电磁场与电磁波试题资料

1、1 2 I 1 I 1 l l 电磁场与电磁波自测试题电磁场与电磁波自测试题 1.介电常数为的均匀线性介质中，电荷的分布为( )r v ，则空间任一点E= v _,D= v _。 2./ ； 1.线电流 1 I与 2 I垂直穿过纸面，如图所示。已知 1 1IA=， 试问 1 . l H dl= v _； 若.0 l H dl= v ， 则 2 I=_。 2.1；1A 1.镜像法是用等效的代替原来场问题的边界，该方法的理论依据是_。 2.镜像电荷；唯一性定理 1.在导电媒质中， 电磁波的相速随频率改变的现象称为_，这样的媒质又称为 _。 2.色散；色散媒质 1. 已知自由空间一均匀平面波， 其磁

2、场强度为 0cos( ) y He Htx=+ v v ，则电场强度的方向 为_，能流密度的方向为_。 2. z e v ； x ev 1.矩形波导只能传输_模和_模的电磁波。 2. TM；TE 10、评分细则每空2分 1.传输线的工作状态有_、_、_三种，其中_ 2 状态不传递电磁能量。 2.行波；驻波；混合波；驻波 1. 谐振腔品质因素Q的定义为_，它是有关谐振腔_的量度。 2. l W Q P =；频率响应 1.均匀无耗传输线的输入阻抗Zin=_。当终端短路时输入阻抗为Zins=_。 2. 0 0 0 tan() tan() L L ZjZz Z ZjZz + + ； 0tan( )jZ

3、z 1.真空中有一边长为的正六角 形，六个顶点 都放有点电荷。则在图示两种情形下，在六角 形中心点处的场强大小为图中 _；图中 _。 2.； 1.平行板空气电容器中，电位(其中a、b、c与d为常数)，则电 场强度_，电荷体密度_。 2.； 1. 在静电场中，位于原点处的电荷场中的电场强度线是一族以原点为中心的 _ 线，等位线为一族_。 2.射 ；同心圆 1.损耗媒质中的平面波,其传播系数可表示为_的复数形式，其中表 示衰减的为 _。 2.； 3 1.在无损耗传输线上， 任一点的输入功率都_，并且等于_所得到的 功率。 2.相同；负载 1.在静电场中，线性介质是指介质的参数不随_而改变，各向 同

4、性的线性 介质是指介质的特性不随_而变化的线性介质。 2.场量的量值变化；场的方向变化 1.对于只有个带电导体的静电场系统，取其中的一个导体为参考点，其静电能量可表示 成，这里号导体上的电位是指_的电荷在号导体上引起的电 位，因此计算的结果表示的是静电场的_能量的总和。 2.所有带电导体；自有和互有 1.请用国际单位制填写下列物理量的单位 磁场力_，磁导率_。 2.N；H/mH/mH/mH/m 1.分离变量法在解三维偏微分方程时，其第一步是令 _，代入方程后将得到_个_方程。 2.；,常微分。 1.用差分法时求解以位函数为待求量的边值问题,用_阶有限差分近似表示处的 ， 设，则正确的差分格式是

5、_。 2.一； 4 1. 在 电 导 率 3 10/s m=、 介 电 常 数的 导 电 媒 质 中 ， 已 知 电 场 强 度 ，则 在时 刻 ，媒 质 中 的 传 导 电 流 密 度 _、位移电流密度_ 2. 22 1.41 10/A m ； 1.无损耗均匀传输线上，电压和电流 分别满足的波动方程为_和 _。 2.； 1.终端开路的无损耗传输线上，距离终端 _处为电流波的 波腹；距离 终端_处为电流波的波节。 2.； 1.镜像法的理论根据是_。镜像法的基本思想是用集中的镜像电荷 代替_的分布。 2.场的唯一性定理；未知电荷 1.请采用国际单位制填写下列物理量的单位电感_,磁通_。 2.H；

