随机过程复习提纲

1、第一章：1 填空若x1,x2,xn是相互独立的随机变量,且gi(t)是xi的特征函数,i=1,2,n)则x=x1+x2+xn的特征函数g(t)= g1(t) g2(t)gn(t)2.设p(s)是的母函数，试证:(1)若e(x)存在，则ex=p(1)(2)若d(x)存在，则 dx = p(1)+ p(1)- p(1)2证明:(1)因为p（s）=，则p（s）=，令s1，得ex= p(1)。 （2）同理可证dx=p(1)+ p(1) p(1) 23.设x服从b(n,p),求x的特征函数g(t)及ex,ex2,dx.解：x的分布列为p(x=k)=,q=1-p,k=0,1,2,.n,由性质得4 设xn(

2、0,1),求特征函数g(t).解由于，且，故由积分号下求导公式有于是得微分方程g(t)+tg(t)=0解得方程的通解为由于g(0)=1,所以c=0，于是得x的特征函数为5 设随机变量yn(，2)，求y的特征函数是gy(t).解：设xn(0,1),则由例1.3知x的特征函数令y=,则yn(，2)，由前面的命题知y的特征函数是，6 设x1,x2xn是相互独立的随机变量，且xib(ni,p),i=1,2,n,则证 因为xib(ni,p),所以其特征函数为由特征函数的性质知，的特征函数为再有唯一性定理知7 设x1,x2xn是相互独立的随机变量，且则证 因为所以其特征函数为有特征函数的性质知，的特征函数

3、为再由唯一性定理知。8 设x1，x2xn是相互独立的随机变量，且，则。证 因为所以其特征函数为有特征函数的性质知，的特征函数为再由唯一性定理知9 设商店在一天的顾客数n服从参数=1000的泊松分布，又设每位顾客所花的钱数xi服从n(100,502)，求商店日销售z的平均值。解：由条件知而en=1000，ex1=100,故ez=enexi=1000100=100000(元)10设随机变量x的特征函数为gx(t),y=ax+b,其中a,b为任意实数，证明y的特征函数gy(t)为证11求以下各分布的随机变量x的特征函数g(t).(1)两点分布b(1,p) (5)正态分布n(，2)(2)二项分布b(n

4、,p) (6)指数分布exp()(3)泊松分布p() (7)均匀分布u(a,b)(4)几何分布ge(p) (8)伽马分布(，)解：(1) 令xb(1,p),则p(x=0)=1-p=q,p(x)=p.则根据特征函数的定义，得：(2)令xb(n,p),则有特征函数定义，可知(3)令xp(),则有特征函数定义可知：(4)设xge(p),则p(x=k)=pqk-1,q=1-p,k=1,2n 有特征函数定义知：(5)设xn(，2),因为当=0,=1时得出特征函数为，令x=x+,则x的特征函数为(6)设xexp(),则可知密度函数则有特征函数定义，可得：(7)设xu(a,b),则可知密度函数为则 (8)设

5、x(,),则密度函数则第二章：1、随机过程若按状态空间与参数集分类可分为离散参数链，连续参数链，随机序列，随机过程四类.2、若x(t)，tt是零均值的二阶矩过程，若对任意的t1t2t30,其中y，z是相互独立的n（0，1）随机变量，求 x(t)，t0的一维和二维概率密度族.解：由于x与z是相互独立的正态随机变量，故其线性组合仍为正态随机变量，要计算x(t)，t0的一、二维随机概率密度，只要计算数字特征mx(t)，dx(t)，x(s，t)即可. mx(t)=e(y+zt)=ey+tez=0，dx(t)=d(y+zt)=dy+t2dz=1+t2，bx(s,t)=ex(s)x(t)- mx(s) m

6、x(t)=e(y+zs)(y+zt)=1+st，x(s,t)=bx(s，t)dx(s)dx(t)=1+st(1+s2)(1+t2)，故随机过程x(t)，t0的一、二维概率密度分别为ft(x)=12(1+t2)exp-x22(1+t2)，t0，fs,t(x1,x2)=12(1+s2)(1+t2)1-2.exp-12(1-2)x121+s2-2x1x2(1+s2)(1+t2)+x221+t2,s,t0,其中=x(s,t)4、设x(t)，t0是实正交增量过程，x(0)=0，v是标准正态随机变量，若对任意的t0，x(t)与v相互独立,令y(t)=x(t)+v，求随机过程y(t)，t0的协方差函数.解：

