高三数学第三章导数总结

1、第三章 导数目录一本章知识结构二学习内容与要求（一）学习目标：（二）本章知识精要（1）导数的概念（2）常见函数的导数 （3）导数的运算 （4）函数的单调性（5）函数的极值 （6）函数的最大值与最小值三学习方法与指导（一）学习方法点拨 1导数的概念： 2曲线的切线3导数运算4函数的单调性5可导函数的极值6函数的最大值与最小值（二）典型例题讲解1导数的概念2几种常见函数的导数3函数和、差、积、商的导数4复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数5函数的单调性和极值6函数的最大值和最小值（三）能力培养与测试参考答案四2004年全国各地高考数学卷导数应用题型集锦一本章知识结构导数的概念导数的运算函数导数

2、的四则运算几种常见函数的导数函数的单调性函数的极值函数的最大值与最小值实际应用复合函数的导数二学习内容与要求（一）学习目标：（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。 （2）熟记函数y=c (c为常数)，y=xm，y=sinx，y=cosx，y=ex，y=ax，y=lnx，y=logax的导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数；（3）会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系；掌握函数极值的定义，了解可导函数的极值点的必要条件与充分条件，会求一些实

3、际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。（二）本章知识精要（1）导数的概念：1导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量x，函数y相应有增量y=f(x0+x)f(x0)，若极限存在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f (x0)，或y|；2导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，就说y=f(x)在区间(a，b)内可导即对于开区间(a，b)内每一个确定的x0值，都相对应着一个确定的导数f (x0)，这样在开区间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内的导函数简称导数记作f (x)或y.即f (x)=y=。3导数的几何

4、意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0)处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线斜率为kf (x0)函数 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程为 yy0=f (x0)(xx0)函数y=f(x)在点P(x0，f(x0)处的法线方程为yy0(xx0)或xx0.（2）常见函数的导数：(c)=0, (c为常数)；(xm)=mx；(sinx)=cosx；(cosx)=sinx；(ex)=ex；(ax)=axlna；(lnx)=；(ligax)=.（3）导数的运算：1函数的和或差的导数法则：两个函数的和或差的导数，等

5、于两个函数的导数的和或差，即(uv)uv.2函数的积的导教 法则：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 (uv)uv+vu. 3函数的商的导。法则：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方即()= (v0)。4复合函数的导数法则：设函数ug(x)在点x处有导数uxg(x)，函数f(u)在点x处的u处有导数yu=f (u)；则复合函数y=f(x)在点x处也有导数，且 yxyuux，也可简述为：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。（4）函数的单调性设

6、函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f ( x)0时，则函数y=f( x)为增函数；如果f (x)0，右侧f (x)0，那么f(x0)是极大值； 如果在x0附近的左侧f (x)0，那么f(x0)是极小值（6）函数的最大值与最小值1定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区向(或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小值记为m.2存在性：在闭区间a，b上连续函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值3求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间a，b上最值求法： 求出f(x)在(a，b)内的极值； 将函数f(x)的极值与f(a)，f(b

7、)比较，其中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值.三学习方法与指导（一）学习方法点拨1导数的概念：设f(x)在点x=x0 附近有定义，若极限存在，则称其为f(x)在点x=x0处的导数f (x0)可以证明这一结论与教科书上的导数定义是等价的另外，若，且存在a的邻域（，），当x(, x0)(x0, )时，有g(x)0，则，又若，且存在a的邻域(，)，当x(, x0)(x0, )时，有g(x)x0，则. 设f(x)= 那么g(a)=h(a)=A，且为f(x)在点xa处可导的充要条件，此时f (a)B由此可知，若分段函数f(x)的表达式中的g(x)、h(x)可分别看做含有a的区间(，)上的函数，且g

