第33届全国部分地区大学生物理竞赛试题及解答

1、2个 B“ B 艹艹兴艹艹艹兴艹艹艹艹艹艹艹兴艹兴艹艹艹艹泶艹 *艹 艹艹兴艹艹艹兴艹胛飙泶艹关兴关兴艹艹艹艹艹艹艹艹艹关关兴关一删兴兴兴艹艹艹关兴艹关兴艹兴艹兴 *艹 艹 灿即 艹关艹兴兴兴艹艹兴艹艹艹艹艹艹兴艹艹艹艹艹艹艹艹艹艹艹艹艹 肼世叠 咿甲舯督胛崽 烬舯 考生类别 第“ 届全国部分地区太学生物理竞赛试卷 北京物理学会编印2016+12月11日 北京物理学会对本试卷享有版权,未经允许,不得翻印出版或用本试卷进行商业活动,违者必究。 题 号 l 10 0 1314 分数 阅卷人 题 号 总分 0 17 分数 阅卷人 答题说明;前 趣是必做题,满分是120分;文管组和农林医组只做必做题;

2、除必做题外,非物理 B组限做15题,满 分 0分;非物理A组限做15、16题,满分 160分;物理组限做 15、17题,满 分 160分 。 请同学们 自觉填上与准考证上一致的考生类别,若两者不符,按废卷处理。 请各组考生按 上述要求做题,多做者不加分,少做者按规定扪分。 一、填空题 (必做,共10题,每题2空,每空3分,共 GO分) 1,如图所示,高 、 倾角30的光滑斜面顶端处 有两个质点。质点1以初速度h 水平朝左抛出,质 点2同时以初速度饧沿斜面下滑。设质点1、2同 时到达斜面底端B处,则%=_,v 2= 2,质量m =5m g (毫克)的跳 蚤,腿长 氵= 0,4n 1m 。开始时身

3、体和腿都贴在地面上,起跳的过 程中腿向上伸展,最 终以v =1m /S竖直向上的速度离开地两。 过f 罕中跳蚤整体向L加速度 处理为常量 过程所经时间为_J (秒),过程中腿的:F均输出功率为 W(瓦)。 (答案均取1位有效数字 ) 3,质量m 、长度2J的匀质细杆B,开始时如图所示 , 处于水平静止状态c 将细杆自由释放后,细杆可绕着通 过 端的水平光滑同定转轴摆动。 细杆B端刚到达最低 处时 转轴提供的向上支持力 。若B端 到达最低位置后瞬问,细杆中央 彳处突然断开,杆的下 半段继续运动,转过180后 端恰好着地,则转轴距 水平地面高度为 九= 。 4,参考多普勒效应示意图,波源S的振动频

4、率为v O。 s 朝 着接收者B运动,在介质参考系中速度大小为v 、;机械波 在介质中的传播速度为,接收耆B朝宥S运动在介顷参考 系中速度大小为v 。贝 刂 当 v 、)0, 】 , =0时,B的接 1 v 1 。 彳 月 召 丿 九 s 介质 讠 T碇: ) 1/12 收频率v l = )0时, 布 函数 ; 当v s =0, v :B的接收频率y 3= 5,理想 气体 平 衡态 的 麦 克 斯 韦 速 度 分(氵)和速率分布函数(v ) 为 。设大气温度处处为T, 面大气压强记为I9。,则距地面高度为九处大气压强p (h )= 6,热力学第二定律的克劳修斯表述为 ;开尔文表述为 分 别 将

5、地 7题图所在平面为某个光滑水平面,5处固定着一个负电荷J空 间有匀强磁场,磁感应强度方向垂直图平面朝里,大小为B。 一 个比荷 (电量与质量之比)为 /的带正电光滑球P,绕着S在此 平面做半径为R。的逆时针方向匀速圆周运动,则运动速率%取 值的可能范围为 。 取消磁场B,若 P仍可以相冂 速率%绕着S在此平面上做半径为 R的顺时针方向匀速圆周运 动,则R= 8,如图所示,每边为的等边三角形区域内有匀 强磁场,磁感应强度豆的方向垂直图平面朝外。每 边长为的等边三角形导体框架月B,在=0时 怡好与畦场区的边界重合,而后以周期T绕其中心 沿I页时针方| 苟匀速旋转,于是在框架BC中有感应 电流。规