6、Wb 1.若两个相互靠近的线圈间插入一块无限大铁板，则两线圈各自的自感将_,互感将 _。（填写增大或减小)。 2.增大；减小 1.在平行平面场中， 磁感应强度的各分量,与磁位的关系是_， _。 5 2.； 1.静态场中第一类边值问题是已知整个边界上_，其数学表达式为 _。 2.位函数的值； 1.坡印廷矢量，它的方向表示_ 的传输方向，它的大小表示单位 时间通过与能流方向相垂直的_电磁能量。 2.电磁能量；单位面积的 1.损耗媒质中其电场强度振幅和磁场强度振幅以_，因子随增大而_。 2.；减小 1.所谓均匀平面波是指等相位面为_，且在等相位面上各点的场强_的电磁波。 2.平面；相等 1.设媒质1

7、介电常数） 与媒质2 （介电常数为）分界面上存在自由电荷面密度，试 用电位函数写出其分界面上的边界条件_和_。 2.； 1.图示填有两层介质的平行板电容器， 设两极板上半部分的面积为， 下 半部分的面积为，板间距离为，两层介质的介电常数分别为与。介 质分界面垂直于两极板。 若忽略端部的边缘效应， 则此平行板电容器的电容应 为_。 2. 1.用以处理不同的物理场的类比法，是指当描述场的数学方式具有相似的_ 和相似 的_，则它们的解答在形式上必完全相似，因而在理论计算时，可以把某一种场的分 析计算结果,推广到另一种场中去。 6 2.微分方程；边界条件 1.电荷分布在有限区域的无界静电场问题中， 对

8、场域无穷远处的边界条件可表示为 _，即位函数在无限远处的取值为_。 2.有限值； 1.损耗媒质中的平面波，其电场强度，其中称为_，称为 _。 2.衰减系数；相位系数 1.在自由空间中， 均匀平面波等相位面的传播速度等于_，电磁波能量传播速度等于 _。 2.光速；光速 1.均匀平面波的电场和磁场除了与时间有关外，对于空间的坐标，仅与_的坐标有 关。均匀平面波的等相位面和_方向垂直。 2.传播方向；传播 1.在无限大真空中，一个点电荷所受其余多个点电荷对它的作用力，可根据 _定 律和_ 原理求得。 2.库仑；叠加 1. 真空中一半径为a的圆球形空间内，分布有体密度为的均匀电荷，则圆球内任一点的电场

9、强 度 1 E= v _() r e ra v 。 2. 0 /3r； 22 0 /3ar； 1.镜像法的关键是要确定镜像电荷的个数、_和_。 2.位置；大小 7 1.一均匀平面波由空气垂直入射到良导体表面，则其场量衰减为表面值的1/e时的传播距离称为 该导体的_,其值等于_，(设传播系数j =+)。 2.透入深度 ( 趋肤深度 )；1/ 1.在传播方向上有磁场分量，但没有电场分量，这种模式的电磁波称为_波，简称为 _波。 2.横电；TE 1.求解矩形波导中电磁波的各分量，是以_方程和波导壁理想导 体表面上_所满足的边界条件为理论依据的。 2.麦克斯韦（或波动、亥姆霍兹）；电场或磁场 1.波导

10、中，TM波的波阻抗_；TE波的波阻抗_。 2. j ； j 1. 矩形波导中，波的分量应满足的边界条件为在和处_;在 和处_。 2. 0 0 Z y y b H y = = = ； 0 0 Z x x a H x = = = 1.矩形波导可以工作在多模状态，也可以工作在单模状态，而单模的传输模式通常是_模， 这时要求波导尺寸a、b满足关系_。 2. 10 TE；2 ,aa b0， 则流出S面的通量流入的通量，即通量由S面内向外，说明S面内有。 2. s A ds= r r ；大于； 扩散；正源 1.矢量场的散度在直角坐标下的表示形式为，它的结果为一场。 2. AxAyAz A xyz =+ r