8、(a)h(a)，g(a)=h(a)，则f(x)在点x=a处可导；且有f (a)=g(a)h(a)2曲线的切线： 设曲线S：y=f(x)，若f (x0)存在，则S在点P(x0，f(x0)处的切线方程为 l：yf(x0)f(x0)(xx0) 可见l的方程被x0所唯一确定；若f(x)在区间(，)内可导，则当点x0在(，)内变动时，点P(x0，f(x0)在S上变动，而l“贴着”曲线S转动所以要求具有某种性质的切线，可转化为这种性质对点x0的要求，解出x0，即可求出对应的切线方程 应当了解可能一曲线在某点处不可导；但在这一点的切线还是存在的，例如曲线y=在点x0处不可导，但在原点处有切线x0 3导数运算

9、 要熟练掌握基本导数公式以及函数的和、差、积、商的求导法则 对复合函数求导法则，应首先搞清楚函数的复合过程，方法是研究运算顺序，例如给定函数yln(sinex)，所谓运算顺序是指对自变量x，应先计算u=ex，再计算v=sinu，最后算出ylnv，然后倒过来即得复合过程ylnv，v=sinu，uex，从而有y= 对复合函数求导法则的掌握，要熟练到可以不写出复合过程而直接写出求导结果 4函数的单调性 应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数 f(x)在区间I上可导，那么f (x) 0是f(x)为增函数

10、的充分条件，例如f(x)=x3是定义于R的增函数，但f (0)=0，这说明f (x)0非必要条件 我们也可利用导数来证明一些不等式如f(x)、g(x)均在a、b上连续，(a，b)上可导，那么令h(x)f(x)g(x)，则h(x)也在a，b上连续，且在(a，b)上可导，若对任何x(a，b)有 h(x)0且 h(a)0，则当x(a，b)时 h(x)h(a)=0，从而f(x)g(x)对所有x(a，b)成立 5可导函数的极值 从函数的极值定义看，极值的存在与可微性无必然联系如f(x)=|x1|，易见当x=1时f(x)取得极小值，但f (1)不存在所以用研究导数的方法探求函数的极值，实际上是将研究的范围

11、局限于可导函数 对可导函数f(x)，在x=x0取极值的必要条件是f(x0)0又设f(x)在点x=x0处取得极小值，是否一定存在x0的邻域(，)，使当x(，x0)时f (x)0，答案是否定的，即f (x)在x0的“左侧附近”为负，且在x0“右侧附近”为正仅是f(x0)为极小值的充分条件，为说明这一情况，我们考察函数f(x)=，由于,故有， 即f(x)在R上可导又当x0时f(x)0，而f(0)=0，故当x0时f(x)取得极小值0，但对任何0，又对任何0，总可取到充分大的kZ，使x2=(0，)，且f (x2)=0， sinax=1，ax=2k+ (kZ), x=，设曲线交点(x0, y0)， 即x0

12、=.又两曲线y1=f(x)，y1=f (x)，y1=f(x)sinax，y2=f (x)sinax+acosxf(x) , , k1=k2，即两曲线在公共点处相切.例9已知直线ykx与曲线yx33x22x相切，求k的值解析：由y=3x26x+2=k, 又由kx=x33x2+2x， 3x36x2+2x=x33x2+2x, 即2x33x20得x10或x2= k2或4复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数例1函数y(sinx2)是由函数y ，u ，v= 三个函数复合而成解析：答案分别为：y=u, u=sinv. v=x2.例2求下列函数的导数： y=(x2+2x)3； y=； y=； y(sinx

13、2)； yln(x)； yx3lig3x； y=； y=xn, (xR+, nR). 解析： y=(x2+2x)3， y=3(x2+2x)2(2x+2)=6(x+1)(x2+2x)2. y=, y= (8x)=8x. y=, y=(2ax+b). y=(sinx2), y=cosx22x=. yln(x), y=. yx3lig3x, y=3x2lig3x+x3lig3e=3x2lig3x+x2lig3e=x2lig3(ex3). y=, y=. y=xn=, y=nxn=. 说明：本例集中训练常见函数求导公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导法则等，这些要反复熟记例3求函数f(x)=的导数