6、定电流按 -B-方向流动时电流 强度取为正,反向流动时取为负。 设框架BC的 虑 、 电阻为R,则 从 古 =0到t l =T/6时问内平均电流 强度 1= ;渺、F0到 古2=T/2 时间内平均电流强度r 2= 。 9如图1所示,三条边长各为J1、 J2、!3的均匀K万体电阻 块,电流从左侧表面均匀流到右侧表面B,己测得其电阻为 R:=10。若将其各边长都增大一倍,则此时相应的电阳 弘B1= 。如图2所示,每边长为J的匀质正方形 b / .B Bf f 电阻薄平板, 长 者 阝增 为 己测得月 、B两端间电阻R:=5。若将每边 2J,质材 不 变,则此 时 相 应 的 电 阻 R%:2一 1

7、0,如 图所示,一艘无人飞船和颗彗星相对地面参考系,分 别以0,6c 和 0,8c 的速度面对面地运动。地面系时钟读数 s = 0时,恰好飞船时钟渎数也为 饣=0。地面系认为 s = 5s (s 表示秒)时9飞船会与彗星相撞。 飞船则认为 饣= s 时,自 己会与彗星相撞,而且飞船在古=0时 图2 r /J 地面 飞船 0,6c 0,8c 彗星 -。 0000 认为彗星与它相距 6(光 秒)。 2/1z M 丶 刁/ s 一 艹艹艹艹艹艹艹艹艹艹关关艹艹艹艹艹艹艹兴桊艹兴兴艹 *兴 兴艹兴艹兴艹 胛劁 米艹艹兴兴艹兴关艹艹 *艹 艹艹艹艹艹艹兴一俏关兴艹兴艹兴艹兴泶兴艹艹关关兴艹关艹 踟即 艹

8、艹兴兴艹关艹艹艹艹关艹艹兴艹艹艹兴兴艹长艹艹艹艹艹艹艹艹 邱舳咫豢 中吊舯思 胛崽 烬舯 二、计算题 (必做,共4题,每题 11,(15分) 女 口 图所示,两块相同 的平面镜之间的夹角为t -2,其 中 为每一块平面镜与空间 平 面之间的夹角。在两个平面镜夹角 的角平分面上放置单色线光源S, 它与两平面镜交线 的距离为d = 20c m 。图中屏幕M与平面 平行 且被放置在足够远处 (解答时处理 为无穷远),设=0,1m d ,光源 S发出的光线不能直射到M上,试 问平面镜宽度 最小为多少时,在 M上必能有干涉图样?(纟古 果保留 一位有效数字) 15分,共GO分) d H 、 _/ 12,

9、(15分)某单原子分子理想气体的压缩过程如图 中左下方的过程曲线所示。将此过程每一个状态的压 强量朝上平移幻量,保持体积不变,平移所得曲线恰 好是温度为TO的等温压缩线。 (1)试导出左下方过程曲线内含的吸热区域 (定义 为其中每一个无穷小过程都是吸热过程的区域)和放 热区域 (其中每一个无穷小过程都是放热的区域 ), 要求这两类区域均取坐标量 的 取值范围来界定。 (2)将吸、放热区域的转换点记为 ,它在 T。等温 线上对应的点已在图中记为B。从 彳点朝右作等压线,后耆与TO等温线交于图中C点 ,试 求图中热循环过程 BC月的效率 刀 彳:c o (取丨n :=o 51J答案取1位有效数值)

