考点10 导数的应用(单调性、最值、极值)(教师版) 新课标

1、2013年新课标数学40个考点总动员 考点10 导数的应用（单调性、最值、极值）（教师版）【高考再现】热点一 利用导数研究函数的单调性1.（2012年高考（辽宁文）函数y=x2x的单调递减区间为（）A(1,1B(0,1C1,+)D(0,+)【答案】B 【解析】故选B 2. （2012年高考（浙江理）设a0，b0A若，则ab B若，则abC若，则ab D若，则ab3.（2012年高考（浙江文）已知aR,函数(1)求f(x)的单调区间。(2)证明:当0x1时, 。【解析】(1)由题意得, 当时,恒成立,此时的单调递增区间为. 当时,此时函数的单调递增区间为. (2)由于,当时,. 当时,. 设,则

2、. 则有01-0+1减极小值增1所以. 当时,. 故. 4.（2012年高考（新课标理）已知函数满足满足;(1)求的解析式及单调区间;(2)若,求的最大值.得:当时, 令;则 当时, 当时,的最大值为 5.（2012年高考（陕西理）设函数,则（）A为的极大值点B为的极小值点 C为的极大值点D为的极小值点【答案】D【解析】,令得,时,为减函数;时,为增函数,所以为的极小值点,选D.6.（2012年高考（重庆理）设函数在R上可导,其导函数为,且函数的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是（）A函数有极大值和极小值 B函数有极大值和极小值 C函数有极大值和极小值 D函数有极大值和极小值7.（

3、2012年高考（重庆文）已知函数在处取得极值为(1)求a、b的值;(2)若有极大值28,求在上的最大值. 【解析】:()因 故 由于 在点 处取得极值 故有即 ,化简得解得 ()由()知 , 令 ,得当时,故在上为增函数; 当 时, 故在 上为减函数 当 时 ,故在 上为增函数. 由此可知 在 处取得极大值, 在 处取得极小值由题设条件知 得此时,因此 上的最小值为 8.（2012年高考（广东文）设,集合,.()求集合(用区间表示);()求函数在内的极值点.综上所述,当时,;当时,;当时,;当时,.其中,. (),令可得.因为,所以有两根和,且. 当时,此时在内有两根和,列表可得1+0-0+递

4、增极小值递减极大值递增所以在内有极大值点1,极小值点. 当时,此时在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 当时,此时(可用分析法证明),于是在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 9.（2012年高考（江西文）已知函数在上单调递减且满足.(1)求的取值范围;(2)设,求在上的最大值和最小值.【解析】(1)由,则,依题意须对于任意,有,当时,因为二次函数的图像开口向上,而,所以须,即,当时,对任意,有,符合条件;当时,对任意,符合要求,当时,因,不符合条件,故的取值范围为. (2)因 当时,在上取得最小值

5、,在上取得最大值; 当时,对于任意,有,在上取得最大值,在上取得最小值;当时,由, 10.（2012年高考（江苏）若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.已知是实数,1和是函数的两个极值点.(1)求和的值;(2)设函数的导函数,求的极值点;(3)设,其中,求函数的零点个数.【解析】(1)由,得. 1和是函数的两个极值点, ,解得. (3)令,则. 先讨论关于 的方程 根的情况: 当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,的两个不同的根为一和2. 当时, , 一2 , -1,1 ,2 都不是的根. 由(1)知. 当时, ,于是是单调增函数,从而. 此时在无实根

6、. 当时.,于是是单调增函数. 又,的图象不间断, 在(1 , 2 )内有唯一实根. 同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根. 当时,于是是单调减两数. 又, ,的图象不间断, 在(一1,1 )内有唯一实根. 因此,当时,有两个不同的根满足;当 时 有三个不同的根,满足. 现考虑函数的零点: ( i )当时,有两个根,满足. 而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点. ( 11 )当时,有三个不同的根,满足. 而有三个不同的根,故有9 个零点. 综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点. 11.（2012年高考（湖南理）已知函数=,其中a0.(1)若对一切xR,1恒成立

7、,求a的取值集合.(2)在函数的图像上取定两点,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由. ()由题意知, 令则 【方法总结】1.求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格(4)由f(x)0的根左右的符号以及f(x)在不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况.2.函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展从函数图象上可以直观地看出：如果在闭区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的

8、曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数yf(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较，就可以求出函数的最大(小)值.热点三 利用导数研究综合问题12.（2012年高考（天津文）已知函数(I)求函数的单调区间;(II)若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;(III)当时,设函数在区间上的最大值为,最小值为,记,求函数在区间上的最小值.13.（2012年高考（陕西文）设函数(1)设,证明:在区间内存在唯一的零点;(2)设n为偶数,求b+3c的最小值和最大值;(3)设,若对任意,有,求的取值范围;【解析】（）当 又当， 解法三：由题意，知 解得， 又， 当时，；当， 的最小值是-6，最大值是

