第2章 运动定律和力学中的守恒律

1、1,第二章 运动定律和力学中的守恒律 前 言 2-1 牛顿运动定律 2-2 非惯性系 惯性力 2-3 动量 动量守恒定律 2-4 功 动能 势能 机械能守恒定律 2-5 角动量 角动量守恒定律 2-6 刚体的定轴转动 2-7 理想流体的伯努利方程,2,出生1643年1月4日 儒略历：1642年12月25日1出生地英格兰林肯郡埃尔斯索普村 逝世1727年3月31日 （84岁） 逝世地英格兰伦敦肯辛顿 研究领域神学、物理学、数学、天文学、自然哲学和炼金术 著名成就牛顿力学 万有引力 微分学和积分学 经典光学国籍 英格兰 居住地 英格兰 研究机构剑桥大学、皇家学会母校 剑桥大学三一学院,46岁的艾萨

2、克牛顿爵士,/wiki/艾萨克牛顿,3,前 言,运动和物体相互作用的关系是人类几千年来不断探索的课题。,力的作用既有瞬时效应，又有积累效应：前者由牛顿定律描述，后者则由三大守恒律所描述；,在深一层次上，人们还发现，反映力在时、空过程中积累效应的三大守恒律是与时、空的某种对称性相联系的。,原来物体作何种运动，既与物体间的相互作用有关，又与物体自身的性质有关。当物体内部出现某种非线性因素时，在一定条件下即可能导致混沌。,从17世纪开始，以牛顿定律为基础建立起来的经典力学体系，一直被认为是“确定论”的。但廿世纪80年代，人们发现了在“确定论”系统中，却可能

3、出现“随机行为”。,在力学中，物体与物体间的相互作用称之为力。,为什么？,4,21 牛顿运动定律,2.1.1 惯性定律 惯性参照系,在运动的描述中，各种参考系都是等价的。但实验表明，动力学规律并非是在任何参考系中都成立。这就引出了惯性参考系的问题。,1、惯性定律,“孤立质点”的模型：,不受其它物体作用或离其他物体都足够远的质点。,例如，太空中一远离所有星体的飞船。,惯性定律：,一孤立质点将永远保持其原来静止或匀速直线运动状态。,5,惯性和惯性运动,惯性运动：物体不受外力作用时所作的运动。,问题的提出：惯性定律是否在任何参照系中都成立？,惯性：任何物体都有保持其原有运动状态的特性，惯性是物质固有

4、的属性。,惯性和第一定律的发现，使人们最终把运动和力分离开来。,、惯性系和非惯性系,左图中，地面观察者和车中观察者对于惯性定律运用的认知相同吗？,6,什么是惯性系：孤立物体相对于某参照系为静止或作匀速 直线运动时，该参照系为惯性系。,如何确定惯性系只有通过力学实验。,*1 地球是一个近似程度很好的惯性系,但,相对于已知惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。,一切相对于已知惯性系作加速运动的参照系为非惯性系。,*2 太阳是一个精度很高的惯性系,太阳对银河系核心的加速度为, 马赫认为：所谓惯性系，其实质应是相对于整个宇宙的平均加速度为零的参照系因此，惯性系只能无限逼近，而无最终的惯性系。,7,牛

5、顿第二定律：物体受到外力作用时，它所获得加速度的大小与合外力的大小成正比；与物体的质量成反比；加速度的方向与合外力 F 的方向相同。,比例系数k与单位制有关，在国际单位制中k=1。,2.1.2 牛顿第二定律 惯性质量 引力质量,其数学形式为,o 物体之间的四种基本相互作用；,1、关于力的概念,o 力是物体与物体间的相互作用，这种作用可使物体产生形变，也可使物体获得加速度。,力的概念是物质的相互作用在经典物理中的一种表述。,8,3 o 力的叠加原理,若一个物体同时受到几个力作用，则合力产生的加速度，等于这些力单独存在时所产生的加速度之矢量和。,力的叠加原理的成立，不能自动地导致运动的叠加。,2、

