩阵是对角阵，称是可以对角化的线性变换；若，若存在可逆矩阵为一个对角阵，则称矩阵可以对角化。由定义可知，线性变换可以对角化存在V的一组基，使，（是的特征值，是的属于特征值的特征向量（有n个由特征向量组成的基。由以上结论可知，在线性变换可以对角化的情况下，在线性无关的特征向量作成的基下，关

14、于这组基的矩阵具有对角形，且该对角形矩阵的对角线上的元素就是的全部特征值组成。同理，可以推得矩阵可以对角化的条件，当n阶方阵A可以对角化时，存在可逆矩阵=，其中是矩阵A的全部特征值。二基本结论1.设，是V的一组基，是关于这组基的矩阵，则是可逆线性变换为可逆矩阵也是V的一组基。2.过渡矩阵总是可逆矩阵。3.同一线性变换在V的不同基下的矩阵是相似的。相似矩阵的性质如下：(1)若，则为整数），（）(2)若，则；(3)若，则、的特征多项式相同，因而特征值相同，即相似的矩阵有相同的特征值。4坐标变换：设，和是V的两组基，在下的坐标为，则在基下的坐标为。5.矩阵的特征值与线性变换的特征值的关系：设V的线性

15、变换在V的任意一组基下的矩阵是A，则矩阵A的特征值就是线性变换的特征值。因此，求线性变换的特征值，可以转化为求矩阵的特征值。同一线性变换在不同基下的矩阵相似，而相似的矩阵特征值相同，所以无论矩阵是在哪一组基下的矩阵，求出的特征值都是相同的。即是的特征值的任意一个基下的矩阵的特征值。6.矩阵的特征向量与线性变换的特征向量的关系：设是V的一组基，在这组基下的矩阵为，且是的属于特征值的特征向量，则以为坐标的向量就是的属于的特征向量。7是矩阵的特征值。设，则是的特征值。8线性变换的属于不同的特征值的特征向量线性无关。9线性变换（或矩阵A）可以对角化的条件： （或A）有n个不同的特征值(特征多项式在数域

16、内有n个单根)（或A）一定可以对角化，但反之不成立。（或A）可以对角化V有n个线性无关的特征向量（或A）的特征子空间的维数之和等于n设是（或A）的所有不同的特征值，则所有齐次线性方程组（的基础解系所含向量个数之和等于n设是线性变换（或矩阵A）的所有不同的特征值，则。一个线性变换属于某个特征值的不同的特征向量有无穷多个，但这无穷多个特征向量不一定线性无关，只有在线性变换有n个线性无关的特征向量时，该线性变换才可以对角化。10求线性变换（或矩阵A）的特征值、特征向量的步骤及判断线性变换（或矩阵A）是否可以对角化的方法：（1）写出在V的任意一组基下的矩阵A（若是求矩阵A的特征值、特征向量，这一步可省

17、略）（2）计算特征多项式的根，即求满足=0的，这些根即为线性变换（或矩阵A）的全部特征值，设为；（3）对每个，求齐次线性方程组的基础解系，设为，则不同时为零）是矩阵A的属于特征值的特征向量；而以为在基下的坐标的向量就是线性变换的特征向量。(4).对所有的特征值，所有齐次线性方程组（的所有基础解系所含向量的总个数，若，则线性变换（或矩阵A）可以对角化；若，则不可以对角化。第六章 二 次 型一 二次型的基本概念设f(x_1,x_2,.x_n)=a_ij * x_i*x_j 这里a_ij是系数， 满足a_ij=a_ji则称f为n元二次型。 将系数a_ij 按照下表ij排成矩阵，亦即 a_ij 放在

18、第i行第j列的位置上。 这样我们得到一个对称矩阵，记为M。 M即为二次型的矩阵表示。标准二次型：仅有对角线元素不为0矩阵的合同：数域P上n*n矩阵A,B称为合同的,如果有数域P上可逆的n*n矩阵C,使B=CAC，则称矩阵A与B合同。(C为C的转置矩阵的另一种表示)注：（与相似矩阵区分开来）二化二次型为标准型 任一实二次型，都可以经过一个正交变换化成标准形，其中是f的矩阵A的特征值。1 正交变换法（1）将二次型f写成矩阵形式，求出f的矩阵A； （2）求A的全部特征值； （3）对每一个特征值，求出对应的线性无关的特征向量，并将其正交化、标准化，得标准正交向量组，写出正交变换矩阵； （4）验证 ；（

19、5）写出f的标准型。注：在最后确定f的标准型的时候，实际上，最后得出的二次型，y前面的系数其实是前面二次型矩阵所对应的几个特征值。这种题一般都会要求你既写出最后化成的标准型，也要写出那个变换。的X=TY就是那个变换，其中T是正交矩阵，T的由来就是通过求出二次型矩阵的特征值和特征向量，再把特征向量正交化后得出的正交矩阵。最后的结果y前面的系数是之前求的特征值。最后这两步都要写上而已。X=TY并不是直接推导出了最后的结果，y前面的系数结果在求特征值的那一步就确定了，只是得写出那个变换。2 配方法（1）利用公式把二次型各项配成完全平方。 若(i=1,2,n)不全为0，则首先把含的各项集中在一起，配成完全平方，然后对后面