11、 ；标量 1.散度定理的表达式为；斯托克斯定理的表达式为。 2. sv AdsA dv= rr r ；() L s A dlA ds= rrr r 1.标量场的梯度是一场，表示某一点处标量场的。 2.矢量；变化率 16 1. 研究一个矢量场，必须研究它的和，才能确定该矢量场的性质，这即 是。 2.散度；旋度； 亥姆霍兹定理 1.标量场的梯度的方向为；数值为。 2.指向标量增加率最大的方向或是等值面的法线方向；该方向上标量的增加率 1. 距离源r 处t 时刻的标量位是由时刻的电荷密度决定的，故把标量位( , )r t称 为。 2. r t v ,滞后位 1.描述天线的参数有、 。 2.辐射场强、

12、方向性、辐射功率、效率 1.对于是磁偶极子与开槽天线的辐射场，可以利用和电磁学上的 原理来求解。 2.电磁对偶；巴俾涅 1.如图所示两个载流线圈，所受的电流力使两线圈间的距离 （） 扩大；缩小；不变 2. B 1.毕奥沙伐定律（） 在任何媒质情况下都能应用 在单一媒质中就能应用 必须在线性，均匀各向同性媒质中应用。 2.C 1.真空中两个点电荷之间的作用力（） A.若此两个点电荷位置是固定的，则不受其他电荷的引入而改变 B.若此两个点电荷位置是固定的，则受其他电荷的引入而改变 C.无论固定与不固定，都不受其他电荷的引入而改变 2.A 17 1.真空中有三个点电荷、 、 。带电荷量，带电荷量，且

13、。要使每个点 电荷所受的电场力都为零，则（） A.电荷位于、电荷连线的延长线上，一定与同号，且电荷量一定大于 B.电荷可位于连线的任何处，可正、可负，电荷量可为任意大小 C.电荷应位于、电荷连线的延长线上，电荷量可正、可负，且电荷量一定要大于 2.A 1.如图所示两个载流线圈，所受的电流力使两线圈间的距 离() 扩大；缩小；不变 2.A 1.电流是电荷运动形成的，面电流密度可以表示成（） ； 2.B 1.载有电流 半径为的圆环，置 于的均匀磁场中，线圈所 在平面的法线方向，此时线圈（） 受到方向的力；B.不受力； C.受到一转矩 2. C 1.均匀直线式天线阵中，若最大辐射方向发生在与阵轴线相

14、垂直的方向上，则称为（）。 A侧射阵；B端射阵；C直线阵 2. A 1. 场点在t时刻对源点（）时刻发生的变化作出响应。 （其中r为源点与场点的距离。C 为光速） A r t c ；B r t c +；Ct 2. A 1.均匀直线式天线阵中，若最大辐射方向发生在阵轴线的方向上，则称为（）。 A侧射阵；B端射阵；C直线阵 2. B 18 1.源点t时刻对场点在（）时刻发生的变化作出响应。 （其中r为源点与场点的距离。C 为光速） A r t c ；B r t c +；Ct 2. B 1.对于电偶极子远区场的特点，下述表述错误的是（） A只有,EH 分量，TEM波； BE、H同频率，同相位； C波

15、阻抗 p Ek H = (2)电场强度瞬时矢量和复矢量(即相量)。 49 2.（1) 由 得 故得 (2) 1.证明任一沿传播的线极化波可分解为两个振幅相等,旋转方向相反的圆极化波 的叠加。 2.证明设线极化波 其中: 和 50 分别是振幅为的右旋和左旋圆极化波。 1.图示由两个半径分别为和的同心导体球壳组成的球形电容器，在 球壳间以半径为分界面的内、外填有两种不同的介质，其介电常数 分别为和，试证明此球形电容器的电容为 2.证明设内导体壳外表面所带的电荷量为Q，则 两导体球壳间的电压为 (证毕) 1.已知求 (1)穿过面积在方向的总电流 (2)在上述面积中心处电流密度的模； (3)在上述面上

