2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第8章 解析几何―椭圆

1、学案6 椭圆,返回目录,1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.这 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的 .,两个定点,焦距,考点分析,返回目录,2.椭圆的标准方程和几何性质,-a,a,-b b,-b b,-a,a,x轴,y轴,原点,返回目录,(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b),(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0),2a,2b,(0,1),返回目录,一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1外切，与圆O2： （x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.,【分析】两圆相切时，圆心之间的距离与两圆

2、的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件.,考点一 椭圆的定义,题型分析,返回目录,【解析】 两定圆的圆心和半径分别为O1（-3，0），r1=1；O2（3，0），r2=9.设动圆圆心为M（x，y），半径为R， 则由题设条件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R. |MO1|+|MO2|=10. 由椭圆的定义知，M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a=5，c=3. b2=a2-c2=25-9=16. 故动圆圆心的轨迹方程为 .,返回目录,【评析】平面内一动点与两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a，当2a|F1F2|时，动点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当

3、2a|F1F2|时，轨迹不存在.,对应演练,已知ABC中，A（-1，0），C（1，0），且边a， b，c成等差数列，求顶点B的轨迹方程.,返回目录,设B（x，y），a+c=2b， |BC|+|BA|=4. 又A，C为定点，由椭圆定义知，动点B的轨迹是 以A，C为焦点的椭圆，设其方程为 ， c=1，a=2，b2=3， 椭圆方程为 . 又A，B，C不共线，y0,即x2. 所求B点的轨迹方程为 (x2).,返回目录,返回目录,【分析】利用待定系数法求椭圆方程.,考点二 椭圆的标准方程,（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3 倍，并且过点p(3,0),求椭圆的方程. （2）已知椭圆的中心在原

4、点，以坐标轴为对称轴，且 经过两点P1（ ，1） P2（- ,- ）,求椭圆的方程.,【解析】（1）若焦点在x轴上，设方程为 （ab0）. 椭圆过P（3，0）， . 又2a=32b,a=3,b=1,方程为 . 若焦点在y轴上，设方程为 （ab0）. 椭圆过点P（3，0）， 又2a=32b,a=9,b=3. 方程为 . 所求椭圆的方程为 或 .,返回目录,返回目录,（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m0,n0且mn）. 椭圆经过P1，P2点，P1，P2点坐标适合椭圆方程， 6m+n=1， 3m+2n=1， m= , n= . 所求椭圆方程为,则,两式联立，解得,返回目录,【评析】 运用待定系

5、数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m0,n0,mn），由题目所给条件求出m，n即可.,返回目录,对应演练,根据下列条件分别求椭圆的标准方程： （1）中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为 ， 长轴长为8； （2）椭圆经过点M（-2， ）和N（1，2 ）.,2a=8 a=4 c=2, 焦点可在x轴上,也可在y轴上, 所求椭圆方程为 或 .,返回目录,(1)由已知得,b2=16-4=12.,(2)由已知可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn). 又M(-2, )和M(1,2

6、)在椭圆上, 4m+3n=1 m+12n=1 由解之得m= ，n= . 所求椭圆方程为 .,返回目录,返回目录,自椭圆 (ab0)上一点M向x轴作垂线，恰 好通过椭圆的左焦点F1，且其长轴右端点A及短轴上端点 B的连线AB与OM平行. （1）求此椭圆的离心率； （2）P为椭圆上一点，F2为右焦点，当|PF1|PF2|取最大 值时，求点P的坐标.,【分析】本题涉及等量关系转为不等关系，在与所求量有关的参量上作文章是实现转化的关键，还有离心率的求解问题，关键是根据题设条件获得关于a,b,c的关系式，最后化归为a,c（或e）的关系式，利用方程求解.,考点三 椭圆的几何性质,返回目录,【解析】（1）如

