线性代数在生活中的应用

1、线性代数在生活中的运用 线性代数的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，既求解有限维的线性方程组，使各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，解线性方程组正是解决这些问题的有力工具。本文由用初等数学解线性方程组的例子，引用线性代数中的一些基本概念，论述了线性代数与线性方程组的内在联系。 线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组xj表示未知量，aij为系数，bi为常数项。则有若x1c1，x2c2，xncn代入所给方程各式均成立，

2、则称（c1，c2，cn）为一个解。若c1，c2，cn不全为0，则称（c1，c2，cn）为非零解。若常数项均为0，则称为齐次线性方程组，它总有零解（0，0，0）。两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组。 线性方程组主要讨论的问题是：一个方程组何时有解。有解方程组解的个数。对有解方程组求解，并决定解的结构。 当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有解。 克莱姆法则给出了一类特殊线性方

3、程组解的公式。n个未知量的任一齐次方程组的解集均构成n维空间的一个子空间。 线性方程组有广泛应用，熟知的线性规划问题即讨论对解有一定约束条件的线性方程组问题。请看下面一个例子。例： 一个庙里有一百个和尚, 这中间有大和尚有小和尚, 这一百个和尚每顿饭总共要吃一百个馒头, 其中大和尚一个人吃三个, 小和尚三个人吃一个, 问有多少大和尚, 多少小和尚?那么, 假设大和尚的数目是x1, 小和尚的数目是x2, 那么由第一个条件, 总共有100个和尚可以知道： x1+x2=100 而由第二个条件, 大和尚一个人吃3个馒头, 小和尚一个人吃1/3个馒头, 吃的馒头的总数是100个, 那么就得第二个方程 将

4、上面两个方程联立, 就得线性方程组: 要解这个方程组有两种办法, 其实质是一样的, 一种叫消元法, 从(1)式解出x1得 x1=100-x2将其代入到(2)式, 得 因此算出共有75个小和尚, 25个大和尚.或者用加减法, 先将(1)式乘3得 3x1+3x2=300(3)用此(3)式减去(1)式得 同样能够解得 x2=75由此可以推知更多元的线性方程组的解法。而其实, 更多元的线性方程组也是同样的解法.那么, 为什么还要开线性代数这门课程专门研究解线性方程组的问题呢?线性代数要研究的是解有许多变元的线性方程组, 即变量的个数要比上例多得多, 可能会多到几十个变元, 上百个变元, 甚至成千上万个

5、变元.因此, 线性代数给出的一般的线性方程组的形式是:那么, 既然变元如此之多, 一定不能用人工手算, 必然要用计算机来进行计算. 因此, 如果没有计算机的发展, 线性代数这门课也就没有什么用. 实际上, 线性代数正是为了用计算机解线性方程组提供理论基础。 在科技实践中，从实际中来的数学问题无非分为两类：一类线性问题；一类非线性问题。线性问题是研究最久、理论最完善的，我们可以简单地说数学中的线性问题是最容易被解决的，如微分学研究很多函数线性近似的问题。而非线性问题则可以在一定基础上转化为线性问题求解。因此遇到一个问题，首先判定是线性问题还是非线性问题；其次如果是线性问题如何处理，若是非线性问题

6、如何转化为线性问题。可见线性代数作为研究线性关联性问题的代数理论的重要性。随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。 在物理学方面, 整个物理世界可以分为机械运动, 电运动, 还有量子力学的运动。而机械运动的基本方程是牛顿第二定律, 即物体的加速度同它所受到的力成正比, 这是一个基本的线性微分方程. 由此根据不同的力学系统, 又可以构成更为复杂的微分方程。电运动的基本方程是麦克思韦方程组, 这个方程组表明电场强度与磁场的变化率成正比, 而磁场的强度又与电场强度的变化率成正比, 因此麦克思韦方程组也正好是线性方程组。而量子力学中描绘物质的波粒二象性的薜定谔方程, 也是线性方程组。 所以在各种理、工学的研究与实践中，都脱离不了线性方程组。 而在经济学和会计学方面, 线性方程组也得到了广泛的运用。比如上面这个实际上是一个经济学的例子, 是给一个庙的和尚作伙食供给时的问题。而实际过程如果不是一个庙, 而是一家公司, 这家公司的职员也不是分为两等, 而是许多等, 他们的薪水不同, 消耗的生产或者办公器材的多少也不同, 投资多少也不同, 这样就可以构成了大量的线性方程组。 总之，线