14、。解析：f (x)= , f (x)= 例4若f(x)=xln(x5)，g(x)ln(x1),解不等式f (x)g(x).解析：f (x)=1+, g(x)=, 由f (x)g(x)，有1+, 即, x5或x5, 所以，不等式f (x)g(x)的解集为(5，). 说明：求导数有关问题时还要注意原函数定义域例5证明：可导奇函数的导数是偶函数。 解析： 法一：定义法： 设f(x)为可导奇函数，则f(x)f(x), f (x)=f (x). 即f (x)=f (x)导函数为偶函数. 法二：复合函数求导法： 设f(x)为可导奇函数，则f(x)f(x)，两边对x求导 得：f (x)=f (x) 即 f

15、(x)f ( x), f (x)f (x) f (x)为偶函数，即命题成立 同理可证：可导偶函数的导数是奇函数例6石头落在平静水面上，产生同心波纹，若最外一圈波半径增大速度总是am/s，问在b秒末波扰动水面积的增大速度是多少？ 解析：设b秒末最外一圈波纹的半径为R，则R=ab, SR2，又 Ra， S|R=ab=2RR(t)|R=ab=2a2b. 即b秒末波扰动水面积的增大率为2a2b m2/s.例7将水注入锥形容器中，其速度为4米3/分，设锥形容器的高为8米，顶口直径为6米，求当水深为5米时，水面上升的速度(如图)解析：设注入水t分钟后，水深为h米，由相似三角形对应过之比可得水面直径为h米，

16、这时水的体积温V=(h)2h=，由于水面高度h随时间t而变化，因此h是t的函数hh(t)，由此可得水的体积关于时间t的导数为VtVhht， Vt=， 由假设，注水的速度为 4米3分 Vt=4, 即ht=, 当h5米时，水面上升的速度为h|h=5=(米/分).5函数的单调性和极值1求函数yexx1的单调区间解析：y=(exx+1)=ex1, 由ex10得x0，即函数在(0, +)上为增函数；由ex10得x0， f(x)在(0，1)上递增；当x(1，2)时，y0，得x, 即y=f(x)在(,)内是单调递增；同理，由y0，得0x或x2， y=f(x) 在(0, )和(, 2)内都是单调递减。例4设f

17、(x) (a0)，求a的范围，使函数f(x)在(0，)上是单调函数解析：f (x)=，当x(0, +)时，01, a0，且f(x)在(0，)上是单调函数，则必有f (x)0, x, 又函数在(0, 1)上都有意义， 1， a2, y=， 由y0，得，若 0a1, 则 lga0，则x2与定义域x(0, 1)矛盾， 只有a1，此时lga0, 0, x2, 10时，f (x) =0, 即f(x)在(0，)上是递减函数，又当x0时，f(0)0 f(x)f(0), 即0时，g(x)O， g(x)也为减函数，又当x0时，g(x)0， g(x)g(0). ln( 1x)x0即ln(1x)x. 例7右图是函数

18、yx3x25x5的图象，试结合图形说明函数的极值情况：解析：f (x)=3x2+2x5=(3x+5)(x1),令f (x)=0, 得x1=, x2=1， x=和x1是f(x)可能的极值点，又由图象可以看出，f()比它临近点的函数值大，f(1)比它临近点的函数值要小， f()，f(1)分别是函数的极大值和极小值，除此之外，没有其它极值点例8设函数f(x)ax3bx2cx，在x1与x1处有极值，且f(1)1，求f(x)表达式.解析： f(x)ax3bx2cx， f (x)=3ax2+2bx+c, x(, +)，由已加f(x)在x=一1与x1时有极值 f (1)f (1)0， 又f(1)1， ，解得

19、 a=, b=0, c=. f(x)=x3x.例9已知f(x)=x2c，且g(x)=ff(x)=f(x21)，设(x)g(x)f(x)，问：是否存在实数，使(x)在(，1)上是减函数，并且在(1，0)上是增函数解析：由ff(x)f( x21)得 (x2c)2c(x21)21，得c1， (x)g(x)f(x)x4(2)x2(2)是连续函数，(x)2x(2x22)由(x)在(，1)上是减函数，且在(1，0)上是增函数， (x)|x=1=(1)=0， =4，即存在实数4，使(x)满足条件说明：本题若用函数单调性定义太繁！6函数的最大值和最小值例1求函数f(x)5x2的值域.解析：由得f(x)的定义域

