2013年数学高考备考二轮复习核心考点五 第13课时 直线与圆

1、核心考点五 解析几何、选考内容,第 13 课时 直线与圆,1(2012 年广东)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 3x4y 50 与圆 x2y24相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长等于,（ ）,解析：圆 x2y24的圆心O(0,0)到直线3x4y50的距,B,2(2012 年浙江)设 aR，则“a1”是“直线 l1：ax2y,10 与直线 l2：x(a1)y40 平行”的(,),A充分不必要条件 C充分必要条件,B必要不充分条件 D既不充分也不必要条件,解析：当 a1 时，直线l1：x2y10，直线l2：x2y 40，则 l1l2；若l1l2，则有a(a1)210，即a2a 20，解得，

2、a2 或 a1，所以不能得到 a1，故选 A.,A,3.(2010 年广东)若圆心在 x 轴上、半径为 的圆 O 位于 y轴 左侧，且与直线 xy0 相切，则圆 O 的方程是_,(x2)2y22,直线和圆都是最常见的简单几何图形，在实际生活和生产 实践中有广泛的应用，同时是平面解析几何学的基础知识，是 进一步学习圆锥曲线以及其它曲线方程的基础,从近几年的高考试题来看，直线和圆更多是与圆锥曲线一 起命题，独立命题最多一道选择或填空题，主要集中在两直线 的位置关系、求圆的方程及直线与圆的位置关系上预计2013 年高考对本章的要求不会有太大的变化,求圆的方程 例 1：(1)求经过点 A(5,2)，B

3、(3,2)，圆心在直线 2xy3 0 上的圆的方程 (2)设圆上的点 A(2,3)关于直线 x2y0 的对称点仍在这个,，求圆的,圆上，且该圆与直线 xy10 相交的弦长为 方程,解：(1)方法一：从数的角度，选用标准式 设圆心P(x0，y0)，则由|PA|PB|， 得(x05)2(y02)2(x03)2(y02)2.,圆的标准方程为(x4)2(y5)210.,圆的方程为x2y28x10y310.,方法二：从数的角度，选用一般式 设圆的方程为x2y2DxEyF0，,(2)设点A关于直线x2y0的对称点为A， 点A仍在圆上，AA为圆的弦 AA的对称轴x2y0过圆心 设圆心P(2a，a)，半径为R

4、. 则R2|PA|2(2a2)2(a3)2.,【思维点拨】研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运 用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算 量总之，要数形结合，拓宽解题思路与弦长有关的问题经 常需要用到点到直线的距离公式、勾股定理、垂径定理等,【配对练习】,1(2011 年辽宁)已知圆 C 经过 A(5,1)，B(1,3)两点，圆心 在 x 轴上，则 C 的方程为_,(x2)2y210,直线与圆的位置关系,例 2：一直线经过点 P,被圆 x2y225截得的弦,长为 8，求此弦所在直线方程 思路分析：利用圆中“半径、半弦、弦心距”构成直角三角形 可解 解：(1)当斜率 k 不存在时

5、， 过点 P 的直线方程为 x3， 代入 x2y225，得y14，y24.,弦长为|y1y2|8，符合题意 此弦所在直线方程为x30.,【思维点拨】关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、弦 心距、半弦所组成的直角三角形求解，也可用代数法的弦长公 式求解本题还要注意，斜率不存在时，直线 x30 符合题 意,【配对练习】 2(2012 年陕西)已知圆 C：x2y24x0，l 为过点 P(3,0),的直线，则(,),Al 与 C 相交 Cl 与 C 相离,Bl 与 C 相切 D以上三个选项均有可能,解析：圆的方程可化为(x2)2y24，其圆心为(2,0)半径 为 2，圆心到点 P 的距离为 1，点 P

6、 在圆内直线与圆相 交，故选 A.,A,圆与圆锥曲线的结合,例 3：(2012 年湖南)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的点均 在 C2：(x5)2y29外，且对 C1 上任意一点 M，M 到直线 x 2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值,(1)求曲线 C1 的方程；,(2)设 P(x0，y0)(y03)为圆 C2 外一点，过 P 作圆 C2 的两,条切线，分别与曲线 C1 相交于点 A，B 和 C，D.,证明：当 P 在直线 x4 上运动时，A，B，C，D 四点的,纵坐标之积为定值,(1)解法一：设点 M 的坐标为(x，y)，由已知，得,易知圆 C2 上的点位于直线 x2 的

7、右侧， 于是 x20，,化简，得曲线 C1 的方程为 y220 x.,解法二：由题设知，曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C2(5,0) 的距离等于它到直线 x5 的距离，因此，曲线 C1 是以(5,0) 为焦点，直线 x5 为准线的抛物线，故其方程为 y220 x.,y0k(x4)，即 kxyy04k0.于是,3.,整理得 设过点 P 所作的两条切线 PA，PC 的斜率分别为 k1，k2， 则 k1，k2是方程的两个实根，故,(2)证明：当点P在直线x4上运动时，P的坐标为(4， y0)，又y03，则过点P且与圆C2相切，知：直线的斜率k存 在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方

8、程为y,k1y220y20(y04k1)0. 设 A，B，C，D 的纵坐标分别为 y1，y2，y3，y4，则,.,同理可得,.,于是由，三式，得,【思维点拨】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关 系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数 学思想方法第一问可用直接法或定义法求出曲线的方程；第 二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程 根与系数的关系得到 A，B，C，D 四点纵坐标之积为定值，体 现“设而不求”思想,【配对练习】,3设平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f(x)x22x b(xR)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆 记为 C.求：,(

9、1)求实数 b 的取值范围； (2)求圆 C 的方程；,(3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)？请证明你的,结论,解：(1)令 x0，得抛物线与 y 轴的交点是(0，b) 令f(x)x22xb0，由题意知：b0 且0， 解得 b1 且 b0.,(2)设所求圆的一般方程为 x2y2DxEyF0， 令 y0，得 x2DxF0，这与x22xb0是同一个,方程，故 D2，Fb.,令 x0，得y2EyF0，此方程有一个根为 b，代入得,出 Eb1.,圆 C 的方程为 x2y22x(b1)yb0.,(3)圆 C 必过定点(0,1)和(2,1),证明如下：将(0,1)代入圆 C 的方程，得 左边021220(b1)b0， 右边0，,圆 C 必过定点(0,1),同理可证圆 C 必过定点(2,1),1判断直线与圆的位置关系有两种方法：,(1)几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判