工程物理-第三章连续体力学

1、3-1 刚体的定轴转动,3-2 刚体的形变和弹性,3-3 理想流体及其运动,第三章 连续体力学,刚体的转动,刚体的定轴转动的角量描述,刚体定轴转动定律,刚体转动的动能定理,角动量守恒定律,一、刚体的运动平动、转动,刚体：在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的 形状和体积的改变的理想模型。,平动：,刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。可用刚体中任意点运动代表。,刚体的定轴转动的角量描述,转动：对点、对轴（只讨论定轴转动）,既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动,定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。各质元的线量一般不同（因为半径不同）但角量（角位移、角速度

2、、角加速度）都相同。,刚体内所有质元都绕同一直线作圆周运动。,转轴,二、定轴转动的角量描述,各质元的线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。,描述刚体整体的运动用角量最方便。,常规定：逆时针方向为正。,刚体运动学中所用的角量关系：,定轴转动角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。 只有两个方向，用标量处理。,常规定：逆时针转，d0,0 顺时针转，d0,0,在刚体作匀变速转动时，相应公式:,刚体定轴转动角量与线量的关系：,v= r at = r an= r2,刚体定轴转动的转动定律,作为一类特殊的质点系，同样遵守角动量定理,由于转动轴的约束，只需考虑外力矩在

3、转轴方向的投影分量。 因此上式中力矩及角动量是指该刚体相对于固定转动轴而言的。,任何一个矢量可以分解为两个矢量之和，我们的问题中，首先将外力矩分解为平行于转轴和垂直于转轴的两部分,参考平面,(2),O,根据定义，将位置矢量与力也向两个方向分解,两者作叉乘得,显然，其中第一项沿着转轴方向，最后一项为0，而中间两项垂直于转轴，即,再来看角动量的分解，因为在定轴转动过程中，任意质点的速度方向总垂直于转轴,前一项为垂直于转轴的分量，后一项平行于转轴。显然，垂直分量变化仍然垂直于转轴，而平行分量的变化只沿着转轴，当然引起这种变化的力矩除了,参考平面,O,该质点所受外力矩，还有内力矩、及转轴的力矩。而转轴

4、力矩总是垂直于转轴的！将所有力矩求和，有,我们的问题中只考虑在转轴方向上的变化，得,一、力对转轴的力矩,力在参考平面内：,刚体定轴转动的转动定律,如此求出的力矩只有沿着转动轴的分量，而垂直于转轴的力矩分量可以认为被转轴的力矩抵消了。,力不在参考平面内：,二、刚体对转动轴的角动量 现在计算角动量，也是只需要计算在转动轴方向的投影分量。按定义,其中ri为第i个质点在参考平面内相对于转轴所在点的位置矢量！ （注意：质点系角动量定理中的ri为质点相对于参考系原点的位置矢量，两者不同） 这样做之所以正确正是由于力矩的垂直于转轴的分量被抵消，不会影响角动量的垂直分量。,则角动量定理表示为,其中,再定义转动

5、惯量,则,m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性,力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。,力矩对时间的积累冲量矩,三、转动惯量,与转动惯量有关的因素： 刚体的质量 转轴的位置 刚体的形状，即质量分布,若质量连续分布,在（SI）中，J 的单位：kgm2,刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。,1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解:,J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。,注意,只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量,例,例2、求质量为m、半径为R

6、、厚为l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为r宽为dr 厚l的圆环,可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。,例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解：取如图坐标，dm=dx =m / L,前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：,推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：JJCm d2。,这个结论称为平行轴定理。,平行轴定理,例如： 右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、圆半径为

7、R）,例、一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。,Mg,解：,四、刚体定轴转动的转动定律的应用,例2、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力N为多大？(=0.46),解：飞轮制动时有角加速度,外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。,例3、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由

8、此下摆角时的角加速度和角速度。,解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。 棒上取质元dm,当棒处在下摆角时，重力矩为：,应用角动量守恒定律的两种情况：,1、转动惯量保持不变的单个刚体：,2、转动惯量可变的物体：,动量守恒 角动量守恒 能量守恒,特点和优点：不追究过程细节而能对系统的状态下结论。,意义：守恒定律的发现、推广和修正能推动人们深入认识自然界。,守恒定律,时空对称性,动量守恒定律 角动量守恒定律 能量守恒定律,空间平移对称性 空间转动对称性 时间平移对称性,三、守恒定律的意义及其应用,1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子