16、的平均值。 2. (1) 51 (2)面积中心, (3)的平均值 1.两个互相平行的矩形线圈处在同一平面内， 尺寸如图所示，其中，。略去端 部效应，试求两线 圈间的互感。 2.设线框 带有电流，线框的回路方向为顺时针。线框产生的 为 1.用有限差分法计算场域中电位，试列出图示正方形网格中内点的 拉普拉斯方程的差分格式和内点的泊松方程的差分格式。 52 2. 1.已知，今将边长为的方形线框放置在坐 标原点处，如图，当此线框的法线分别沿、和方向时，求框 中的感应电动势。 2.(1)线框的法线沿时由 得 (2)线 框 的 法 线 沿时 线框的法线沿时 1.无源真空中，已知时变电磁场的磁场强度为； ,

17、其中、为常数，求位 移电流密度。 2.因为 由 得 53 1.利用直角坐标系证明()()fGfGfG=+ vvv 2.证明左边=()() xxyyzz fAfA efA efA e=+ v vvv （ () ()() yy xxzz fA e fA efA e xyz =+ v vv ()( ) ()( ) ()( ) yyy xxx xy zzz z A ef e A ef e fAfA xxyy A ef e fA zz =+ + vv vv vv () ()( )() ( )( ) yy xxxzz x yy yy A e A ef eA e fffA xyzx f ef e AA yy

18、 fAAf =+ + =+ v vvv vv vv =右边 1.求无限长直线电流的矢量位A v 和磁感应强度B v 。 2.解直线电流元产生的矢量位为 0 22 1 2 4() z Idz dAe rzz = + v v 积分得 54 2 0 22 1 2 2 22 0 2 2 22 1 2 0 22 1 2 0 4() ln( )( ) 4 ()() 22 ln 4 ()() 22 ln 4 l z l l zl z z Idz Ae rzz I ezzzzr ll zzr I e ll zzr Il e r + + = + =+ + = + = v v v v v 当,lA 附加一个常数矢

19、量 00 ln 4 z Ir Ce l = v v 则 00000 lnlnln 444 zzz IIrIrl Aeee rlr =+= v vvv 则由 0 4 z IA BAee rr = = = v vv vv 1. 图示极板面积为S、间距为d的平行板空气电容器内，平行 地放入一块面积为S、厚度为a、介电常数为的介质板。 设左 右两极板上的电荷量分别为Q+与Q。若忽略端部的边缘效 应，试求 (1)此电容器内电位移与电场强度的分布； (2)电容器的电容及储存的静电能量。 2. 解1） 12x Q DDe S = vv v 1 1 00 x DQ Ee S = v v v ， 2 2x DQ

20、 Ee S = v v v 2) 0 1 1( ) SQQ C UE dada = 2 22 QQS C UE aa = Q+Q d a 0 0 xo Q+Q d a 0 0 xo 1 E v 2 E v 1 E v 55 012 120 () SC C C CCada = + 2 2 0 0 ()11 22 adaQ WQ CS + = 1.在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为 )/(1010 ) 2 20( 4204 mveaeaE zj y zj x += vv r 求（1）平面波的传播方向； （2）频率； （3）波的极化方式； （4）磁场强度； （5）电磁波的平均坡印廷矢量 a

21、v S v 。 2.解（1）平面波的传播方向为方向 （2）频率为 9 0 3 10 2 c fkHz = （3）波的极化方式因为 4 10 ,0 22 xmymxy EE = ，故为左旋圆极化 （4）磁场强度 4420 0 00 4420 0 1 (1010 ) 1 (1010 ) jz zzxzy jz yx HaEaajaae ajae =+ = vv vvvvv vv （5）平均功率坡印廷矢量 56 *4420 4420 0 4242 00 8 102 11 ReRe(1010 ) 22 1 (1010 ) 1 (10 )(10 ) 2 11 2 10 2120 0.265 10(/)

22、jz avxy jz yx z z z SEHajae ajae a a a W m =+ =+ = = vvv vv vv v v v 1.利用直角坐标，证明fAAfAf+= vvv) ( 2.证明左边=()() xxyyzz fAfA efA efA e=+ v vvv () ()() yy xxzz fA e fA efA e xyz =+ v vv ()( ) ()( ) ()( ) yyy xxx xy zzz z A ef e A ef e fAfA xxyy A ef e fA zz =+ + vv vv vv () ()( )() ( )( ) yy xxxzz x yy yy