7、依题意知ex(t)=0，ev=0,dv=1,所以ey(t)=ex(t)+v=ex(t)+ev=0，by(t1，t2)=e(x(t1)+v)(x(t2)+v)=ex(t1)x(t2)+ev2=2x(min(t1,t2)+1.5、试证明维纳过程是正态过程。证明：设b(t)，t0是参数为2的维纳过程，对于任意的n，任取0t1t2tn，由于b(t1)，b(t2)- b(t1)，,b(tn)-b(tn-1)相互独立,而且b(tk)-b(tk-1)n(0,2(tk-tk-1),所以b(t1),b(t2)-b(t1),b(tn)-b(tn-1)是n维正态向量,于是:即b(t1),b(t2),b(tn)是n维

8、正态随机向量b(t1),b(t2)-b(t1),b(tn)-b(tn-1)的线性变换,所以b(t1),b(t2),b(tn)是n维正态随机向量,n=1,2,故b(t),t0是正态过程.6、设x(t)，ta,b是正交增量过程，且x(a)=0，定义f(t)表示e2=rx(t,t)，tt，则有：(1)rx(s,t)=f(min(s,t) (2)f(t)是a,b上的非负单调不减函数.证明：（1）假设astb,rx(s,t)=ex(s)=ex(s)=e2=f(s)同理若sstb,则rx(s,t)=f(t)所以rx(s,t)=f(min(s,t) (2)对任意的ast0的泊松过程，若它满足下列条件：(1)

9、 x(0)=0;(2) x(t)是独立增量过程；(3) 在任一长度为t的区间(s,s+t中，事件a发生的次数x(t+s)-x(s)服从参数t的泊松分布，即对任意s,t0,有2、泊松过程的定义：称计数过程x(t),t0为具有参数0的泊松过程，若它满足下列条件：(1) x(0)=0;(2) x(t)是独立、平稳增量过程；(3) x(t)满足下列两式：px(t+h)-x(t)=1=t+o(h), px(t+h)-x(t)2=o(h)3、设x（t）,t0是参数为0的泊松过程，则（1） 均值函数：mx(t)=ex(t)=ex(t)-x(0)=t;（2） 方差函数：（3） 自相关函数：rx（s,t）=2s

10、t+min(s,t)（4） 特征函数族：4、设x(t)，t0是具有跳跃强度的非齐次泊松过程。求ex(t)和dx(t)。解：=5、设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居。如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6，一户三人的概率为1/3，一户二人的概率为1/3，一户一人的概率为1/6，并且每户的人户数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望和方差。解：设n(t)为在时间0，t内的移民户数，yi表示每户的人口数，则在0，t内的移民人数x(t)=是一个复合泊松过程。yi是相互独立且具有相同分布的随机变量，其分布列为p(y=1)= p(y=4)=1/6 p(y=2)

11、=p(y=3)=1/3ey=15/6 , ey2=43/6根据题意知n(t)在5周内是强度为10的泊松过程 ， m x(5)=10ey1=1015/6=25x (5)=10ey12 =1043/6=215/36、设x1(t)和x2(t)是分别具有参数1和2的相互独立的泊松过程，证明:y(t)=x1(t)+x2(t)是具有参数1+2的泊松过程。证明：y(t)是独立增量过程，且 py(t+)-y(t)=n =px1(t+)+x2(t+)x1(t)x2(t)=n =px1(t+)x1(t)+x2(t+)x2(t)=n- = =i=one-1(1)ii!(2)n-i(n-i)! =e-()nn!, n

12、=0,1,27、设到达某商店顾客组成强度为的泊松过程，每个顾客购买商店的概率为p，且与其它顾客是否购买商品无关，若yt，t0是购买商品的顾客数，证明yt，t0是强度为p的泊松过程。证明:设x(t)，t0表示到达商店的顾客数，表示第i个顾客购物与否，即：则由题意知，i=1，2，独立同分布，且与x(t)独立p=1=p，p=0=1-p因此，y(t)=是复合泊松过程，ey(t)=te()=pt，y(t)的强度=ey(t)/t=p.8、设在内事件a已经发生n次，且，对于,求.解：利用条件概率及泊松分布得：p= = =这是一个参数为n和的二项分布。9、设是具有参数为的泊松过程，假定s是相邻事件的时间间隔，

13、证明p=p，即假定预先知道最近一次到达发生在s1秒，下一次到达至少发生在将来s2秒的概率等于在将来s2秒出现下一次事件的无条件概率.解：p=p=1-p(ss2)=p(ss2)10、设在0,t内事件a已经发生n次，求第k次事件a发生的时间wk的条件概率密度函数。twk0swns+h11、设x1(t),t0和x2(t),t0是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为1和2。记为过程x1(t)的第k次事件到达事件，为过程x2(t)的第1次事件到达时间，求p0时，由于,故上式对t求导。得到wn的概率密度为由于。故当t0时，故15、设到达某商店的顾客组成强度为的泊松方程，每个顾客购

