大工线性代数期末试卷

1、线性代数往年期末试卷【含完整答案的新版本】线性代数往年期末试卷【含完整答案的新版本】 （包含（包含 20042004、20052005、20072007、20082008、20092009、20112011、20122012 年份试题）年份试题） 【答案全且准确率高】优印堂打印店【答案全且准确率高】优印堂打印店(B19(B19- -503503- -5) QQ:7418199415) QQ:741819941 大连理工大学 课程名称：线性代数与解析几何 试卷：A 考试形式：闭卷 授课院（系） ：应用数学系 考试日期：2008 年 1 月 8 日 试卷共 6 页 一 二 三 四 五 六 七 八

2、九 总分 标准分 20 10 8 10 12 14 6 10 10 100 得 分 注： 1.E 表示单位阵，A表示 A 的行列式，( )r A表示 A 的秩， 1 A表示 A 的逆阵， T A表示 A 的转置矩阵，( )tr A 表示 A 的迹。 一. 填空题（每题 2 分，共 20 分） 。 1. 设 A 为三阶方阵，其列分块阵为 123 Aaaa=， ，=2A，则 1223 3=aaaa+， ， 2. 设 A 为四阶方阵，= 1A ，则 1 2=AA + 3. 设从向量空间 V 的基底 123 ,u u u ，到基底 123 ,v v v ，的过渡矩阵为 200 012 013 ，则 从

3、基底 123 ,v v v 到基底 123 ,u u u 的过度矩阵为 4. 已知 312 202 21 A k = 的特征值对应的特征向量为 1 2 0 ，则 k= ，= 5. 若方阵 A 已知，且满足 2 20AAE+=，则() 1 3AE += 6. Oxy 面上的曲线 2 5yx+= 绕 x 轴旋转所得的旋转面方程为 1 7. 已 知 三 个 平 面)3 , 2 , 1(0: 1 =+iDzCyBxA iiii , 记 111 222 333 ABC AABC ABC = ， 1111 2222 3333 ABCD BABCD ABCD = ，则三平面交于一条直线的充要条件是( )r

4、A 和( )r B 满足 _ 8. 设 3 阶方阵 A 满足()()()22r EAr EArEA+=+=，则3AE+= 9.设 A 为 ns 型矩阵，B 是秩为 k 的 nk 型矩阵，且存在矩阵 P 使得BAP=，则 ( )r P =_ 二. (10 分)求向量组 1 1 1 1 1 a = ， 2 2 1 1 1 a = ， 3 4 1 1 3 a = ， 4 3 1 1 2 a = ， 5 3 2 2 3 a = 的秩，求 其一个极大无关组，并求出其余向量所求极大无关组线性表示的表达式。 三. （8 分）设 301 121 012 A = ， 12 30 21 C = ，并且2ABBC=

5、+，求矩阵 B。 四. （10 分） （1）设 123 ,a a a 为线性无关向量组，数 k 使得 122331 4,aa aa aka+线性无 关，确定 k 的取值范围（2）设二次型 21 2 3 2 2 2 1321 2) 2 1 (),(xaxxaxaxxxxf+=是 正定的，确定 a 的取值范围 2 五. （12 分）1. k 取何值时，方程组 =+ =+ =+ kkxxx xkxx kxxkx 321 321 321 1 1 （1）有唯一解； （2）无解； （3）有无穷多解？若存在无穷多解时，求方程组的通解。 六. 已知矩阵 311 040 113 A = ， = 2 4 4 B相

6、似，求可逆阵 P 使得 1 P APB = 七. 选择题（10 分） 。 1. 设 A，B 为同阶非零实对称阵，则（ ） A. AB 是实对称阵 B. AB0 C. ABBA= D. AB 的特征值都是实数 2. 如果方阵0A ，那么（ ） A. 若 ABAC=，则BC= B. ( )1r A C. 0A D. A 可逆 3. 一个矩阵 A 为正交阵的充要条件是（ ） A. TT A AAAE= B. A 的行向量组是标准正交向量组 C. T A AE= D. A 的列向量组是正交向量组 4. 若可逆变换 xPy=将二次型( ) T f xx Ax=化为二次型( ) T g yy By=，则（

