二次函数的应用

1、二次函数的应用【知识要点】 1用二次函数顶点公式是如何表示函数最值的？ 2你能用配方法求二次函数最值吗？ 3对于实际经营问题，面积问题你通常用哪些方法求解？* 4.知道怎么用判别式来求解最值吗？相对上面两种方法，它有什么优点？* 5.当自变量有取值范围时，如何求函数最值？【典型例题】# 例1 某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。设每件涨价元（为非负整数），每星期的销量为件求与的函数关系式及自变量的取值范围；如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是

2、多少？ # 例2 有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。（2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。（2）该经销商将这批蟹放养

3、多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额收购成本费用），最大利润是多少？# 例3 随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？# 例4 现有一块矩形场地，如图所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：兰花；菊花；月季；牵牛花ABCDx304

4、0x（1）求出这块场地中种植菊花的面积与场地的长之间的函数关系式；求出此函数与轴的交点坐标，并写出自为量的取值范围Ox（长：m）y（面积：m2）（2）当是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？请在格点图中画出此函数图象的草图（提示：找三点描出图象即可）例5 ，已知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t2时，判断BPQ的形状，并说明理由；（2）设BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式

5、；（3）作QR/BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，APRPRQ？* 例6 启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量是10万件。为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x(万元)时，产品的啊销售量将是原销售量的y倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元；（2）把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资额和预计年收益如下表：项目ABCDEF每

6、股（万元）526468收益（万元）0.550.40.60.50.91如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目。* 例7 如图，已知二次函数的图像经过三点A，B，C，它的顶点为M，又正比例函数的图像于二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点。求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；已知点E，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量的取值范围；当时，求四边形PCMB的面积的最小值。【参考公式：已知两点，则线段DE的中点坐标为】* 例8 如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB

7、7，CD1，ADBC5点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MNAB，MEAB，NFAB，垂足分别为E，FCDABEFNM（1）求梯形ABCD的面积； （2）求四边形MEFN面积的最大值 （3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由 【大展身手】# 1.一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份为了便于结算，每份套餐的售价x(元)取整数，用y(元)表示该店日净收入(日净收入每天的

8、销售额套餐成本每天固定支出)(1)求y与x的函数关系式；(2)若每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？(3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？# 2.我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元件的工艺品投放市场进行试销经过调查，得到如下数据：销售单价（元件）30405060每天销售量（件）500400300200 （1）把上表中、的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与的函数关系，并求出函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，

9、工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）10 20 30 40 50 60 70 80 1002003004005006007008000（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？ 3.某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元经调查，种植亩数（亩）与补贴数额（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益（元）会相应降低，且与之

10、间也大致满足如图2所示的一次函数关系图1x/元501200800y/亩O图2x/元10030002700z/元O（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益（元）最大，政府应将每亩补贴数额定为多少？并求出总收益的最大值4.某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，CFE、ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成CFE、ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、

11、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？(2)ADFBEC(1)EFGHABDC* 5.究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为（吨）时，所需的全部费用（万元）与满足关系式，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系（注：年利润年销售额全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（

12、万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？* 6.如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰PQR中，QPR=120，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰PQR重合部分的面积记为S平方厘米（1）当t=4时，求S的值（2）当，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值* 7.如图所示，在平面直角坐标系中二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P，与x轴交点为 A、B，与y轴交点为C连结BP并延长交y轴于点D.(1)写出点P的坐标