概率与二项式

1、.概率与二项式1两种计数原理分类计数原理和分步计数原理2排列(1)排列的定义；(2)排列数公式：An(n1)(n2)(nm1)(mn，m，nN*)3组合(1)组合的定义；(2)组合数公式：C(mn，m，nN*)(3)组合数性质：CC；CCC.4概率、随机变量及其分布(1)离散型随机变量及其概率分布的表示：离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量；离散型随机变量概率分布的表示法：概率分布列和概率分布表；性质：1pi0(i1,2,3，n)；2p1p2p3pn1；(2)特殊的概率分布列：01分布(两点分布)符号表示：X01分布；超几何分布：1符号表示：XH(n，M，N)；2概

2、率分布列：XH(r；n，M，N)P(Xr)；二项分布(又叫独立重复试验，波努利试验)：1符号表示：XB(n，p)；2概率分布列：P(Xk)Cpk(1p)nk.注意：P(X0)P(X1)P(X2)P(Xr)P(Xn)1.5.互斥事件有一个发生的概率若A、B是互斥事件，则P(AB)P(A)P(B)，P(A)P(A)1.相互独立事件与n次独立重复试验(1)若 A1，A2，An是相互独立事件，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)离散型随机变量的分布列、期望与方差(1)主干知识：随机变量的可能取值，分布列，期望，方差，二项分布，超几何分布，正态分布(2)基本公式：E()x1p1x2p2xn

3、pn；D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xnE()2pn；E(ab)aE()b，D(ab)a2D()；6. 二项分布：B(n，p)，则P(k)Cpk(1p)nk，E()np，D()np(1p)7.正态分布：(1)若X服从参数为和2的正态分布，则可表示为XN(，2)(2)N(，2)的分布密度曲线关于直线x对称，该曲线与x轴所围成的图形的面积为1.(3)当XN(，2)时，0.683P(X)，0.954P(2X2)，0.997P(3X3)例题随机变量服从正态分布N(40，2)，若P(25)0.2，则P(2540)为（）. A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5【例1】 (2012陕

4、西)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间/分12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望解设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需

5、的时间为3分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟所以P(A)P(Y1)P(Y3)P(Y3)P(Y1)P(Y2)P(Y2)0.10.30.30.10.40.40.22.（2）X的所有可能取值为0,1,2.X0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X0)P(Y2)0.5；X2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01；P(X1)1P(X0)P(X2)0.49；所以X的分布列为X012P0.50.490.01E(X)00.510.4920.0

6、10.51.【例2】 (2012天津)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记|XY|.求随机变量的分布列与数学期望E()解依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i0,1,2,3,4)，则

7、P(Ai)Ci4i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)C22.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则BA3A4.由于A3与A4互斥，故P(B)P(A3)P(A4)C3C4.所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(0)P(A2)，P(2)P(A1)P(A3)，P(4)P(A0)P(A4).所以的分布列是024P的期望E()024.与方差【例3】 (2012新课标全国)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售

8、如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率()若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；()若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由解(1)当日需求量n16时，利润y80.当日需求量n16时，利润y10n80.所以y关于n

9、的函数解析式为y(nN)(2)()X可能的取值为60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X607080P0.10.20.7X的分布列为X的数学期望为E(X)600.1700.2800.776.X的方差为D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.()答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.Y的方差为D(Y)(5576.4)2

10、0.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以看出，D(X)D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然E(X)E(Y)，但两者相差不大故花店一天应购进16枝玫瑰花答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润故花店一天应购进17枝玫瑰花二项式定理1 知识精讲：（1）二项式定理：（）其通项是 （r=0,1,2,n），知4求1，如：亦可写成：（）特别地：（）其中，二项式系数。而系数是字母前的常数。（2）二项展开式系数的性质：对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即偶数：；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即。所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于即；奇数项的二项式系数和与偶数项的二