7、 ） 不正确 A. T P APB= B. ( )( )=r Ar B C. 0AB D. 1 P APB = 5. 如果 4 阶实方阵 A 满足( )=2r A，则（ ） A. 方程组0A x =的基础解系含有两个向量 B. () 2r A= 3 C. 方程组0A x =的解空间是 4 R D. A可以是可逆矩阵 八. （10 分）1. 若实对称阵 A 满足 2 AE=，0A ，证明 AkE+为正定矩阵的充分必要 条件是 k1。 2. 设 1 p 是 nn 型方程组0Ax =的一个非零解向量，若存在一组向量 12 , s p pp，满足() 1, 2, ii Appis =，证明向量组 12

8、 , s p pp线性无关。 2008 年期末参考答案年期末参考答案 一、 1. 6 2. -1 3. 1 00 2 032 011 4. -1，1 5. 4 14 AE 6. 22 5yzx+= （5 改为-5） 7. ( )( )=2r Ar B= 8 8 9. k 二、 解：设() 12345 12433 11112 =, 11112 11323 Aa a a a a = 21 21 41 12433 03341 03341 01110 rr rr rr + 32 24 3 12433 00011 00000 01110 rr rr + + () 4 42 23 1 12433 0111

9、0 00011 00000 r rr rr 12 13 23 2 10202 01101 00011 00000 rr rr rr 12345 ,a a a a a的秩为 3，其中一个极大无关组为 124 ,a a a 3125124 2,2aaa aaaa=+=+ 4 三、 2ABBC=+ ()2AE BC= 101 2101 010 AE = () 10112 2 ,01130 01021 AE C = + 11000 12010 12001 11000 03110 21101 31 2323 rr rrrr 21 21 R = 四、 （1）设()() 123122331 ,4,Aa a

10、aBaa aa aka=+ 则BAP=，其中 40110110 110011011 01104004 000000000 k P kk = A 线性无关，要使 B 线性无关，则( )3r P =，4k （2）设 15 . 0 0)(5 . 0(| 0| 0| 5 . 000 01 0 ,),( 2 3 2 2 1 321 = = = a aaaA aaA aA a a aa AAxxxxxf T 为正定其中 五、设 111 11,1 11 kk Akb kk = () 13 21 3122 11111 ,1110111 112111 rr rr rkr kkkk A bkkkk kkkkkk

11、= （矩阵左下角的 2 改为 0） 32 22 11 0111 00 rr kk kkk kkk + + + 1. 当 22 00kkk+且时，即01kk 且时，有唯一解 2. 当=1k时，无解 5 3. 当=0k时，有无穷多解。 () 12 31 01111011 ,10110111 11010111 rr rr A b = 32 1011 0111 0000 rr 13 23 1 1 xx xx = + = Axb=的通解为 11 11 10 + 六、由题意 A 与 B 相似，A 的特征值为：2)(4 21 =，二重 当 1 4=时，()0EA x=【E 的前面加系数】的基础解系为：P1=

12、（1,1,0）T ; P2=(1,0,1)T 当 2 2=时，()0EA x=【改错同上】的基础解系为：P3=(1,0,1)T 令() 123 ,PP P P=，则 111 100 011 P = 七、 1. C 2. B 3. A 4. D 5. C 八、 1. 2 2 ,101AE AAA= 且，设 A 的特征值为 1n 2 A的特征值为 2 i 2 1 1,1,1 in A= = i 不全为 1，存在-1 必要性：AkE+的特征值为k+，AkE+为正定矩阵，0,1Akkk+即 注意： 【A+k0 中的 A 改为】 充分性：10,kkAkE+，为正定阵。 2. 11 0 ii APAPP=