7、图所示，由已知得M（-c, ）. A(a,0),B(0,b), kAB= .由kOM=kAB得b=c. b2=c2. a2-c2=c2,即a2=2c2, e= .,（2）解法一：|PF1|+|PF2|=2a, |PF1|PF2| . 当且仅当|PF1|=|PF2|时，上式取等号. 即|PF1|PF2|的最大值为a2,此时点P的坐标为(0,-b)或(0,b). 解法二：由焦半径公式得： |PF1|PF2|=（a+ex0）(a-ex0)=a2-e2 . (x0为P的横坐标) -ax0a,当x0=0时，|PF1|PF2|取最大值a2,此时点P的坐标为(0,-b)或(0,b).,返回目录,返回目录,【

8、评析】（1）求椭圆离心率的题目大致分为两类：一类利用椭圆定义及性质直接得出离心率e的式子（或与椭圆的统一定义有关） ；另一类利用条件 （题设条件）获得关于a,b,c的关系式，最后化归为关于a,c（或e）的关系式（关于a,c的齐次方程），再依e= 化成关于e的方程，利用方程思想求离心率. （2）求有关最值或范围问题，一般利用椭圆的定义中|PF1|+|PF2|=2a为定值，运用均值不等式或利用焦半径公式或利用椭圆的范围 （有界性） 性质转化为不等式函数问题， 是解析几何中解决最值或范围问 题的常见方法.,返回目录,对应演练,已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF2=60. (1)

9、求椭圆离心率的范围； (2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.,设椭圆方程为 （ab0）, |PF1|=m,|PF2|=n. 在PF1F2中,由余弦定理可知, 4c2=m2+n2-2mncos60.m+n=2a, m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn, 4c2=4a2-3mn.即3mn=4a2-4c2. 又mn =a2(当且仅当m=n时取等号), 4a2-4c23a2, ,即e . e的取值范围是 ,1）.,返回目录,返回目录,(2)证明:由(1)知mn= b2, = mnsin60= b2, 即PF1F2的面积只与短轴长有关.,返回目录,考点四 椭圆方程与性质的应用,如

10、图所示，直线y=kx+b与椭圆 +y2=1交于A，B两点，记AOB的面积为S. （1）求在k=0，0b1 的条件下，S的最大值. （2）当AB=2，S=1 时，求直线AB的方程.,【分析】由条件写出S关于b的函数关系式，利用基 本不等式求S的最值.,返回目录,【解析】（1）设点A的坐标为（x1，b），点B的坐标为（x2，b）， 由 +b2=1，解得x1，2=2 , 所以S= b|x1-x2| =2b =2 b2+(1-b2)=1, 当且仅当b= 时，S取得最大值1.,y=kx+b， +y2=1， （k2+ ）x2+2kbx+b2-1=0， 则=4k2-b2+1， |AB|= |x1-x2|=

11、=2. 设O到AB的距离为d，则d= =1， 又因为d= ，所以b2=k2+1， 代入式并整理，得k4-k2+ =0，,返回目录,（2）由,得,解得k2= ，b2= ， 代入式检验，0, 故直线AB的方程是 y= x + ,或y= x- , 或y=- x+ ,或y=- x- .,返回目录,【评析】圆锥曲线中的最值问题是高考中的重要题型,其解法主要有定义法、图象法、基本不等式法、切线法等，本例是用基本不等式法解决的.,返回目录,对应演练,已知F1，F2是椭圆 （ab0）的左、右焦 点，P是椭圆上一点，且F1PF2=90,求椭圆离心率 的最小值.,解法一：如图所示，F1PF2=90, F1BF29

12、0, OBF245. e= =sinOBF2sin45= ,椭圆离心率的最小值为 .,返回目录,返回目录,解法二：利用余弦定理. F1BF290,cosF1BF2= 0 , 即a22c2,e= ， 则椭圆离心率的最小值为 . 解法三：利用基本不等式. 设|PF1|=m，|PF2|=n，m2+n2=4c2. 又2a=m+n，4a2=m2+n2+2mn2(m2+n2)=8c2,即 a22c2,e= . 则椭圆离心率的最小值为 .,返回目录,1.椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a+c，最小距离为a-c. 2.过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短 的弦，而且它的长为 .把这个弦叫椭圆的通径. 3.求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b