23、 A e A ef eA e fffA xyzx f ef e AA yy fAAf =+ + =+ v vvv vv vv =右边 1. 1求矢量 22 xyz Ae xe xe y z=+ v vvv 沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方 形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求A v 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。 2.解 2222 2 0000 ddd2 d0d8 C xxxxyy=+= AlAlAlAl 又 57 22 22 xyz xz yzx xyz xxy z =+ eeeeeeeeeeee AeeAeeAeeAee 所以 2 2 0 0 d(22

24、)dd8 xzz S yzxxy=+= ASeeeASeeeASeeeASeee 故有 d8 C = AlAlAlAl d S = ASASASAS 1.同轴线内外半径分别为a和b，填充的介质0，具有漏电现象，同轴线外加电压U，求 （1）漏电介质内的； （2）漏电介质内的E v 、J v ； （3）单位长度上的漏电电导。 2.解（1）电位所满足的拉普拉斯方程为 1 ()0 dd r drdr = 由边界条件,;,0raU rb=所得解为 ( )ln ln Ub r b r a = （2）电场强度变量为( ) ln rr dU E ree b dr r a = = v vv ， 则漏电媒质的电流

25、密度为( ) ln r U JE re b r a = vv v （3）单位长度的漏电流为 0 2 2 lnln r UU Ire bb r aa = v 58 单位长度的漏电导为 0 0 2 ln I G b U a = 1.如图 所示，长直导线中载有电流cos m iIt=，一矩形 导线框位于其近旁，其两边与直线平行并且共面，求导线框 中的感应电动势。 2.解载流导线产生的磁场强度的大小为 0 2 i B r = 穿过线框的磁通量 0 0 . 2 cos ln 2 c a c c a c m B ds i bdr r bItca c + + = = + = v v 线框中的感应电动势 0

26、sin ln 2 m d dt bItca c = + = 参考方向为顺时针方向。 1.空气中传播的均匀平面波电场为 0 jk r x Ee E e = vv v v ，已知电磁波沿轴传播，频率为f。求 (1)磁场H v ； (2)波长； (3)能流密度S v 和平均能流密度 av S v ； 59 (4)能量密度W。 2.解 （1） 0 1 jk r zx Hee E e = vv v vv 0 0 0 jk r y eE e = vv v （2） 00 1v ff = （3） 0 00 0 jk rjk r xy SEHe E ee E e = vv vvvvv vv 22 0 0 0 2

27、2 0 0 0 cos (2) jk r z z eE e eEftkz = = vv v v *2 0 0 0 11 Re() 22 avz SEHeE = vvv v （4） 22 00 11 22 WEH=+ 1.平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容器的一半厚度(0 /2d )用介电 常数为的电介质填充， （1）板上外加电压 0 U ，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷； （2）若已知板上的自由电荷总量为Q，求此时极板间电压和束缚电荷； （3）求电容器的电容量。 2.（1）设介质中的电场为 zE =EeEeEeEe，空气中的电场为 0 =E E E E 0zE e e e

28、 e。由 =D 0 D，有 00 EE= 又由于 60 00 22 U d E d E=+ 由以上两式解得 00 0 2 () U E d = + 0 0 0 2 () U E d = + 故下极板的自由电荷面密度为 00 0 2 () U E d = + 下 上极板的自由电荷面密度为 00 00 0 2 () U E d = = + 上 电介质中的极化强度 000 0 0 2() () () z U d = + PEePEePEePEe 故下表面上的束缚电荷面密度为 000 0 2() () pz U d = = + e Pe Pe Pe P 下 上表面上的束缚电荷面密度为 000 0 2(

29、) () pz U d = + e Pe Pe Pe P 上 （2）由 0 0 2 () UQ abd = + 得到 0 0 () 2 dQ U ab + = 故 61 0 () p Q ab = 下 （3）电容器的电容为 0 0 2 () abQ C Ud = + 1.已知矩形波导的横截面尺寸为 2 23 10abmm=，试求当工作波长10mm=时，波导中 能传输哪些波型？30mm=时呢？ 2.波导中能传输的模式应满足条件 ()mn c （工作频率大于截止频率）在矩形波导中截止波长为 22 2 mn c ab = + 由传输条件 22 2 mn 2310 + 当 =10mm 时上式可写为 1