6、关于质量的概念,3、牛顿第二定律给出了力、质量、加速度三者间瞬时的定 量关系,o质量是物体惯性大小的量度：,o引力质量与惯性质量的问题：,惯性质量与引力质量等价是广义相对论的出发点之一。,9,2.1.3 牛顿第三定律,1o作用力与反作用力是分别作用在两个物体上的，不是一对平衡力。,2o作用力与反作用力是同一性质的力。,3o若A给B一个作用，则A受到的反作用只能是B给予的。,* ：牛顿第三定律只在实物物体之间，且运动速度远小于光速时才成立。,当物体 以力 作用在物体 上时，物体 也必定同时以力 作用在物体 上， 和 大小相等，方向相反，且力的作用线在同一直线上，即,10,解题步骤： 确定对象 分

7、析运动 画隔离体受力图 列方程 解方程,两类问题：,1. 微分问题:,已知运动状态，求质点受到的合力。,2 . 积分问题:,已知质点受的合力 ，求运动状态。,2.1.4 牛顿定律的应用,11,牛顿运动定律是经典的理论基础，说明了宏观物体在惯性系中作低速运动的动力学规律。,研究对象：,牛顿运动定律的适用范围,宏观物体,（与基本粒子相比）,运动状态：,低速运动,（与光速c 相比）,参照系：,惯性参照系,12,例1 考虑空气阻力的落体运动（变力 直角坐标系） 已知：,求：,解,第二步：列牛顿定律方程（原理式）,第一步：画质点m的受力图,第三步：解上述微分方程 1.分离变量 2.两边分别积分,3.得解

8、,（同学自解）,13,设一高速运动的带电粒子沿竖直方向以 0 向上运动，从时刻 t = 0 开始粒子受到 F =F0 t 水平力的作用，F0 为常量，粒子质量为 m 。,水平方向有,例2,解,粒子的运动轨迹。,求,运动轨迹为,竖直方向有,14,例3 单摆在垂直面内摆动（变力自然坐标系） 已知：m, l , t =0, v0=0，水平方向。,求:,绳中的张力 和加速度,解：,运动学关系式,得,?,15,由,及第1 章的切向加速度公式 圆周运动公式,16,1）上述结果是普遍解， 适用于任意位置。 2）如特例：,17,1、 单位制：基本量、导出量,单位制的任务是：规定哪些物理量是基本量及所使用的基本

9、量的数量级。,七个基本量为 长度、质量、时间、电流、温度、物质的量和发光强度,2、 SI制中三个基本量的操作型定义,长度,时间 1秒=铯-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁时对应辐射的9，192，631 ，770个周期。,从基本量导出的量称为导出量，相应的单位称为导出单位。,* 2.1.5 国际单位制和量纲（自学提纲）,18,3、量纲：,因为导出量是由基本量导出的，所以导出量可用基本量的某种组合(乘、除、幂等)表示。这种由基本量的组合来表示物理量的式子称为该物理量的量纲式，,例如：在SI制中,通过物理定律、定理、定义等将某个物理量表示成某种单位 制中基本物理量的方次。,质量 千克,19,2

10、.3.1 质点的动量定理,、动量的引入,在牛顿力学中，物体的质量可视为常数,故,即,2-3 动量 动量守恒定律,力的瞬时效应,力的积累效应,加速度：牛顿定律,20,）式中 叫做动量，是物体运动量的量度。,）动量 是矢量，方向与 同；,动量是相对量，与参照系的选择有关。,、冲量的概念,） 恒力的冲量,） 变力的冲量,此时冲量的方向不能由某瞬时力的方向来决定。,指两个物体相互作用持续一段时间的过程中，在物体间传递着的物理量。,力在某一段时间间隔内的冲量,冲量的方向与力的方向相同。,作用力F恒量，作用时间t1t2，力对质点的冲量，,21,即,其表示：物体所受外力的冲量等于物体动量的增量。,3、质点的

11、动量定理,在直角坐标系中的分量式,22,平均冲力概念,）峰值冲力的估算,） 当相互作用时间极短，相互间冲力极大，此时某些有限主动外力（如重力等）可忽略不计。,、动量定理的应用,）当动量的变化是常量时，有,23,2.3.2 质点系的动量定理,1、内力与外力,i质点所受的内力,i质点所受合力,2、i质点动量定理,24,3、质点系的动量定理（对i求和）,因为内力成对出现,这说明内力对系统的总动量无贡献， 但对每个质点动量的增减是有影响的。,25,质点系合外力的冲量 = 质点系动量的增量。,于是有,或,26,2.3.3 质点系的动量守恒定律,若系统所受的合外力,系统总动量守恒,一个孤立的力学系统（即无