13、， 令存在 1s xx，使 1 122 0 ss x Px Px P+= 两边左乘 A 得： 1122 0 ss x APx APx AP+=， 21321 0 ss x Px Px P+= 两边左乘 A 得： 21321 0 ss x APx APx AP+=， 31422 0 ss x Px Px P+= 以此类推： 41523 0 ss x Px Px P+=， 11 0,0 s x PP=，0 s x= 又由： 1 12 0 ss xPx P +=， 1 0 s x = 6 以此类推： 11 0 ss xxx =， 12 , S P PP线性无关。 大连理工大学 课程名称：线性代数与解

14、析几何 试卷：A 考试形式：闭卷 授课院（系） ：数学科学学院 考试日期：2007 年 1 月 11 日 试卷共 6 页 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 标准分 28 12 8 12 12 10 8 10 100 得 分 一. 填空题（每题 4 分，共 28 分） 。 1. 设三阶方阵 A 的行列式( )det2A = ，则 1 A的行列式 () 1 det A= ， k A的 行列式 () det k A= 2. 设 = 201 110 211 A， 011 121 112 B = ，则 T AB = 3. 过点()1,1,1，且垂直于直线 311 234 xyz = 的平面方程为 4

15、. 已知三元向量 () 2 111 1, T ab b=， () 2 222 1, T ab b=， () 2 333 1, T ab b=线性相关， 则()1,2,3 i b i = 应满足条件 5. 已知 3 R的一组基为() 1 1, 1,1 T a =，() 2 0,1,1 T a =，() 3 1,0, 1 T a = ， 则向量()2,1,3 T a = 在基 123 ,a a a下的坐标向量为 6. 设 A 与 200 030 003 相似，则 2 AE+的行列式 () 2 det AE+= 7. 球面 222 9xyz+=与平面1xz+=的交线在 OXY 面上的投影方程为 二.

16、 （8 分）求向量组() 1 1,0,0,1 T a =，() 2 0,1,1,0 T a =，() 3 2,3,3,2 T a =，() 4 2,1,2,0 T a =的秩 及一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示。 7 三. （12 分）设(), , T ux y z=，() 111 , T vx y z=，() ()() 222 , ,8f x y zk xyzxyyzzx=+ 1. 用正交变换=u Qv将(), ,f x y z化成的标准型 2. 若(), ,f x y z为正定二次型，求 k 的取值范围 四. （12 分）设矩阵 = 302 121 001 A 1.

17、 求出可逆矩阵 P，使 1 P AP 为对称阵，并写出此对称阵； 2. 计算 k A。 五. 单项选择题（每题 2 分，共 10 分） 。 1. 设二次多项式( )f x有下列行列式确定 ( ) 1123 1223 2315 2329 x f x x = 【第四排 9-x 的前面的 2 改成 1】 则( )0f x =的根为（ ） A. -1，2 B. -1，-2 C. 1，4 D. 1，-1 2. 设 n（n3）阶矩阵 A 的伴随矩阵0A，且 A 的行列式( )det0A =，则A，A的秩分 别为（ ） A. ( ) () 1,1r Anr An = B. ( ) () ,2r An r A

18、= C. ( ) () 1,1r Anr A= D. ( ) () 1,0r Anr A= 3. 下列说法正确的是（ ） 8 A. 若矩阵 AB 与 A 的秩相等，即()( )r ABr A=，则 B 可逆 B. 若矩阵 A 经初等行变换化为 B，则 A 的行向量组的极大无关组与 B 的行向量组的 极大无关组一一对应 C. 若矩阵 A 经初等行变换化为 B，则 A 的列向量组的极大无关组与 B 的列向量组的 极大无关组一一对应 D. 若矩阵 A 与 B 的秩相等，即( )( )r Ar B=，则 A 的行向量与 B 的行向量组等价 4. 已知 123 , 是0Ax =的基础解系，则此方程组的基