10、 蹴 3/12 13,(15分)施 特恩一 盖拉赫实验装置如 图听示,炉中的银蒸汽经准直缝后形成银 原子细束,经过一个抽成真空的不均匀磁 场区域,磁场沿垂直于原子束的z 轴方 向,最后到达照相底片形成两条对称的分 立痕迹,银原子由原子核与内层电子所形 成的 “ 原子实”和最外层的一个价电子组 成,炉中银蒸汽中的银原子处于基态,原子实是球对称的,价 电子绕核运动的轨道角动量 等于0,对磁矩没有贡献,因 此银原子的磁矩就是价电子的自旋磁矩 ,实 验结果表明: 电子自旋磁矩在z 轴方向上的分量只有两个值 :,其中:被称为玻尔磁子。 照相底片 4/12 艹艹艹艹艹艹艹艹艹艹艹艹艹兴兴艹艹艹艹艹艹艹艹艹

11、艹艹艹兴艹苄泶兴关驭削兴艹兴兴兴艹艹关艹兴艹艹艹艹艹兴兴兴兴吊诎艹艹艹长艹兴泶艹泶兴关兴兴艹艹艹兴关 灿即 艹艹兴兴兴艹 *艹 艹艹艹关艹艹兴艹芳 *艹 艹艹艹艹兴艹艹艹兴艹 酃排挝豢 眇甲舯婴胛崽烬舯 设实验中炉温恒为r ,银原子以该温度下的平均速率通过准直缝,沿银原子束方向的 磁极长度为,横向(即图中z 轴方向)不均匀磁场梯度的大小最大为 C。忽略重力,歪立 畅与磁锘膨嬲蹈灞 求银原子到达照相底片上的痕迹偏离中心的最大距离。 ,(1s 分)请按顺序解答下面两个问题。 (1)质量为M、 半径为R、厚度可忽略的圆盘,沿着它的某一直径开成一条很窄的光滑通 道。假设通道中的一 个自由质点能够仅在圆

12、盘万有引力作用下作简谐振动,且振动中心即为 圆心,试给出圆盘的一种面密度分布。 (2)保留(1)中原圆盘通道,但使质量面密度增加1倍成为质量等于2M的 新圆盘,再将 新圆盘割分为半径为R的小圆盘与内、 外半径分别为R、R的圆环,使得两者质量均为A/f 。 引入三个时问量如下: Tl :自由质点从(1)中原圆盘直径通i 直的一个端点自静J| l 出发形成的振动周期 ; %:自由质点从新圆盘直径通道位置的一个端点自静止出发,在 取走圆环后,即 仅在小圆盘 万有引力作用下形成的振动的周期; T3:自由质点从新圆盘直径通道位置的一个端点自静止出发,在取走小圆盘后,即 仅在圆环 的万有引力作用下形成的振

13、动周期。 请分析地用等号或不等号建立Tl 、Tz 、T3间 的大小关系。 (做数值判断时,可用如下近似:即t 1,59,而3,16) 5/12 泶艹关艹艹艹艹艹艹艹艹艹兴艹艹艹艹艹艹艹艹艹艹 *长 艹艹艹艹艹艹艹艹w削艹兴 *艹*艹 艹艹兴 *艹 兴艹艹艹头艹艹艹 一渊 艹关兴兴关兴艹泶兴苄艹兴艹兴兴兴兴关 炳即 兴艹艹艹兴艹兴艹艹艹艹艹艹兴艹艹艹艹艹艹关艹艹兴兴艹艹艹艹 邸肼忖揍巾甲舯好 崽灬舯 三、限做题 (根据考生类别选做) 15,(分)如图所示,有一半径R=0,128m 的 玻璃半球,在其主光轴放一长J=0,20m 的条形物 淤 2。 只考虑近轴光线成像,在图中主光轴上可 同时观察到1

14、2的两个像,它们分别是经玻璃半 球的平面和凹球面反射而得。并且,当条形物的2 端与半球面中心0相距0月2=0,020m 时,两个 像恰好无重叠地连接在一起,试求玻璃半球的折射 率。(答案取1位有效数字。 ) 解题时,只可取用下述在近轴条件下成立的球面反射和球面折射成像公式 : 球面反射成像: 球面折射成像: 艮 面 面 ft 一 球面半径、u :物距、v :像距 n 劭:物光所在空间介质折射率 n v :像光所在空间介质折射率 7/12 16,(分)系统如图所示,勿 和Pg 是两根固定光滑竖直平行 直杆,两 耆相距 ,轻 绳长 几 ,上端圃定在丿 1r 点,绳穿过光滑 小环/后连接在小环B上,