20、为3x4，原问题转化为求f(x)在区间3, 4上的最值问题。 yf (x), 在3，4上f (x)0恒成立, f(x)在3，4上单调递增 当x3时ymin15， 当x=4时ymax=202， 函数的值域为15，202.例2设af(a)，f(1)0， f(x)的最大值为f(0)b1， 又f(1)f(a)=(a33a2)=(a+1)2(a)0， f(x)|min=f(1)， a1+b=a=, a=，b=1.例3若函数f(x)在0，a上单调递增且可导，f(x)0， f(x)0，f (x)xf(x)0， 0， 在(0，a上是增函数。 在(0，a上最大值为例4设g(y)1x24 xy3y4在y1，0上最

21、大值为f(x)，xR， 求f(x)表达式； 求f(x)最大值。解析：g(y)=4y2(y3x), y1, 0，当x0时，g(y)0， g(y)在1, 0上递增, f(x)=g(0)=1x2.当x0，在1，3x上恒成立，在(3x，0)上恒成立， f(x)=g(3x)=1x2+27x4.当x时，g(y)，g(y)在1，0上递减, f(x)=g(1)=x24x, f(x)=. 当x0时，f(x)f(0)=1， 当x(，0)时，f(x)=27(x)2+1f()=, 当x时， f(x)( x2)24f(2)4, 1 4， f(x)|maxf(2)4.例5设函数f( x)3x2+ (x(0，)，求正数a的

22、范围，使对任意的x(0，)，都有不等式f(x)20成立。解析：f (x)6x，令f (x)=0得 x， 当0x 时f (x)0， x是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点. 要使f(x)20恒成立， f(x)|min20, , 解得a64.例6圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？解析：设圆柱的高为h，底面半径为R，则S=2Rh+2R2， h=, V(R)S底面h=, 由V(R)=0得S3R2=0得S=6R2， 6R2=2Rh+2R2， h=2R，即当罐的高和底面直径相等时容积最大例7已知三次函数f(x)=x(xa)(xb)，其中0ab （1）设f(x)在xs及x=t处取最值

23、，其中st，求证：0satb； （2）设A(s，f(s)，B(t，f(t)，求证：AB中点C在曲线yf(x)上； （3）若ab2，求证：过原点且与曲线yf(x)相切的两直线不可能垂直。 解析：（1）f (x)3x22(ab)x+ab， 由f(x)在xs和xt处取最值， s，t分别是方程f (x)0的两实根 f (0)=ab0，f (a)3a22(ab)a+ab=a(ab)0， f (x)0在(0，a)及(a，b)内分别有一个实根， s0，a+b(ab)22ab=(ab1)211 k1k21，即两切线不可能垂直。（三）能力培养与测试一、选择题1已知f (x0)存在，则在下列式子中，等于f (x0

24、)的有（ ） ； ； ； （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2若f(x)在点x=x0处不连续，则f(x)在点x=x0处（ ） （A）必不可导 （B）一定可导 （C）可能可导 （D）无极限3若f(x)在点x=0处可导，则f(|x|)在点。x0处（ ）（A）连续且可导 （B）连续但不一定可导（C）一定不可导 （D）不一定连续4设f(x)=x|x|，则f (0)的值为（ ） （A）0 （B）1 （C）1 （ D）不存在5已知函数f(x)满足，其中常数m，nN+，mn，则f (x0)（ ） （A）等于（(mn)A （B）等于(mn)A （C）等于 （D）可能不存在6若f(x)为(1，1)上的可导