19、础解系还可选用（ ） A. 122331 , B. 与 123 , 等价的向量组 C. 与 123 , 等秩的向量组 D. 122331 , + 5. 设 A 是三阶方阵，将 A 的第一行和第二行对换得到的矩阵记为 B，再将 B 的第二行加到第三 行上得到矩阵 C，则满足 QA=C 的可逆矩阵 Q=（） 。 A. 010 101 001 B. 010 100 101 C. 100 030 002 D. 010 111 101 六. （8 分）设 A，B 均为 n 阶方阵，且ABAB=+，证明 1. AE，BE皆可逆； 2. ABBA= 七. （10 分）设 A 为 n 阶实矩阵，且有 n 个正

20、交的特征向量，证明： 1. A 为实对称矩阵； 2. 存在实数 k 及实对称矩阵 B，使得 2 =AkE B+。 2007 年试卷答案：年试卷答案： 一、填空题 1) 2 1 ()k2 2) 532 332 563 3) 、2(x-1)3(y-1)-4(z-1)=0 4、()()()0 231312 =bbbbbb 9 5、（0,1,-2） 6、500 7、 = =+ 0 822 22 z xyx 二、 123421 32, 33 0000 1000 1310 1201 2000 1000 1310 2201 0011 2310 1310 2201 += = 极大无关向量组为 即秩为r 【最后

21、的矩阵 右上角的1改为2】 【上方改为 213 32+=】 222 321 )8()4()4( 8, 4, 48(4)(| 84 444 004 44 44 044 44 44 44 84 444 004 44 44 004 44 44 44 zkykxkf kkkkkkAE k k k k k kk k k k AE k k k k k k k k k A += +=+=+= + + = + + = ） 三、 8 0324)4( 016 0 . 2 2 2 += k kkkA k k 10 + = = = = = = = = = = kk kkkkk k kkk PPAPPAAPP PPPP

22、 PxAE PxAE PxAE 3013 32232 001 101 110 001 3 2 1 101 110 001 , 3 2 1 )2( 101 110 001 , 1 1 0 000 110 001 002 111 002 , 0)( 0 1 0 000 100 001 302 101 001 , 0)( 1 0 1 000 010 111 000 111 202 202 111 000 , 0)( ) 1 ( 1 111 321 33 22 11 基础解系为 基础解系为 基础解系为 四、 六、CCCDB BAABEAABEAABA EBEAEEAEBEEBEA EBEAEEBEAE

23、BAAB =+=+ = =+ )()()(2 )(1 ）（ 可逆可逆，）七、（ 【上方连续减两个 A 是错误的、第二个 A 改成 B】 () () kEAPPBPPBPPB BPPPPP k k PB AEAP APPPPAPPA APPPA n TT T T += = + + = +=+ = = 12112 1 11 1 1 1 i 1 111 1 . . 0k0kkEk2 , n1 则 令 使的最小特征值为，设）（ 使得正交阵个正交特征向量有）八、（ 大连理工大学 11 课程名称：线性代数与解析几何 试卷：C 考试形式：闭卷 授课院（系） ：应用数学系 考试日期：2005 年 2 月 试卷

24、共 6 页 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 标准分 28 12 10 12 12 12 5 9 100 得 分 E 表示单位阵，( ),detAA表示 A 的行列式，( )r A表示 A 的秩，A表示 A 的伴随矩阵， T A表示 A 的转置矩阵。 一. 填空题（每题 4 分，共 28 分） 。 1. A 的行列式 1111 2345 491625 82764125 =_ 2. 过两点()4,0, 2和()5,1,7的直线的对称式方程为_ 3. 设向量组() 1 ,0,aac=，() 2 , ,0ab c=，() 3 0, ,aa b=线性无关，则 a，b，c 必满足关系式 _ 4. 向

25、量 1 3 0 在基 101 0 , 1 , 2 102 下的坐标为_ 5. 若 104 00 401 x 与 4 5 y 相似，则 x=_，y=_ 6. 若 4 4 2A = ，则A=_， 1 AA =_ 7. Oxy 面上的曲线 2 4yx=绕 x 轴旋转一周所形成的旋转面的方程为_ 二、单项选择题（每题 2 分，共 6 分） 。 1. 设 A，B 均为 2nn 型矩阵，在下列各项中只有（ ）正确 A. ,A B与,B A相似 B. ,A B与,B A的行列式相同 C. ,A B与,B A相合 D. ,A B与,B A的秩相同 2. 非齐次方程组Axb=有唯一解的充要条件是（ ） A. b