15、环/、 B质量同为妫 。图中两段绳长 厶、1与 的关系为z =/I+岛,图中为免绳段与 o 杆间的夹 角。 (I)取丐 E/ 假设系统仅在重力、绳的张力和直杆提供的水 : 平方向支持力作用下,处于图示角位置时为平衡态,试求值, g 并判定该平衡态的稳定性。为提升阅卷效率,本题全部设问中一致 规定,绳段伸直且 l =0时 系统所处状态的重力势能取为零值。 (2)设z /,只讨论/在 B的上方朝下运动, B在/的下方朝上运动的过程。再设此 过程中仅在重力、 绳的张力和直杆提供的水平方向支持力作用下,绳段 几 钅 亻 和/JB始终会处 于伸直状态,即J =矸 +九始终成立。 (21)确定6可取值范围

16、 ; (2,2)将角对应的/下行速度、加速度分别记为v 、曰 ,试 求此时B的上行速度 、加 速度v :、四:,答案用 、 、v 、臼 彳表述。 (3)取L=z ,开 始时 I=0, /、 B静止,系统自由释放后,假设系统过程能如 (2) 问所述。 (31)试求系统自由释放后瞬间的v 、 v ”, 、 曰 :和绳中张力r ,答案用 、 g 和/z 表述; (3,2)试求 第一次达到60时的%、 %,臼 、 夕 召和绳中张力,笞案用 、 g 和叨 表述; (3,3)再求第一次无限接近90氵时的v ,丬、v , 丬、0” 和绳中张力,答案用 、 g 和 /J表述; 8/12 一B 块 一一 体 已

17、寸 解解 求求 艹艹艹艹苄艹艹艹兴艹艹艹艹兴艹艹关艹艹艹艹艹兴兴艹艹艹艹艹艹艹艹艹胛削兴艹艹艹艹艹艹艹兴艹艹艹艹关艹关艹艹艹 一拙关艹艹艹祷艹艹关艹兴艹兴艹兴艹兴艹艹 灿叩 艹艹艹 *兴 关兴兴艹艹艹艹兴艹关艹艹关艹艹艹艹艹艹艹艹艹艹艹 咿甲舯璺 崽 烬舯 烬群挝志 1,.(分) 引言:如图1所示,某竖直平面上有水平朝内的 匀强磁场J,匀质金属矩形框架/召CD以/B边取 水平状态在该竖直平面内自由下落。略去空气阻力, 试问框架下落加速度是否仍为g ? 正 离 簟 繁 当 鲑 氦 噬 暂;i 嘿1琶琵1男P量渌 孱 裂 | 平力可以抵消,但自由电子必定会朝左运动,形成电 流。 此电流所受磁场安培

18、力朝上,使框架下落加速度 因此稍小子g 。自由电子的迁移,在 四根杆的左侧面 累积负电荷,右侧面累积正电荷,框架内出现电场, : 进而影响电子的迁移速度和 电流。框架下落速度的 变化也会影响自曲电子的迁移速度、侧面电荷的累 积以及框架内的电场结构。定量讨论框架下落加速度和速度的变化,困难较大。 为对框架下 落加速度必定会小于g 的定性结论作简单的量化讨论,特用长方导体块取代图 1中 的框架, 设置题目如下。 题文:如图2所示,质量密度为 、电阻率为/, 的长方导体块/B,r =0时刻以B面处于水平 方位的静止状态白由释放,空间有垂直于导体块前后 表面朝内的匀强磁场J略去空气阻力,不考虑导体 块

19、落地的可能性。再设导体块的/D面和CD面足够 大,在讨论的时间范围内/9可处理为常量,导体块内 的电场可处理为随时间变化的匀强电场。略去导体块 内电流的磁场、略去申l 场变化激发起的磁场c (1)导出可解的关于BC面上电荷面密度=(F)的 微分方程。 、 (2)引入简化参量 C 图1 一g 厍 己2 (2、1) (2,2) B、 、 矽; B D 答案中只可出现参量g 、/ 11/12 第33届全国部分地区大学生物理竟赛 参考答案 2016,12 霍 颀,磊 t 歹丁 2,8104, 310 4。 3 :m 纟 , (2+! 彘%,竿 v 0。 (玩嚣 了 )3尼 m 胛 和4v 2(瓦嚣 艹

