《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解抛物线

1、抛_物_线知识能否忆起1抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)图形范围x0，yRx0，yR对称轴x轴顶点坐标原点O(0,0)焦点坐标准线方程xx离心率e1标准方程x22py(p0)x22py(p0)图形范围y0，xRy0，xR对称轴y轴顶点坐标原点O(0,0)焦点坐标准线方程yy离心率e1小题能否全取1(教材习题改编)已知抛物线的焦点坐标是(0，3)，则抛物线的标准方程是()Ax212yBx212yCy212x Dy212x解析：

2、选A3，p6，x212y.2(教材习题改编)抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值是()A. BC8 D8解析：选B抛物线的标准方程为x2y.则a0且2，得a.3已知倾斜角为60的直线l通过抛物线x24y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为()A4 B6C10 D16解析：选D设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则依题意得焦点F(0，1)，准线方程是y1，直线l：yx1，由消去x得y214y10，y1y214，|AB|AF|BF|(y11)(y21)(y1y2)216.4(2012郑州模拟)已知斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且与y轴相交于点A，若OAF(

3、O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为_解析：依题意得，|OF|，又直线l的斜率为2，可知|AO|2|OF|，AOF的面积等于|AO|OF|4，则a264.又a0，所以a8，该抛物线的方程是y28x.答案：y28x5设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_解析：其准线方程为x2，又由点P到y轴的距离为4，则P点横坐标xP4，由定义知|PF|xP6.答案：61.抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助2用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用3由y2mx(m0)或x2my(m0)求焦点坐标

4、时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点位置即可抛物线的定义及应用典题导入例1(1)(2011辽宁高考)已知F是拋物线y2x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B1C. D.(2)(2012曲阜师大附中质检)在抛物线C：y2x2上有一点P，若它到点A(1,3)的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A(2,1) B(1,2)C(2,1) D(1,2)自主解答(1)如图，由抛物线的定义知，|AM|BN|AF|BF|3，|CD|，所以中点C的横坐标为.(2)由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P，

5、使得该点到点A与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P是直线x1与抛物线的交点，故所求P点的坐标是(1,2)答案(1)C(2)B由题悟法涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解以题试法1(2012安徽高考)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点若|AF|3，则|BF|_.解析：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|3，由抛物线定义知，点A到准线x1的距离为3，点A的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知，y2，A(2,2)，直线AF的方程为y2(x1)又解得或由图知，点B的坐标为，|BF|(1

6、).答案：抛物线的标准方程及几何性质典题导入例2(1)(2012山东高考)已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py (p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2yBx2yCx28y Dx216y(2)(2012四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A2 B2C4 D2自主解答(1)双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，2，ba，双曲线的渐近线方程为xy0，抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，p8.所求的抛物线方程为

7、x216y.(2)依题意，设抛物线方程是y22px(p0)，则有23，得p2，故抛物线方程是y24x，点M的坐标是(2，2)，|OM|2.答案(1)D(2)B由题悟法1求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p但要注意判断标准方程的形式2研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用以题试法2(2012南京模拟)已知抛物线x24y的焦点为F，准线与y轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|MN|，则NMF_.()解析：过N作准线的垂线，垂足为H，则|NF|NH|MN|，如图cos MNH，MNH，NMF.答案：直线与抛物线的位置关系典题导入例3

8、(2012福建高考)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p0)上(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点自主解答(1)依题意，|OB|8，BOy30.设B(x，y)，则x|OB|sin 304，y|OB|cos 3012.因为点B(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.(2)证明：由(1)知yx2，yx.设P(x0，y0)，则x00，y0x，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q为.设M(0，y1)，令0对满足y

9、0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)由题悟法1设抛物线方程为y22px(p0)，直线AxByC0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2nyq0.(1)若m0，当0时，直线与抛物线有两个公共点；当0时，直线与抛物线只有一个公共点；当0时，直线与抛物线没有公共点(2)若m0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行2与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)(1)y1y2

10、p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p(为AB的倾斜角)(3)SAOB(为AB的倾斜角)(4)为定值.(5)以AB为直径的圆与准线相切(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切(7)CFD90.以题试法3(2012泉州模拟)如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y24x的焦点F.(1)若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；(2)设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴的交点，试判断AB与抛物线C的位置关系，并给出证明解：(1)抛物线的焦点F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，即x1不符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：yk(x1)，即

11、kxyk0.所以，解得k.故直线l的方程为：y(x1)，即xy10.(2)直线AB与抛物线相切，证明如下：设A(x0，y0)，则y4x0.因为|BF|AF|x01，所以B(x0,0)所以直线AB的方程为：y(xx0)，整理得：xx0把方程代入y24x得：y0y28x0y4x0y00，64x16x0y64x64x0，所以直线AB与抛物线相切1(2012济南模拟)抛物线的焦点为椭圆1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()Ax24yBy24xCx24y Dy24x解析：选A由椭圆方程知，a29，b24，焦点在y轴上，下焦点坐标为(0，c)，其中c.抛物线焦点坐标为(0，)，抛物线方程为x24y