14、买商品的概率为p，且与其它的顾客是否购买商品无关，若yt,t0使购买商品的顾客数，证明yt,t0是强度为p的泊松过程。解：设x（t）,t0表示到达商店的顾客数，i表示第i个顾客购物与否，即 则由题意知i,i=1,2独立同分布，且与x（t）独立，p (i=1)=p, p (i=0)=1-p,因此，是复合泊松过程，ey(t)=te(1)=pty(t)的强度y=ey(t)/t=t16、设x（t）,t0为具有参数的泊松过程，证明（1） e(wn)=,即泊松过程第n次到达时间的数学期望恰好是到达概率倒数的n倍。（2） d(wn)=,即泊松过程第n次到达时间的方差恰好是达到概率倒数的n倍。证明：(1)设t

15、i表示x（t）,t0第i-1次事件发生到第i次事件发生的时间间隔，则ti，i=1,n相互独立且服从均匀值为1/的指数分布。,，i=1,n(1)(2)16、设是具有参数的泊松过程,试求其有限维概率分布族.解：对任意的自然数n，及任意的非负整数有：显然 = = = =17、是具有参数的泊松过程,是对应的时间间隔序列,试证明随机变量是独立同分布的均值为的指数分布.解：首先注意到事件发生当且仅当泊松过程在区间内没有事件发生,因而,即,所以t1服从均值为的指数分布.利用泊松过程的独立、平稳增量性质,有: = =即,故t2也是服从均值为的指数分布.对于任意和,有,即所以对任一,其分布是均值为的指数分布证明

16、：证毕34例3.10某镇有一小商店，每日上午8:00开始营业，从8:00到11:00平均顾客到达率线性增加，在8:00顾客平均到达5人/h；11:00到达率达到最高峰20人/h；从上午11:00到下午1:00平均顾客到达率为20人/h；从下午1 :00到下午5:00顾客到达率线性下降，到下午5:00时为12人/h，假定在不重叠的区间内到达商店的顾客数是相互独立的，问在上午8:30至9:30时间内无顾客到达商店的概率，并求这段时间到达商店的顾客数的数学期望。 第四章1、设为马尔可夫链,试证明:对任意整数,和,n步转移概率证明:利用全概率公式及马尔可夫性,有2、设质点在数轴上游动,每次游动一格,向

17、右移动的概率为p,向左移动的概率为,这种运动称为无限制随机游动.以表示时刻n质点所处的位置,则是一个齐次马尔可夫链,试写出它的一步和k步转移概率.解:显然的状态空间,其一步转移概率矩阵为设在第k步转移中向右移了x步,向左移了y步,且经过k步转移状态从i进入j,则:从而,.由于x,y都只能取整数,所以必须是偶数.又在k步中哪x步向右,哪y步向左是任意的,选取的方法有种.于是3、设昨日、今日都下雨,明日有雨的概率为0.7；昨日无雨，今日有雨，明日有雨的概率为0.5；昨日有雨，今日无雨，明日有雨的概率为0.4；昨日、今日均无雨，明日有雨的概率为0.2.若星期一、星期二均下雨，求星期四下雨的概率.解:

18、设昨日、今日连续两天有雨称为状态0(rr)，昨日无雨、今日有雨称为状态1(nr)，昨日有雨、今日无雨称为状态2(rn)，昨日、今日无雨称为状态3(nn)，于是天气预报模型可看作一个四状态的马尔可夫链，其转移概率为：，,其中r代表有雨，n代表无雨.类似地可得到所在状态的一步转移概率.于是它的一步转移概率矩阵为:其两步转移概率矩阵为:由于星期四下雨意味着过程所处的状态为0或1,因此星期一、星期二连续下雨，星期四下雨的概率为：.4、设质点在线段上做随机游动,假设它只能在时刻发生移动,且只能停留在1,2,3,4点上.当质点转移到2,3点时,它以的概率向左或向右移动一格,或停留在原处.当质点移动到点1时,它以概率1停留在原处.当质点移动到点4时,它以概率1移动到点3.若以表示质点在时刻n所处的位置,则是一个齐次马尔可夫链,其转移概率矩阵为:试画出各状态之间的转移关系图及标出相应的转移概率.解:由题意可得各状态之间的转移关系及相应的转移概率如下图所示:1112 435、设马尔可夫链状态空间,其一步转移概率矩阵为,试将状态进行分类.解: 对于,状态4为非常返状态 对于,状态3是非常返的 对于又d=1状态1是正