25、奇函数，且f(x)不恒为常数，则f (x)（ ） （A）必为(1，1)上的奇函数 （B）必为(1，1)上的偶函数 （C）可能是奇函数，也可能是偶函数 （D）可能没有奇偶性。7f(x)3x55x3，则为减函数的区间是（ ） （A）(1，0）（B）(0，1) （C）(1，0)(0，1) （D）(1，1)8若y=f(x)在R上连续，在点xx0处f (x)0，在点xx1处f (x)不存在，则下述命题中正确的是（ ）（A）x=x0及xx1一定都是极值点 （B）只有xx0是极值点（C）x=x0与xx1可能都不是极值点（D）xx0与xx1中至少有一个是极值点9已知函数f(x)x(xc)3在点x2处有极大值，

26、则常数c的值是（ ） （A）2或6 （B）2 （C）6 （D）非以上结论10设 x，yR满足 x2，y3，且 xy3，则z4x2y2的最大值为（ ） （A）24 （B）27 （C）33 （D）45二、填空题：11已知f(x)可导，f(1)3，f (1)3，则 。12曲线yx23x1的平行于直线3xy=6的切线方程是 13已知函数f(x)在R上可导，函数F(x)f(x24)f( 4x2)，则F(2) .14已知人=x2x1，则f (1) 15设f(x)= 且f(x)在R上可导，则a= ，b 三、解答题16已知f(x)是关于x的多项式，且f (x)f(x)f (x)f(x)2x32x21，求f(x

27、)的解析式17设曲线y=x3+ax+b与二直线l1：y2(x1)及 l2：y2(x1)均相切，求常数a、b的值18已知f(x)x3+ax2bxa2，当x1时有极值10，求a、b19设x0，证明：x sinx x.20设x0，求lnx(x1)+(x1)3的最小值参考答案四2004年全国各地高考数学卷导数应用题型集锦1（全国卷10）函数y=xcosxsinx在下面哪个区间内是增函数（ B ） A () B (,2) C () D (2,3)2(天津卷9)函数)为增函数的区间是（ C ）(A) (B) (C) (D)3（浙江卷11）设f (x)是函数f(x)的导函数，y=f (x)的图象如右图所示，

28、则y=f(x)的图象最有可能的是（ C ） （A） （B） （C） （D）4（广东卷3）设函数在处连续，则（ C ）(A)(B)(C)(D)5（江苏卷10）函数在闭区间3，0上的最大值、最小值分别是 ( C )（A）1，1 （B）1，17 （C）3，17 （D）9，196（全国卷22）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)x, g(x)=xlnx,(I)求函数f(x)的最大值；(II)设0ab,证明0g(a)+g(b)2g()(ba)ln2.解答：本小题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力，满分14分. （I）解：函数的定义域为.

29、令 当 当 又 故当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0. （II）证法一： 由（I）结论知由题设 因此 所以 又综上 证法二：设 则 当 在此内为减函数.当上为增函数.从而，当有极小值因此 即 设 则 当 因此上为减函数.因为 即 7（天津卷20）（本小题满分12分） 已知函数在处取得极值。(I)讨论和是函数的极大值还是极小值；(II)过点作曲线的切线，求此切线方程。 解答：本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力。满分12分. （1）解：，依题意，即 解得. . 令，得.若，则，故在上是增函数，在上是增函数.若，则，故在上是减函

30、数.所以，是极大值；是极小值.（2）解：曲线方程为，点不在曲线上.设切点为，则点M的坐标满足.因，故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有化简得，解得.所以，切点为，切线方程为.8（广东卷19）本小题12分设函数，(I) 证明：当且时，(II) 点（0x01）在曲线上，求曲线上在点处的切线与轴，轴正向所围成的三角形面积的表达式。（用表示）解答：证明：（I）故f(x)在（0，1上是减函数，而在（1，+）上是增函数，由0ab且f(a)=f(b)得0a1b和故（II）0x1时，曲线y=f(x)在点P（x0，y0）处的切线方程为：切线与x轴、y轴正向的交点为).故所求三角形面积听表达式为：9（广东卷21）本小题12分。设函数，其中常数为整