12、外力作用的系统）或合外力为零的系统，系统内各质点动量可以交换，但系统的总动量保持不变。这就是动量守恒定律。,注意：动量守恒式是矢量式,(1)守恒条件是,而不是,27,若 ，但若某一方向的合外力零， 则该方向上 动量守恒；,(3)必须把系统内各量统一到同一惯性系中；,(4)若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力， 运用动量守恒。,(2)若,表示系统与外界无动量交换，,表示系统与外界的动量交换为零。,则系统无论沿那个方向的动量都守恒；,28,例2.5 一弹性球，质量m0.20 kg，速度v5 m/s，与墙碰撞后弹回.设弹回时速度大小不变，碰撞前后的运动方向和墙的法线所夹的角都是(图2.

13、12)，设球和墙碰撞的时间t0.05 s，60 ，求在碰撞时间内，球和墙的平均相互作用力.,解 以球为研究对象.设墙对球的平均作用力为f，球在碰撞前后的速度为 和 ，由动量定理可得,将冲量和动量分别沿图中N和x两方向分解得：,解方程得,按牛顿第三定律，球对墙的平均作用力和 的方向相反而等值，即垂直于墙面向里.,29,2.4.1 功 功率,1、恒力的功,即某力的功等于力与质点在该力作用下位移的标积。,(中学）力在位移方向上的投影与该物体位移大小的乘积。,由矢量标积定义式，有,2- 功 动能 势能,30,功值的图示法,2、 变力的功,）力的元功,设质点沿X轴运动，则力 在区间x1, x2内做的功，

14、即为图中有阴影部分的面积。,物体在变力的作用下从 a 运动到 b,b,31,2 ) dA 在F-S图上的几何意义,3）变力在一段有限位移上的功,功的直角坐标系表示式,因为功是标量，所以总功等于各方向上的分量之代数和。,dA=F（s）ds ，其在Fs图上即为有阴影的小方块的面积。,32,一对作用力与反作用力的功只与相对位移有关,所以一般情况下,式中drij为相对位移,33,、功率 单位时间内所作的功称为功率,功率的单位：在SI制中为瓦特（w）,34, 重力的功,4、保守力的功,35, 弹簧弹性力的功,36,万有引力的功,由图知,元位移,力函数,37,1) 保守力,如重力、弹簧弹性力、万有引力、静

15、电力、分子作用力等均为保守力。,即保守力沿任一闭合路径的功为零。,如果某力的功只与始末位置有关而与具体路径无关，则该力谓之保守力。,38,L,S+,保守力的共同特征：,a、 力函数或为常数，或者仅为位置的函数；,b、 保守力的功总是“原函数”增量的负值。,2) 非保守力,若力的功值与具体路径有关,则为非保守力，,如摩擦力、爆炸力等。,如在一水平面上,39,2.4.3 势能,描述机械运动的状态参量是,对应于：,弹簧弹性力的功,万有引力的功,重力的功,1、势函数,40,由上所列保守力的功的特点可知，其功值仅取决于物体初、终态的相对位置，故可引入一个由相对位置决定的函数；,由定积分转换成不定积分，则

16、是,式中c为积分常数，在此处是一个与势能零点的选取相关的量。,又由于功是体系能量改变量的量度。因此，这个函数必定具有能量的性质；而这个具有能量性质的函数又是由物体相对位置所决定，故把这种能量称之为势能（或曰位能），用表示。,则有：,41,2、已知保守力求势能函数,弹性势能：,保守力的力函数,若取坐标原点，即弹簧原长处，为势能零点，则 c=0,于是,重力势能,保守力的力函数,若取坐标原点为势能零点，则c=0,42,引力势能,保守力的力函数,若取无穷远处为引力势能零点，则,势能函数的一般特点,1) 对应于每一种保守力都可引进一种相关的势能；,2) 势能大小是相对量，与所选取的势能零点有关；,3)