30、 22 2 2m n10 1023 能满足传输条件的m和n为 （1）m=0,n2，可传播 01 TE 波； （2）m=1,n1.95，可传播 101111 TE ,TE ,TM 波； （3）m=2,n1.8，可传播 202121 TE ,TE ,TM 波； （4）m=3,n1.5，可传播 303131 TE ,TE ,TM 波； （5）m=4,n0.95，可传播 40 TE 波。 当 =30mm 时，应满足 1 22 2 2m n10 3023 62 （1）m=0,n0.66（无波型存在）； （2）m=1,n0.5，可传播 10 TE 波； （3）m=2,不满足条件，故此时只能传输 10 TE

31、 波。 1.频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿（z+）方向传播，介 质的特性参数为4 r =、1 r =，0=。设电场沿x方向，即 xx Ee E= v v ；当0t=， 1 8 zm= 时，电场等于其振幅值 4 10/V m 。试求 （1）( , )H z t v 和( , )E z t v ； （2）波的传播速度； （3）平均波印廷矢量。 2.解以余弦形式写出电场强度表示式 ( , )( , ) cos() xx xmxE E z te Ez t e Etkz = =+ v v v 把数据代入 4 10/ m EV m = 00 4 24/ 3 kfrad m

32、= 41 386 xE kzrad = 则 48 48 48 4 ( , )10cos(210)/ 36 14 ( , )10cos(210) 36 14 10cos(210)/ 6036 x x yyyy y E z tetzV m E H z te Heetz etzA m =+ =+ =+ v v vv vvv v （2）波的传播速度 63 8 8 00 113 10 1.5 10/ 2 vm s = （3）平均坡印廷矢量为 * 1 Re 2 av SEH= vv 444 ()() 4 3636 110 Re 10 260 jzjz avxy Seeee = vv 42 8 2 1(10

33、 ) Re 260 10 / 120 z z e eW m = = v v 1.在由 5r= 、 0z= 和 4z= 围成的圆柱形区域，对矢量 2 2 rz rz=+AeeAeeAeeAee 验证散度定理。 2.解解在圆柱坐标系中 2 1 ()(2 )32rrzr r rz =+=+ A A A A 所以 425 000 ddd(32) d1200zrrr =+= A A A A 又 2 d(2 ) (ddd) rzrrzz SS rzSSS =+ ASeeeeeASeeeeeASeeeeeASeeeee 4 25 2 2 0 00 0 55dd24 d d1200zrr =+= 故有 d12

34、00 = A A A A d S = ASASASAS 1.求（1）矢量 222223 24 xyz xx yx y z=+AeeeAeeeAeeeAeee 的散度；（2）求 A A A A 对中心在原点的一个单位立 方体的积分；（3）求A A A A对此立方体表面的积分，验证散度定理。 2. 解解（1） 64 222223 2222 ()()(24) 2272 xx yx y z xx yx y z xyz =+=+ A A A A （2） A A A A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为 1 21 21 2 2222 1 21 21 2 1 d(2272)d dd 24 xx yx y

35、 zxy z =+= A A A A （3）A A A A对此立方体表面的积分 1 21 21 21 2 22 1 21 21 21 2 11 d( ) dd() dd 22 S y zy z = ASASASAS 1 21 21 21 2 2222 1 21 21 21 2 11 2( ) d d2() d d 22 xx zxx z + 1 21 21 21 2 223223 1 21 21 21 2 11 24( ) dd24() dd 22 x yx yx yx y + 1 24 = 故有 1 d 24 = A A A A d S = ASASASAS 1.计算矢量r r r r对一个