26、 能用 A 的列向量组线性表示 B. A 的列向量组是,A b的列向量组的极大无关组 C. ,A b的秩等于 A 的秩 D. 0Ax =有唯一解 12 3. 若 =0 m kk n AB，则 A 和 B（ ） A. 至少有一个矩阵的秩小于 k B. 至少有一个是零矩阵 C. 两个矩阵的秩都小于 k D. 至少有一个矩阵的秩等于 k 4. 若 A 为 n 阶对称负定阵，k 为正整数，则（ ） A. A 的行列式小于零 B. k A也负定 C. 1 A也负定 D. A也负定 5. 设向量，分别是矩阵 A 的对应于特征值，的特征向量，那么（ ） A. 若与线性相关，则 B. 若与线性无关，则 C.

27、若，则与线性无关 D. 若=，则与线性无关= 三、 （12 分）已知() 1 1, 1,2 T a =，() 2 .1, 2 T ak=【句号改为逗号】 ，() 3 2,1 T ak=，()1,8, 7 T = 1. k 为何值时，不能表示成 123 ,a a a的线性组合？ 2. k 为何值时，可由 123 ,a a a唯一地线性表示？ 3. k 为何值时，可由 123 ,a a a线性表示且表示式不唯一？写出此表达式 四、（10 分）求向量组 1 1,0,3,2 T a = ， 2 1, 1, 1,2 T a = ， 3 3,1,7,2 T a = ， 4 2, 2,9,7 T a = 的

28、秩 及一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 五、（12 分）设二次型() 222 , ,222222f x y zxyzxyxzyz=+，求二次型(), ,f x y z的正、负惯 性指数； 六、（12 分）设 410 131 014 A = ，求正交矩阵 T 和对角阵，使 1 TATA =【A 改为】 13 七、（5 分）已知向量组( ) 123 :,a a a，( ) 1234 :,a a a a，() 1235 :,a a a a，如果( )( )3rr=， ()4r=，确定() 12345 ,r a a a aa+，并说明理由。 八、（9 分） 设 n 元向量()1

29、,1,1 T a =， T Aaa=， 求 A 的特征值与特征向量. A 能否相似对角矩阵？ 若不能，说明理由；若能，求可逆矩阵 P，使 1 P AP = 2005 年答案年答案 一、填空题(1)12 (2) 42 119 xyz+ = (3)0abc (4) 2 5 1 (5)-4，3 (6)-8， 81 2 (7) 4x=y2+z2 二、选择题：DBACC += += = 92100 9210 121 93220 9210 121 7122 811 121 ,: 4321 k kk k k kk k k k BA三、 【改为 4 】 13):()()3 15 . 0010213):()()

30、2 5 . 0, 021):()() 1 = += = kBArAr kkkkBArAr kkBArAr 且且 )0(2;,3),( 0000 1000 2110 2311 5000 1000 2110 2311 3440 3220 2110 2311 7222 9713 2110 2311 , 42134214321 4321 aaaaaaaaaaar aaaa += = = = = ，极大线性无关组 四、 五、记(), ,f x y z=(x,y,z)TA(x,y,z) , 则 A= 211 221 112 【左侧矩阵第二行最后一个数改为 -1】 14 ()03 300 030 11 30

31、3 030 111 303 033 112 211 121 112 = = = = = AE 2 )3(改为 0q2p0, 3 32, 1 =，正负惯性指数分别为即 ()()() () = = = = = = = = 5 4 2 11 , 1 10, 1 000 101 010 -44 1 , 21 000 210 012 22 5 , 4, 2;0425 400 120 015 415 135 015 410 131 014 3213 2 1 对角阵，则正交矩阵，同理可求得 ，得时，当其值为 ，得时，当其值为 的三个值为 六、 T AE AE AE T T T ()() ( ) ()4, ,