20、 )3伤 g m 、胛 ,幻e m 洲叽 6,不可能便热量从低温物体 自发地传到高温物体而不产生任何其他影响,不可能从单一热 源吸收热量使之完全转化为有用功而不产生任何其他影响。 7,V0/BR0, 8.t ;Bc 2/2Rr , 95, 5。 4,谬。 榀 几 。 c l 2/2Vt RT。 解 (15分 ) 参考题解图,s 发出的光经两块平面镜反射后形成两支相干光束。这两支光束可等效为 题解图 由S的两个虚像s l 、 岛发出,将足、岛视为两个线光源,则问题转化为杨氏双缝干涉。 考虑到反射机制,Sl 发出的光束由题解图中的射线 Sl Pl 和射线Sl Q1界定,岛发出的光束 由射线岛巳和射

21、线岛o 界定。 由于屏幕足够远,为使这两支光束在M上能相遇形成相干叠 加,便要求 s l Pl 不 能与两平面镜夹角的角平分线99向下相交成锐角。同理,岛 凡不能与 向上相交成锐角 。即取 s l 凡、岛巳分别与0平行(即夹角分别为零)时,可保证在 很远的屏幕 上必有干涉图样,而且平面镜的宽度 又可取为最小,其值为 (8分) m i n =2l d c o s 锷 -)l =2d s i n (5分) a m i n =2d s i n 泅4c m (2分 ) (15分 ) (1)无穷小过程 51 S2 因 为小角度,故 2解 1/13 d Q=p d /+:v Rd T d p o 】 d

22、y :I,0:d y (0,d Q(0 放 热 区 域 p =:阢:d y | 6(1) 自由质点从y =R处静止出发后,处处受力变大,加速度值也变 大,速度 值 也 处 处 变 大 。考 虑 到经 过丨y 丨所 需 时 间 古= | y | /| v | ,故 必有 (2)Ti 据上述讨论最后TL、 、T3间 大小关系为 飞Tl =尘 L)2v t 万 2冗 2民(R)/Il = =4R/V(R)=(2v /2Vt o )RR/c J亻)T1=2t R R/c J亻 (2分) 2、厅 2即t -3 27 21,59-3 4/13 (1分 ) 15,(分) 解:I:平面反射成像 取R ,即成平

23、面反射成像 +1=0v = t t 虚像 u V 如题解图所示,有 虚 像 ;:瓦丐=42=0 020m 吓 =J=0.20m (5分 ) H:平面折射球面反射一平面折射 成像 点 (1点或 2点)平面折射成像 R,即成平面折射成像 +上 = t t 1 V1 凹球面反射成像 饧 舟=景 平面折射成像 题解图 0=v 1=-/t u 1 (3.兮) 山=R-%=R+n h 码=罂 (3分 ) 贵 +舟 = r R一吻 =踹 砒 一晶 闸 分 ) t /191=月2+J=0,22m v 3= 0,128022 m (0 0128+2,l 022 (3分 ) 2点成像点 0.1280.02 u 1

24、=r 92=o ,02m v 3=-0,128+2 0,02m 0 s 1n (氵r 参考题解图1,系统重力势能为 题解 图1 l 彳 c 丨 泅1 0 g P9Fg =,9Fg ( -2(z 石 午 歹 )- c o t -2z +2 Cs ) 5/13 P对求微商,得 努 =阴 =工 :;f f ; L/l r g J 系统处于平衡位置时,有 d EP=0 1 2c Os =0 =60矽 歹 为判定该平衡态的稳定性,作下述运算: 歹 2、 2Si n s i n 2 _(1-2c o s ) 2s i n COs ,99g =2岛- = 争 =饧 舢 o c n4 .阢 os c 0乙 一