12、.2(2012东北三校联考)若抛物线y22px(p0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为()A2 B18C2或18 D4或16解析：选C设P(x0，y0)，则362p，即p220p360，解得p2或18.3(2013大同模拟)已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y26x70相切，则p的值为()A2 B1C. D.解析：选A注意到抛物线y22px的准线方程是x，曲线x2y26x70，即(x3)2y216是圆心为(3,0)，半径为4的圆于是依题意有4.又p0，因此有34，解得p2.4(2012郑州模拟)已知过抛物线y26x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角

13、是()A.或 B.或C.或 D.解析：选B由焦点弦长公式|AB|得12，所以sin ，所以或.5(2012唐山模拟)抛物线y22px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)若点F恰为ABC的重心，则直线BC的方程为()Axy0 Bxy0C2xy10 D2xy10解析：选C点A在抛物线上，42p，p2，抛物线方程为y24x，焦点F(1,0)设点B(x1，y1)，点C(x2，y2)，则有y4x1，y4x2，由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)得kBC.又0，y1y22，kBC2.又1，x1x22，BC中点为(1，1)，则BC所在直线方程为y12(x1)，即2xy10.6(2

14、013湖北模拟)已知直线yk(xm)与抛物线y22px(p0)交于A、B两点，且OAOB，ODAB于D.若动点D的坐标满足方程x2y24x0，则m()A1 B2C3 D4解析：选D设点D(a，b)，则由ODAB于D，得则b，abk；又动点D的坐标满足方程x2y24x0，即a2b24a0，将abk代入上式，得b2k2b24bk0，即bk2b4k0，4k0，又k0，则(1k2)(4m)0，因此m4.7(2012乌鲁木齐模拟)过抛物线y24x的焦点F的直线交y轴于点A，抛物线上有一点B满足, (O为坐标原点)，则BOF的面积是_解析：由题可知F(1,0)，可设过焦点F的直线方程为yk(x1)(可知k

15、存在)，则A(0，k)，B(1，k)，由点B在抛物线上，得k24，k2，即B(1，2)，SBOF|OF|yB|121.答案：18(2012渭南模拟)已知抛物线C：yx2，则过抛物线焦点F且斜率为的直线l被抛物线截得的线段长为_解析：由题意得l的方程为yx1，即x2(y1)代入抛物线方程得y(y1)2，即y23y10.设线段端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段长度为y1y2p5.答案：59(2012广州模拟)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线y28x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|2|FB|，则k的值为_解析：直线yk(x2)恰好经过抛物线y28x的焦点F(2,0)，

16、由可得ky28y16k0，因为|FA|2|FB|，所以yA2yB，则yAyB2yByB，所以yB，yAyB16，所以2y16，即yB2，又k0，故k2.答案：210已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分(1)求p，t的值；(2)求ABP面积的最大值解：(1)由题意知得(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为Q(m，m)，设直线AB的斜率为k(k0)由得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k2m1，所以直线AB的方程为y

17、m(xm)，即x2my2m2m0.由消去x，整理得y22my2m2m0，所以4m4m20，y1y22m，y1y22m2m.从而|AB| |y1y2|.设点P到直线AB的距离为d，则d，设ABP的面积为S，则S|AB|d|12(mm2)|.由4m4m20，得0m1.令u，0u，则Su2u3，S(u)16u2.由S(u)0，得u，所以S(u)maxS.故ABP面积的最大值为.1(2012北京高考)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y24x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为_解析：直线l的方程为y(x1)，即xy1，代入抛物线方程得y

18、2y40，解得yA2(yB0，舍去)，故OAF的面积为12.答案：2(2012东城模拟)已知顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点A，A点到抛物线焦点的距离为1.(1)求该抛物线的方程；(2)设M(x0，y0)为抛物线上的一个定点，过M作抛物线的两条相互垂直的弦MP，MQ，求证：PQ恒过定点(x02，y0)；(3)直线xmy10与抛物线交于E，F两点，问在抛物线上是否存在点N，使得NEF为以EF为斜边的直角三角形？若有，求出该点存在时需满足的条件；若无，请说明理由解：(1)由题意可设抛物线的方程为y22px(p0)，则由抛物线的定义可得1，即p1，所以该抛物线的方程为y22x. (2)由题意知直线PQ与x轴不平行，设直线PQ的方程为xmyn，代入y22x得y22my2n0.所以y1y22m，y1y22n，其中y1，y2分别是P，Q的纵坐标，x1，x2分别是P，Q的横坐标因为MPMQ，所以kMPkMQ1.即1，又由x1，x2，x0，代入上式得1，所以(y1y0)(y2y0)4.即y1y2(y1y2)y0y40，所以(