9、0 （2）当时， 对任意上的最大值 与最小值之差,据此分类讨论如下：14.（2012年高考（天津理）已知函数的最小值为,其中.()求的值;()若对任意的,有成立,求实数的最小值;()证明.【解析】(1)的定义域为得：时，（2）设则在上恒成立（*）15.（2012年高考（陕西理）设函数(1)设,证明:在区间内存在唯一的零点;(2)设,若对任意,有,求的取值范围;(3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性.【解析】(1),时, ,在内存在零点. 又当时, 在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点. 注:()()也可合并证明如下: 用表示中的较大者.当,即时, 恒成立 (3)证法一 设是

10、在内的唯一零点 , 于是有 又由(1)知在上是递增的,故, 所以,数列是递增数列. 证法二 设是在内的唯一零点 则的零点在内,故, 所以,数列是递增数列. 【考点剖析】一明确要求1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)4.会利用导数解决某些实际问题.二命题方向1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点2.选择题、填空题侧重于利1用导数确定函数的单调性和极值

11、解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题.3.利用导数研究函数的最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考的考点且每年必考！4.选择题、填空题主要考查函数的最值，而解答题则考查函数综合问题，一般难度较大.三规律总结两个注意(1)注意函数定义域的确定(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较两个条件(1)f(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件(2)对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件三个防范【基础

12、练习】1.(教材习题改编)函数f(x)1xsin x在(0,2)上是()A增函数B减函数C在(0，)上增，在(，2)上减D在(0，)上减，在(，2)上增答案：A解析：f(x)1cos x0，f(x)在(0,2)上递增2(教材习题改编)函数f(x)12xx3在区间3,3上的最小值是 ()A9B16C12 D11答案： B解析：由f(x)123x20，得x2或x2.又f(3)9，f(2)16，f(2)16，f(3)9，函数f(x)在3,3上的最小值为16.3(经典习题)已知函数f(x)x3mx2(m6)x1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是_答案：(，3)(6，)解析：f(x)3x22

13、mxm60有两个不等实根，即4m212(m6)0.m6或m3，则方程x3ax210在(0,2)上恰有_个实根答案：1解析：设f(x)x3ax21，则f(x)3x22axx(3x2a)，由于a3，则在(0,2)上f(x)0，f(2)94a0，则方程x3ax210在(0,2)上恰有1个实根5. (教材习题改编)函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_【答案】 (1,11)【解析】f(x)3x230x333(x11)(x1)，当1x11时，f(x)0 时，设的图象C1与的图象C2相交于两个不同的点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线交C1于点，求证.法二：等价于在R上有解，即三提升自我22.

14、 (2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理)已知点P在曲线y=ex(e自然对数的底数)上，点Q在曲线y=lnx上，则丨PQ丨的最小值是A. B. 2e C. D. e【答案】A【解析】：曲线y=ex（e自然对数的底数）与曲线y=lnx互为反函数，其图象关于y=x对称，故可先求点P到直线y=x的最近距离d，设曲线y=ex上斜率为1的切线为y=x+b，y=ex，由ex=1，得x=0，故切点坐标为（0，1），即b=1，d=丨PQ丨的最小值为2d= ，故选 A23(湖北省八校2012届高三第一次联考理)定义在R上的函数，则（ ）ABCD24（海南省2012洋浦中学高三第三次月考）已知函数f (x

15、)=f (p-x),且当时，f (x)=x+sinx,设a=f (1),b=f (2),c=f (3),则（ ） A.abc B.bca C.cba D.ca0. 所以 . 13分所以 的最小值为.所以 使得恒成立的的最大值为.14分27.(2012东城区普通高中示范校高三综合练习（二）理)（本小题满分13分）已知函数： , （1） 当时，求的最小值； （2）当时，若存在,使得对任意的恒成立，求的取值范围. (2) 若存在,使得对任意的恒成立，即 当时，由（1）可知，, 为增函数， ,当时为减函数， 13分28.(2012年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理) (本小题满分12分)已知函数()讨

16、论函数在定义域内的极值点的个数；()若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；()当，证明：（沈阳）()当且时，试比较的大小（大连）（）证明：，8分令，则只要证明在上单调递增，又，显然函数在上单调递增10分，即，在上单调递增，即，当时，有12分29.(2012年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三）理) (本小题满分12分）已知函数，其中常数a0.(I )当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(II)当a=4时，给出两类直线：与，其中m,n为常数.判断这两类直线中是否存在的切线？若存在，求出相应的m或n的值；若不存在，说明理由；(III)设定义在D上的函数在点处的切线方程为，当时，若

17、在D内恒成立，则称P为函数的“类对称点”.当a=4时，试问是否存在“类对称点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由.（）由（）知，当时，函数在其图象上一点处的切线方程为,设，则（8分），若，在上单调递减，所以当时，此时；若，在上单调递减，所以当时，此时.30.(中原六校联谊2012年高三第一次联考理)（本小题满分12分）己知函数（1）求函数的单调区间；（2）设函数，是否存在实数a、b、c0，1，使得若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由【解析】（1），当时，在区间上为减函数.当时，在区间上为增函数. 的单调增区间为，的单调减区间为 3分（2）假设存在，使得，则. 5分， 6分31.(仙桃市2012年五月高考仿真模拟试题理)（本题满分14分）已知函数；（I）求证：对；（II）证明：；（III）求证：对解（I）只需证明的最大值为O，即可当是唯一的极大值点，故