9、弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l,质量为M.,解:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹有:,子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：,因, 由两式得,例,请问:子弹和棒的总动量守恒吗? 为什么?,总角动量守恒吗?若守恒,其方程应如何写?,例2、质量分别为M1、M2,半径分别为R1 、R2的两均匀圆柱,可分别绕它们本身的轴转动,二轴平行。,原来它们沿同一转向分别以10，20的角速度匀速转动,然后平移二轴使它们的边缘相接触,如图所示.求最后在接触处无相对滑动时,每个圆柱的角速度1，2。,二圆柱系统角动量守恒故有,对上述问题有以下的解法:在接触处无相对滑动时,二圆柱边缘的线速度一样,故有,由以上二式就可解出1，

10、2。这种解法对吗?,答：原解认为系统的总角动量为二圆柱各自对自己的轴的角动量之和是错误的，因为系统的总角动量只能对某一个轴进行计算。另当两柱体边缘没有相对滑动时1，2方向相反，所以应为,正确的解法应对两圆柱分别使用角动量定理，由于两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反,力矩和冲量矩的大小正比于半径,方向相同:,由此可解得:,例3、飞轮（匀质圆盘），质量M、半径R，绕过其中心且与盘面垂直的水平轴以角速度0转动，某时突然一质量m的小碎片从边缘裂开，速度竖直向上。求余下部分的角速度和角动量。,解：破裂过程中，碎片和轮余下部分总外力矩为零，角动量守恒： J00=J+mv0R (1) 碎片飞出的初速度v0=

11、 R J0=MR2/2, J=MR2/2 mR2 代入（1）式，得 (MR2/2) 0 = (MR2/2 mR2) +mR2 0 L=J = (MR2/2 mR2) ,刚体转动的动能定理,一、力矩的功（对定轴转动）,称为力矩的功。,力矩作功是力作功的角量表达式,二、转动动能,刚体上所有质元的动能之和为：,三、刚体定轴转动的动能定理,刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力矩做功的效果来解释。,上式即为：,例、一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。,解：据机械能守恒定

12、律：,上次的例题另解如下：,例,例2、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状态下摆,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度h。,c,hc,h,h=3h0/2,b,令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为v。由角动量守恒，有,在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的:,二式联立解得：,碰撞后按机械能守恒，摆锤达到的高度显然为,而杆的质心达到的高度满足,由此得,解:碰撞前单摆摆锤的速度为,3-2 固体的形变和弹性,一 、固体的弹性形变 1 形变 2 形变的分类 弹性形变（线性、非线性、滞弹性） 塑性

13、形变（永久性变形） 3 弹性形变的基本类型,（1）长变：,(2)剪切,（3）体变（容变）,二 、应力与应变 1、 弹性体的特征 （1） 连续、均质、变形量小 （2） 质点间可发生相对运动 （3） 内力与外力,2 、应力的定义 (1)均匀受力,横截面上所受的力,倾斜截面上应力,(2)非均匀受力,(3)受力的分类 正应力（张应力、压应力） 切应力,3、描述应力的物理量 (1)长变,张应变（拉伸应变）,压缩应变,(2)切变,切应变,:剪切角,四 、应力与应变的线性关系（胡克定律） 1 长变 （1）公式： （2）意义 ：,（3）应力-应变曲线,应变,测量杨氏弹性模量的实验装置：,2、切应变,扭摆,例1

14、 一长为3m的钢丝，横截面积为0.2c，在钢丝的下端悬挂一重为500kg的重物，此时钢丝比没有负荷时伸长了0.004m，求此钢丝材料的应力、应变和弹性模量。,五、 纵波沿棒中传播 1 模型,x是用来标志位置的，y(x)为该点的位移。,2 质元受力分析 （1） 平衡状态,（2） 非平衡状态,此质元的动力学方程为,纵波是推进波，地壳中传播速度为557千米秒，最先到达震中，又称P波，它使地面发生上下振动，破坏性较弱。横波是剪切波：在地壳中的传播速度为3.24.0千米/秒，第二个到达震中，又称S波，它使地面发生前后、左右抖动，破坏性较强。,3-3 理想流体及其运动,一.理想流体的基本特征 1.流动性

15、2.密度不可压缩的流体 3.忽略粘滞性 只研究流体的流动性。,二研究流体运动的方法 1.牛顿拉格朗日法要点 沿用质点组动力学方法 取微元 求各微元的运动轨迹 2欧勒法 研究流速场 流体中每点有流速,流线,流管,三 、流量及其计算 1 、体积流量与质量流量 2 、均匀流量,3 、非均匀流量,质量流量,4、通量,三、 连续性原理 单位时间内，流出任意封闭曲面的流体质量等于该闭合曲面内流体质量增量的负值：,微分形式为,1定常流动 （1）定性描述 空间任一点的流速不随时间变化流线分布图样不随时间变化,（2）定量描述 当 ，通过封闭 面的质量流量Qm=0,2、 非均匀流体的小流管,3、对理想流体,4 、方程的意义 （1）流体的速率与流管的截