36、球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求 r r r r 对球体积的积分。 2.解解 2 23 00 dddsin d4 r SS Saaa = rSr erSr erSr erSr e 又在球坐标系中 2 2 1 ()3r r rr = r r r r 所以 2 23 0 0 0 d3sin d d d4 a rra = r r r r 65 1.求矢量 22 xyz xxy z=+AeeeAeeeAeeeAeee 沿 xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分， 此正方形的 两边分别与x轴和 y 轴相重合。再求A A A A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。 2. 解解 222

37、2 2 0000 ddd2 d0d8 C xxxxyy=+= AlAlAlAl 又 22 22 xyz xz yzx xyz xxy z =+ eeeeeeeeeeee AeeAeeAeeAee 所以 2 2 0 0 d(22 )dd8 xzz S yzxxy=+= ASeeeASeeeASeeeASeee 故有 d8 C = AlAlAlAl d S = ASASASAS 1.证明（1） 3=R R R R ；（2） 0=R R R R ；（3） ()=A RAA RAA RAA RA 。其中 xyz xyz=+ReeeReeeReeeReee ，A A A A为一 常矢量。 2.解解（1）

38、 3 xyz xyz =+= R R R R 20 xyz xyz xyy = eeeeeeeeeeee R R R R（ ） （3）设 xxyyzz AAA=+AeeeAeeeAeeeAeee 则 xyz A xA yA z=+A RA RA RA R 66 故 ()()() xxyzyxyz A xA yA zA xA yA z xy =+ A ReeA ReeA ReeA Ree () zxyz A xA yA z z + e e e e xxyyzz AAA=+=eeeAeeeAeeeAeeeA 1.两点电荷 1 8Cq= 位于z轴上 4z= 处， 2 4Cq= 位于 y 轴上 4y=

39、 处，求(4,0,0)处的电场强 度。 2.解解电荷 1 q 在 (4,0,0)处产生的电场为 11 1 3 3 00 1 442 4(4 2) xz q = eeeeeeeerrrrrrrr E E E E rrrrrrrr 电荷 2 q 在 (4,0,0)处产生的电场为 22 2 3 3 00 2 44 1 4(4 2) xy q = eeeeeeee rrrrrrrr E E E E rrrrrrrr 故(4,0,0)处的电场为 12 0 2 32 2 xyz + =+= eeeeeeeeeeee EEEEEEEEEEEE 1.两平行无限长直线电流 1 I 和 2 I ，相距为d，求每根

40、导线单位长度受到的安培力 m F F F F 。 2.解解无限长直线电流 1 I 产生的磁场为 0 1 1 2 I r =BeBeBeBe 直线电流 2 I 每单位长度受到的安培力为 1 0 1 2 122112 0 d 2 mz I I Iz d = FeBeFeBeFeBeFeBe 式中 12 e e e e 是由电流 1 I 指向电流 2 I 的单位矢量。 同理可得，直线电流 1 I 每单位长度受到的安培力为 0 1 2 211212 2 mm I I d = =FFeFFeFFeFFe 67 1.一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，求球心处的磁 感应强度

41、B B B B。 2.解解球面上的电荷面密度为 2 4 Q a = 当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量 ra =rererere 点处的电流面密度为 Szra =JvJvJvJv ree ree ree ree sinsin 4 Q a a =eeeeeeee 将球面划分为无数个宽度为d dla = 的细圆环，则球面上任一个宽度为d dla = 细圆环的 电流为 ddsind 4 S Q IJl = 细圆环的半径为 sinba= ，圆环平面到球心的距离 cosda= ，利用电流圆环的轴线上的磁场 公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为 223 00 223 222223 2

42、dsind d 2()8 (sincos) zz bIQa bdaa = + BeeBeeBeeBee 3 0 sind 8 z Q a =e e e e 故整个球面电流在球心处产生的磁场为 3 00 0 sin d 86 zz QQ aa = BeeBeeBeeBee 1.半径为a的球体中充满密度 ( )r 的体电荷，已知电位移分布为 32 54 2 () () r rArra D aAa ra r + = + 其中A为常数，试求电荷密度( )r。 68 2.解解由=D D D D ，有 2 2 1 d ( )() d r rr D rr = =D D D D 故在r a 区域 54 2 0