25、 歹 2 s i n 3 /99g l o _ 故为稳定平衡态。 (2) (2,1)参考题解图2,为使 爿在B 要求90,故凡可取范围为 (2,2)参考题解图2,有 V/歹r 十/B= 2, B=J2-v 彳 r GOs -v c o s 即得 v :=I c Os v 彳 (1) Co s 微茼可得 曰:=纽 (此日 寸厶 的上方可以朝 下 运动,B在 几 一/ (1分 ) 乙) (4分) 亻的下方可以朝上运动, v d 题解图2 =t ;了 ( = ;% | | v :d :| , 了F亻 | g l -c Os 歹v +- rCo s 1-c Os s 1n 4+ =COS2 亻r v

26、/ c Os 歹 s l n 2 又因 凡= -TLv 彳=争 =笄 塄钅争 丐 = c 。 s v s 1n 可 得 夕 :=c 。 s 3手 +l c s % (2) (3分 ) (3) =2 时,初态和过程态中系统重力势能分别为 冖 忱 剖, =卜叫+气谔 纠 叨 6/13 l -c o s (3,1)初态 z 丿彳=z /:=0,= COS 由动力学方程得 c 。s f 三;讠 L1 II 竺 昭 瓦 婀g =生弓 笋 g + 黑-l )r l 解 得 r 5 2t r 99g =1 302,9,g 再由 ,P叼 =/9Pg +(丬阝 一l )了 =号 币了 聊g =f f f 品 /

27、P9g 3 得 =瑶纩 x 啥,g /J平 %=斜纩 1皙 2 (3,2) =60日寸 阳 一 叨 %=羊%=% 2 结合能量守恒方程,得 :饲 v ;+:阴v ;%阴v ;=2(2-f )昭 %=v 爿 =2-雨 ) =732洄 参考题解图3,有 一 吾 =聊 | T -抑g =啊曰 泞 | : 昭g =昭 曰 : 害 圭 督 爹 骂 牟 +昭 L亏 c s | 丨彐 。s 曰 题解图3 =60 将v ;=2(2- /了 )g , 阴夕 =阴 g 一 吾 代/x , 角 军 彳 寻 艹吧 r 7/13 =4(3v 5-4)饣 g =4.78饣g 再代入 J,g =昭 g 一 丁 和夕= 可得

28、 曰 =-3(2 t -3)g =-l 39g , 曰 =3(25-3)g =l ,39g (3,3)据 (2,1)问解答可知,在z =2 时,1可取为 (4分 ) 几0(除 COS 去90夕 卜), 了 9 =0时必对 应z ,彳=0使 %对 应的 P(0)= 5冖4+2i ;号 ;阝)Jr g =0 由 i F 铮 =群m : ,EPo )=EP四)| 0 可矢 口,不存在900)J尻 使 P(0)=0。 据此商判定v :30的解 取L=2 , 9030对应的势能 万 P()=Vt -4+2c 1竺 )z Pl g 个未知量: z ,、 z :,夕 、 夕 :和 ,引用前面解答中相关公式,

29、可得 =唧 v 彳 (D GOS 补 写 9/13 由 (1)至(5)式求解v 、 v ,四 、 曰 :和 ,如下所述。 z 9、v :的求解: 联立 (1)、 (3)式,可得 (6) z 彳 V: (8) 十 睬 一 丬 卜 帑 =亻丨 :F予:亏号 亏 子 :t 4一 5一三:E里L)g J (7) 验证: =30: =60 : =90D: z 刁=0 z 彳= z ,=0 z =0 z = V =2(25)g 酚 啦 2 艹刚 与 . T l =2f r 号:号:忑了 丐7 4-5-L:钅 f ; L)r /l g 夕 验 证: 柳 卜 击 饵%=岛洲斜 p =60: =4(3t -4)7g 夕=3t (2-、t )g (或3(25-3)g ) =90: =(5-2v t )I/Jg 曰 :=_g 与前面所得结果一致。 彳的求解 : 联立 (2)、 (6)、(9)式 可得 =l -c OS | -2氵 :; i ;f ;丝立 (4-t -2c s )一 c o s | g h (吐 帑 1刂 g COs l -2s +2c o s 2 (9) 9-5t喇瑶 p