孙训方材料力学06简单的超静定问题

1、第六章,简单的超静定问题,2,第六章 简单的超静定问题,6-1 超静定问题及其解法,6-2 拉压超静定问题,6-3 扭转超静定问题,6-4 简单超静定梁,未知力数：,2个,独立方程数：,2个,仅用静力平衡方程就能求出全部未知力的问题称为静定问题，相应的结构称为静定结构。,第六章 简单的超静定问题,. 静定与超静定,6-1 超静定问题及其解法,未知力数：,3个,独立方程数：,2个,仅靠静力平衡方程不能求出全部约束反力和内力的问题称为超静定问题，相应的结构称为超静定结构。,第六章 简单的超静定问题,一次超静定问题,超静定次数(n)：未知力数超过独立平衡方程数的数目,n = 未知力的个数 独立平衡方

2、程的数目,一次超静定问题,第六章 简单的超静定问题,6,. 解超静定问题的基本思路,求解超静定问题，必须寻找补充方程，补充方程的数目等于多余未知力的数目。,超静定解法：,第六章 简单的超静定问题,7,补充方程为,于是可求出多余未知力FC。,变形相容条件Cq+CFC=0,超静定梁,基本静定系 或相当系统,第六章 简单的超静定问题,(1) 判断超静定次数：去掉多余约束，画上相应约束反力建立基本静定系。 (2) 列平衡方程: 在已知主动力，未知约束反力及多余约束反力共同作用下； (3) 列几何方程：根据变形相容条件； (4) 列物理方程：变形与力的关系； (5) 组成补充方程：物理方程代入几何方程即

3、得。,求解超静定问题的步骤,第六章 简单的超静定问题,思考 两端固定的阶梯杆如图所示，横截面面积 ，受轴向载荷P后，其轴力图是（ ）。,答案：,C,6-2 拉压超静定问题,. 拉压超静定问题的解法,10,例6-1 设 1、2、3 三杆用绞链连结，如图所示,l1 = l2 = l，A1 = A2 = A，E1 = E2 = E ，3杆的长度 l3 ,横截面积 A3 ,弹性模量E3 .试求在沿铅垂方向的外力 F 作用下各杆的轴力.,第六章 简单的超静定问题,解：,（1）判断超静定次数,结构为一次超静定。,（2）列平衡方程,第六章 简单的超静定问题,（3）列几何方程,变形后A点将沿铅垂方向下移。变形

4、相容条件是变形后三杆仍铰接在一起,变形几何方程为：, ,第六章 简单的超静定问题,（5）补充方程,（4）列物理方程, ,第六章 简单的超静定问题,(6) 联立平衡方程与补充方程求解,【练习】图示平行杆系1、2、3 悬吊着刚性横梁AB，在横梁上作用荷载F。各杆的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A、l、E。试求三杆的轴力 FN1、FN2、FN3。,（2）列平衡方程,这是一次超静定问题,解：（1）判断超静定次数,（3）列几何方程,（4）列物理关系,（5） 补充方程,（6）联立平衡方程与补充方程求解,杆系装配好后，各杆将处于A位置，因而产生轴力。 3杆的轴力为拉力，1、 2杆的轴力为压力。这种附加

5、的内力就称为装配内力，与之对应的应力称为装配应力。,. 装配应力,杆3的伸长, 装配后A点的位移,杆1或杆2的缩短,（1） 平衡方程,（2）变形几何方程,（3）物理关系,（4）补充方程,（5）联立平衡方程与补充方程求解,得：,例6-3 两铸件用两根钢杆 1、 2 连接。其间距为 l =200mm。现将制造长了e=0.11mm的铜杆 3 装入铸件之间，并保持三根杆的轴线平行且等间距 a，试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径 d=10mm，铜杆横截面面积为2030mm的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa。铸件很厚，其变形可略去不计，故可看作刚体。,杆件1、2伸长，

6、杆件3缩短。,（1）变形几何方程为,（3）补充方程,（4）平衡方程,（2）物理关系,联立平衡方程与补充方程求解，即可得装配内力，进而求出装配应力。,. 温度应力,温度变化将引起物体的膨胀或收缩。静定结构可以自由变形，不会引起构件的内力，但超静定结构中变形将受到部分或全部约束，温度变化时往往就要引起内力，即温度内力。与之相对应的应力称为温度应力或热应力。,【例】 图示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结。设两支承的距离(即杆长)为 l，杆的横截面面积为 A，材料的弹性模量为 E，线膨胀系数为 。试求温度升高 T 时杆内的温度应力。,解: 这是一次超静定问题,变形相容条件：杆的长度不变,杆的变形

7、为两部分：,lT 温度升高引起的变形,lF 轴向压力FR相应的 弹性变形,（1）变形几何方程,（3）补充方程,（4）温度内力,（2）物理关系,由此得温度应力,讨 论,装配内力与温度应力对工程的不利影响与有益应用？,课后练习：,205页 习题 6-1 206页 习题 6-3 、6-7、 6-8、 6-10,第六章 简单的超静定问题,32,6-3 扭转超静定问题,例 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的约束力偶矩。,第六章 简单的超静定问题,（1）平衡方程,（2）变形相容条件,解：,（3）物理条件,（4）补充方程,得：,思考,答案：,例

8、 如图所示组合圆杆，是由材料不同的实心圆杆和空心圆杆牢固地套在一起而组成，左端固定，右端受外力偶矩Me作用。实心圆杆的直径为d，切变模量为G1；空心圆杆的内外径分别为d及D，切变模量为G2。试求两杆横截面上的扭矩。,解：,（1）平衡方程,两杆牢固地套在一起，则其单位长度扭转角相同，,（3）物理关系,（4）补充方程,得,（2）几何方程,37,6-4 简单超静定梁,第六章 简单的超静定问题,例 绘图示超静定梁的剪力和弯矩图。已知EI为常量。,解：(1)解除B端约束，加上约束反力FB，得到相当结构。,(2) 位移协调方程：,相当系统,(3) 物理关系,(4) 补充方程并求解,(5) 绘剪力、弯矩图,

9、相当系统,解法二：,解除A端限制转动的约束，使A端变为固定铰支座，取简支梁为基本静定系。,例 求图示超静定梁的支反力，并绘其梁的剪力和弯矩图。已知EI为常量。,解：基本结构的选取,取法1：解除C 端支座，取外伸梁为基本结构；,取法2：解除B 端支座，取简支梁为基本结构；,取法3：解除B处阻止其左、右两侧截面相对转动的约束，即B截面处为一铰链，基本结构为简支梁AB 和简支梁BC。,44,解：,多余反力为分别作用于 简支梁AB 和 BC 的B端 处的一对弯矩 MB.,变形相容条件为，简支梁AB的B 截面转角和BC梁B 截面的转角相等.,45,由表中查得:,46,补充方程为:,解得:,负号表示B 截面弯矩与假设相反.,47,由基本静定系的平衡方程 可求得其余反力,在基本静定系上绘出剪力图