2011高考数学北师大版一轮复习：1.4《二次函数与简单的幂函数》

1、第四节 二次函数与简单的幂函数,1二次函数的三种表示形式 (1)一般式：f(x) (2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(k，h)，则其解析式为f(x) (3)两根式：若二次函数图像与x轴的交点坐标为(x1,0)，(x2,0)，则其解析式为f(x) ,ax2bxc(a0),a(xk)2h(a0),a(xx1)(xx2)(a0),知识整合,2二次函数的图像和性质,R,R,单调增,单调减,偶函数,非奇非偶函数,开口方向,3.幂函数的定义 形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是 ，为 ,问题释疑: 幂函数与指数函数有何不同？ 【提示】 本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函

2、数的自变量在指数位置,自变量,常数,1若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)是( ) Af(x)x21 Bf(x)5x2 Cf(x)x2 Df(x)x2 【解析】 形如f(x)xd的函数是幂函数，其中d是常数 【答案】 D,活学巧用,2设 ，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有值为( ) A1,3 B1,1 C1,3 D1,1,3 【解析】 yx1的定义域为(，0)(0，)， 1不合题意排除B、C、D，故选A. 【答案】 A,3若函数f(x)(m1)x2(m21)x1是偶函数，则在区间(，0上，f(x)是( ) A增函数 B减函数 C常数函数 D可能是增函数，也可能是常数函数 【解析

3、】 f(x)为偶函数，m210，即m1. 当m1时，f(x)1为常数函数； 当m1时，f(x)2x21，在(，0上为增函数 【答案】 D,4拋物线y8x2(m1)xm7的顶点在x轴上，则m_. 【解析】 因 0， 48(m7)(m1)20. m9或25. 【答案】 9或25,5设函数yf(x)的图像关于直线x1对称，若当x1时，yx21，则当x1时，y_.,【解析】 首先作出当x1时，y=x2+1的图像，如图所示，则关于x=1与之对称部分仍是拋物线，顶点为(2,1)，于是当x1时，y=(x-2)2+1，即y=x2-4x+5. 【答案】 x2-4x+5,幂函数的定义,例1 已知函数f(x)(m2

4、m1)x5m3，m为何值时，f(x)： (1)是幂函数； (2)是幂函数，且是(0，)上的增函数； (3)是正比例函数； 【思路点拨】 (1)(3)分别利用相应函数的定义确定m的值，(2)中利用幂函数的性质与幂指数之间关系，确定m.,感悟高考,【解析】 (1)f(x)是幂函数，故 m2m11，即m2m20， 解得m2或m1. (2)若是幂函数且又是(0，)上的增函数， 则5m30，即m ， m2(舍去)，故m1. (3)若f(x)是正比例函数，则5m31， 解得m ， 此时m2m10，故m .,二次函数的最值,例2:已知f(x)x2ax(a0)在区间0,1上的最小值为g(a)，求g(a)的最大

5、值,注: (1)含有参数的二次函数的最值问题，因其顶点相对于定义域区间的位置不同，其最值状况也不同，所以要根据二者的相关位置进行分类讨论 (2)本题是“定”二次函数，“动”区间，依照此法也可以讨论“动”二次函数，“定”区间为二次函数问题,1函数f(x)x24x4在闭区间t，t1(tR)上的最小值记为g(t) (1)试写出g(t)的函数表达式； (2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值 【解析】 (1)f(x)x24x4(x2)28. 当t2时，f(x)在t，t1上是增函数， g(t)f(t)t24t4； 当t2t1，即1t2时，g(t)f(2)8； 当t12，即t1时，f(x)在t，t1上

6、是减函数， g(t)f(t1)t22t7.,从而g(t)= (2)g(t)的图象如图所示 g(t)的最小值为-8.,二次函数的综合问题,例3:已知函数f(x)ax2bx(a0)满足条件f(x5)f(x3)，且方程f(x)x有等根 (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在实数m、n(mn)，使f(x)的定义域和值域分别是m，n和3m,3n？如果存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由,f(x)在m，n上为增函数，f(m)3m，且f(n)3n，m，n是方程f(x)3x的两个不等根， x2x3x，则x24x0，解得x0或4，mn m4，n0.,注: 本题由f(x5)f(x3)知道f(x)关于x1对称，若f(ax)f(bx)，则f(x)关于x 对称， 若f(xa)f(xb)，则f(a)为周期函数；其周期为ab.,2已知函数f(x)ax24xb(a0，a、bR)，设关于x的方程f(x)0的两实根为x1、x2，方程f(x)x的两实根为、. (1)若|1，求a、b的关系式； (2)若a、b均为负整数，且|1，求f(x)的解析式,精练解析,二次函数是高考的热点问题，其考查形式多以选择、填空形式出现，其难度为中档题，在考查时易与不等式、集合、结合考查 1若函数y(x1)(xa)为偶函数，则a等于( ) A2 B1 C1 D2 【解析