32、3II, 3,4,53 543213215 321433221154 5432154321 =+ =+=+ =+ r r r 矛盾；线性表达可由 线性表达不由，知又则 若七、 相似对角矩阵为实对称阵，所以存在八、 nn T A = 1.1 1. 1.11 1.11 () () () () () () = = = = = = = = = 0 . 0 0 1.001 . 0.101 0.011 1.111 ,., 1, 0,.0, 1 0.0, 1, 0, 1 0.0, 0, 11 n 0.00 0.00 1.11 0 1.1 , 1 , 1n 1.11 1.11 1.11 0;0 21 1 3

33、2 .3,2 11 .3,21 1 n AP A n n n AEn nnAE n T n T T n T n n 则 ， 行行数也是时，当 行行数也是时，当 15 大连理工大学 课程名称：线性代数与解析几何 试卷：C 考试形式：闭卷 授课院（系） ：数学系 考试日期：2004 年 7 月 3 日 试卷共 6 页 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 标准分 24 13 12 12 7 10 10 12 100 得 分 一. 填空题（每题 4 分，共 24 分） 。 1. 1 231 110 100 = _ 2. 方程组 123 123 123 2 ?23 6 xxx xxx xxx += +

34、= += 的解为 1 2 3 _ _ _ x x x = = = 【第二行的问号和 x2删掉】 3. 方程组 123 123 30 0 xxx xxx += += 的基础解系为_ 4. 设0 x ，0y ，若 04 030 40 x x 与 500 00 003 y 相似，则 _ _ x y = = 5. 若 A 只有特征值-1 和 2，则 2 A的特征值只能是_，3A 的特征值为 _ 6. 若 1002 2301 3210 A = ，则 A 的列向量组线性_关，A 的行向量组线性_关 二. （13 分）当 k 和 m 满足什么条件时，方程组 123 123 123 21 24 23 xxx

35、xxkx xxxm = += += 1. 有唯一解；2. 无解；3. 有无穷多解，并求出此时的通解。 16 三. （12 分）设 122 21 21 Ak k = ，说明理由，回答下列各题： 1. k 为哪些值时，0Ax =有非零解？ 2. k 和正数 m 为何值时，mA是正交阵； 3. 和 k 为何值时，A 的特征值对应的特征向量为1,1,1 T p =？ 四. （12 分）设 320 230 002 A = ，求正交阵 Q 和对角阵，使得？ 1 Q AQ = 五. （7 分）说明理由，k 满足什么条件时，二次型()() 222 1231231213 ,22f x x xxxkxx xkx

36、x=+ 为正定二次型，否则不正定？【上面的除号改为加号】 六、 （12 分） 证明： 设和是 n 阶实对称阵 A 的特征值， 对应的特征向量分别为p和q， 若， 则p和q正交。 2004 年答案年答案 一、 （1） 001 011 131 （2）5，-2，-1 （3） 1 2 1 （4） 1，3（5）1，4；-3，6（6）相，无 【下方第三个矩阵第一行后两个数改为：-2；1】 二、 A= () 112111211023 21401420142 12301110031 k kkk mmkm + + + 当 r( A)=r(A)=3 时，有唯一解，3k 且1m 3k = 且 m1，当 r(A)r(

37、 A)时无解 当 r(A)=r( A)=+=+ =+=+ mmmkk kkkkkkk 17 2,12; 5, 0 12 12 221 )3(=+= kk k k 四、0= AE 123 =1=5=2， = = = = = 2 5 1 010 2/202/2 2/202 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 100 022 022 1 321 AQQQPPPP正交化 2/10 , 02 )(2)(),( 222)( 2 2 3 2 32 2 2 2 321321 2 3 2 323121 2 2 2 1 2 321 += +=+ kkk xkkxkxxkxxxxxxf xkxkxxkxxxxk