17、一对保守力的功等于相关势能增量的负值；,4) 势能是彼此以保守力作用的系统所共有。,43,、已知势能函数求保守力,若保持y，z 不变， 则dydz0,同理,则,44,45,势能曲线,将势能随相对位置变化的函数关系用一条曲线描绘出来，就是势能曲线。,46,1、势能曲线能说明质点在轨道上任一位置时，质点系所具有的势能值。,2、势能曲线上任一位置处的斜率（dEP/dl ）的负值，表示质点在该处所受的保守力。,设有一保守系统，其中一质点沿x方向作一维运动，则有,由教材中的图可知，凡势能曲线有极值时，即曲线斜率为零处，其受力为零。这些位置点称为平衡位置。,势能曲线有极大值的位置点是不稳定平衡位置，势能曲

18、线有极小值的位置点是稳定平衡位置。,由势能曲线所获得的信息,47,解 (1)由点(0,0)沿x轴到(2,0)，此时y0，dy0，所以,例2.9 质点所受外力 ，求质点由点(0,0)运动到点(2,4)的过程中力F所做的功：(1)先沿x轴由点(0,0)运动到点(2,0)，再平行y轴由点(2,0)运动到点(2,4)；(2)沿连接(0,0)，(2,4)两点的直线；(3)沿抛物线 由点(0,0)到点(2,4)(单位为国际单位制).,由点(2,0)平行y轴到点(2,4)，此时x2，dx0，故,48,(2)因为由原点到点(2,4)的直线方程为y2x，所以,(3)因为 ，所以,可见题中所示力是非保守力.,49

19、,2.4.2 动能定理,1、动能,是一个独立的物理量，,与力在空间上的积累效应对应。,这说明,又，m为常数,50,是质点作机械运动时所具有的运动量的量度，称之为动能；,是状态量，相对量，与参照系的选取有关。,2、动能定理,或,即，作用于物体上合外力的功等于物体动能的增量。,合力对质点作用一段距离所产生的积累作用，从而导致动能的有限变化。,51,动能与动量的区别,引入,两种度量作用,52,例2.10 一质量为10 kg的物体沿x轴无摩擦地滑动，t0时物体静止于原点，(1)若物体在力F34t N的作用下运动了3 s，它的速度增为多大？(2)物体在力F34x N的作用下移动了3 m，它的速度增为多大

20、？,解 (1)由动量定理 ，得,(2)由动能定理 ，得,53,2.4.4 质点系的功能定理与 功能原理,1、质点系的动能定理, 质点系的内力和外力, 对于单个质点,54, 对 i 求和质点系的动能定理,质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内部保守力的功、非保守力的功三者之和。,55,若引入 (机械能） 则可得,系统机械能的增量等于外力的功与内部非保守力功之和。,2、功能原理,由于内力总是成对出现的，而对每一对内部保守力均有,56,）功能原理只适用于惯性系（从牛顿定律导出；,3 )具体应用时，一是要指明系统，二是要交待相关的势能零点；,注意的问题：,） 功能原理是属于质点系的规律（因涉及P），

21、与质点系的动能定理不同；,质点系动能定理,质点系功能原理,4）当质点系内各质点有相对运动时，注意将各量统一到同一惯性系中。,57,2.4.5 机械能守恒定律,由功能原理可知,机械能守恒的条件：,系统与外界无机械能的交换；,系统内部无机械能与其他能量形式的转换。,当系统机械能守恒时，应有,即系统内，动能的增量势能增量的负值,若 和 ,则系统的机械能保持不变。,58,能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另一种形式。对一个封闭系统来说，不论发生何种变化，各种形式的能量可以互相转换，但它们总和是一个常量。这一结论称为能量转换和守恒定律。,(3) 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体现。,(1) 能量守恒定律可以适用于任何变化过程。,(2) 功是能量交换或转换的一种度量。,例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发电，将机械能转换为电能。,讨论,电流通过电热器能发热，把电能又转换为热能。,2.4.6 能量转换与守恒定律,59,质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质点的速度为,解,在质点从y =16m到y =32m的过程中，外力做的功。,求,例1,开始时质点位于坐标原点。,动能定理如何解？,60,缓慢拉质量为m 的小球，,解,例2,求,已知用力,保持方