43、 22 1 d() ( )0 d aAa rr rrr + = 1.一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷， 球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为 4 () r r a=EeEeEeEe，设球内介质为真空。计算（1）球 内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。 2.解解（1）由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为 43 22 0000 2244 1 d1 d ()()6 dd rr r Er rrrraa =E E E E （2）球体内的总电量Q为 3 22 00 4 0 d64d4 a r Qrra a = 球内电荷不仅在球壳内表面上感

44、应电荷 Q ，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外 表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为 0 2 2 2 4 Q a = 1.中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为 0( ) xyz Pxyz=+PeeePeeePeeePeee 。 （1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。 2.解解（1） 0 3 P P= = P P P P 69 220 () 22 Px Lxx L LL xP = =n Pe Pn Pe Pn Pe Pn Pe P 220 () 22 PxLxxL LL xP = = = =n Pe Pn Pe Pn Pe

45、 Pn Pe P 同理 0 ()()()() 22222 PPPP LLLLL yyzzP= = = （2） 32 00 dd360 2 PPP S L qSP LLP =+= += 1.一半径为 0 R的介质球，介电常数为 0r ，其内均匀分布自由电荷，证明中心点的电位为 2 0 0 21 () 23 r r R + 2.解解由 d S q= DSDSDSDS 可得到 3 2 10 4 4 3 r r DrR =（） 即 1 110 00 , 33 rr Drr DErR =（） 故中心点的电位为 00 00 3 0 122 0000 (0)dddd 33 RR rRR Rr E rE rr

46、r r =+=+ 70 22 2 00 0 000 21( ) 6323 r rr RR R + =+= 1.一个半径为R的介质球，介电常数为，球内的极化强度 r K r=PePePePe ，其中K为一常数。 （1） 计算束缚电荷体密度和面密度； （2）计算自由电荷密度； （3）计算球内、外的电场和电位分布。 2.解解（1）介质球内的束缚电荷体密度为 2 22 1 d () d p KK r rrrr = = = P P P P 在rR=的球面上，束缚电荷面密度为 pr r Rr R K R = =n Pe Pn Pe Pn Pe Pn Pe P （2）由于 0 =+DEPDEPDEPDEP，

47、所以 0 0 =+=+DEPDPDEPDPDEPDPDEPDP 即 0 (1) = DPDPDPDP 由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 2 000 () p K r = = = DPDPDPDP 总的自由电荷量 2 2 00 0 14 d4d R KRK qrr r = （3）介质球内、外的电场强度分别为 1 00 () () r K rR r = EeeEeeEeeEee 介质球内、外的电位分别为 71 112 ddd R rrR E rEr =+ ElElElEl 2 000 dd ()() R rR KRK rr rr =+ 000 ln() () KRK rR r =+ 22 2

48、0000 dd() ()() rr RKRK ErrrR rr = 1.如图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电 位为零，上边盖板的电位为 0 U，求槽内的电位函数。 2.解解根据题意，电位( , )x y满足的边界条件为 (0, )( , )0ya y= ( ,0)0 x= 0 ( , )x bU= 根据条件和，电位( , )x y的通解应取为 1 ( , )sinh()sin() n n n yn x x yA aa = = 由条件，有 0 1 sinh()sin() n n n bn x UA aa = = 两边同乘以sin()n x a，并从0

49、到a对x积分，得到 0 0 2 sin()d sinh() a n Un x Ax an b aa = 72 0 0 2 (1cos) sinh() 4 ,1,3,5, sinh() 02,4,6, U n nn b a U n nn b a n = = = = L L， 故得到槽内的电位分布 0 1,3,5, 41 ( , )sinh()sin() sinh() n Un yn x x y nn b aaa = = L 1.两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由 dy= 到 by=)(z 。 上板和薄片保持电位 0 U，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从0=y到dy= ， 电位线性变化， 0 (0, )yU y d=。 y o b d 题 4.2 图 2.解解解解应用叠加原理，设板间的电位为 ( , )x y= 12 ( , )( , )x yx y+ 其中， 1( , ) x y 为不存在薄片的平行无限大导体平面间