38、kxxx五、 ()（得证）得 ；将转置同理 由可得 六、 0pp0: ppqpqp p;, , = = = = TT TTTT TTTTTTT T qq qAqA pqAqqAqqAq AAqAqpAp 大连理工大学 课程名称：线性代数与解析几何 试卷：A 考试形式：闭卷 授课院（系） ：应用数学系 考试日期：2009 年 1 月 9 日 试卷共 6 页 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 标准分 8 5 8 15 14 30 10 10 100 得 分 E 表示单位阵，A表示 A 的行列式，( )r A表示 A 的秩， 1 A表示 A 的逆阵， T A表示 A 的转置，( )tr A表示

39、A 的迹。 一. （8 分）求向量组 1 1 1 1 2 a = ， 2 2 2 2 4 a = ， 3 1 1 3 2 a = ， 4 1 3 1 6 a = 的秩，一个极大无关组，并 18 用所求极大无关组线性表示其余向量。 二. （5 分）设 10 30 00 b Ab b = 为正定阵，试确定 b 的取值范围。 三. （8 分）设 111 144 013 A = ， 12 21 13 C = ，并且2ABBC=+，求矩阵 B。 四. （14 分）已知二次型() 123122313 ,222f x x xx xx xx x=+ 求正交变换IQy=将该二次型化为标准形，并写出相应的标准形。

40、 五. 填空题（每题 3 分，共 30 分） 。 1. 设矩阵 123 012 011 A = ，A为 A 的伴随矩阵，则( ) 1 A = 2. 已知四阶矩阵 A 的行列式等于 2，则() () 1 det2AA = 3. 设 122 212 304 A = ，1 1 k a = ，a 是 A 的特征向量，则 k= 19 4. 已知 22 2 A k = ，若aA为正交矩阵，则 a= ，k= 5. 设 A 是 43 型矩阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得到 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列上得 到 C，那么满足 A=CQ 的可逆矩阵 Q 可取为 6. 已知 11 031 21

41、3 x A = 的特征值为 12 2=， 3 4=，则 x= ， 且 A 对角化（选填可以或不可以） 。 7. 设向量组 1 1,1, 1 T a =， 2 1,1,1 T a = 是向量空间 V 的一个基底，基底 1 b， 2 b到 1 a， 2 a的 过渡矩阵为 13 12 ，则 1 b = ， 2 b = 8. 已知 m3 型的非零矩阵 A 的列向量组 1 a， 2 a， 3 a满足 123 0aaa+=，且 12 baa= +， 13 4baa=，则Axb=的通解为 六. 单项选择题（每题 2 分，共 10 分） 。 1. 已知 A，B 分别为 m4 和 n4 型的矩阵，且()=0AB

42、 x只有零解，则（ ） A. ()min,4m n B. ()min,4mn C. ()max,4m n D. ()max,4nm 2. 设 123 ,a a a线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ） A. 122331 ,aa aa aa+ B. 122331 ,aa aa aa C. 122331 ,aa aa aa+ D. 122331 ,aa aa aa+ 3. 设 A 是非零方阵，满足 3 0A =，则（ ） A. EA和EA+都可逆 B. EA可逆，而EA+不可逆 C. EA和EA+都不可逆 D. EA不可逆，而EA+可逆 4. 下列叙述不正确的是（ ） A. 若 A 和 B 相

43、合，则0AB B. 设 A，B 为同阶对称阵，若 AB 为对称阵，则 AB=BA C. 若 mn 型矩阵 A 的列向量组线性无关，则其行向量也线性无关 D. 若 A，B 为同阶方阵，则ABBA= 20 5. 设 2222 1111 Aabcd abcd = ，是三元列向量，若 a，b，c，d 互异，则（ ） A. 0Ax =只有零解 B. 0 T AA x =有非零解 C. T AA x=有唯一解 D. T AA x=有无穷多解 七. （共 10 分） 1. 设 12 , x v vv为齐次方程组0Ax =的基础解系， 12 , x v vv可由 12 , x u uu线性表示，证明 12 , x u uu也是0Ax =的基础解系。 2. 设() 12 , n f x xx为 n 元实二次型，若对任意非零 n 元实向量 12 , T n