高等数学作业（专升本）答案

1、高等数学作业答案（专升本）第一章函数作业（练习一）参考答案 一、填空题设，则。解：设，则，得故。2函数的定义域为，则的定义域是。解：要使有意义，必须使，由此得定义域为。3.设，则 .解：因为所以4设，则函数的图形关于对称。解：的定义域为 ，且有即是偶函数，故图形关于轴对称。5若，则.解： 。二、单项选择题下列各对函数中，（）是相同的。A.；B.；C.；D.解：A中两函数的对应关系不同, ， B, D三个选项中的每对函数的定义域都不同，所以A B, D都不是正确的选项；而选项C中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项C正确。设函数的定义域为，则函数的图形关于（）对称。A.yx；B.x轴；C.y

2、轴；D.坐标原点解：设，则对任意有即是奇函数，故图形关于原点对称。选项D正确。3设函数的定义域是全体实数，则函数是（）A.单调减函数； B.有界函数；C.偶函数； D.周期函数解：A, B, D三个选项都不一定满足。设，则对任意有即是偶函数，故选项C正确。4函数（ ） A.是奇函数； B. 是偶函数；C.既奇函数又是偶函数； D.是非奇非偶函数。解：利用奇偶函数的定义进行验证。 所以B正确。5若函数，则（ ） A.；B. ；C.；D. 。解：因为，所以则，故选项B正确。6设 ，则=（ ）A x Bx + 1 Cx + 2 Dx + 3解 由于，得 将代入，得=正确答案：D 7 下列函数中，（

3、）不是基本初等函数A B C D 解 因为是由，复合组成的，所以它不是基本初等函数正确答案：B 8设函数，则=（） A= B C D= 解 因为，故 且 ， 所以正确答案：C9. 下列各对函数中，（）中的两个函数相等.A. 与 B. 与C. 与 D. 与解： A 10下列各函数对中，（）中的两个函数相等 A， B，+ 1 C， D，解：D三、解答题1设，求：(1) 的定义域； (2) ，。解 (1) 分段函数的定义域是各区间段之和，故的定义域为 (2) 时， ， 时， 2. 设 , 求复合函数。解: , 3（1） ()；解: 为偶函数.（2）；解: , 为奇函数.（3） 解: ,为奇函数.4已

4、知，求的定义域解. , 故的定义域为第二章极限与连续作业（练习二）参考答案一、填空题 极限。解：注意：（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量），其中=1是第一个重要极限。2.已知，则_, _。由所给极限存在知, , 得, 又由, 知3.已知时，与是等价无穷小，则常数= 解. 4.已知 在处连续，则= 解. , , 由, 可得5.函数的可去间断点为 ，补充定义 ，则函数在处连续.解. 当时没有定义, 又, 为无穷间断点; 而, 为可去间断点, 补充, 可为连续点.7当k 时，在处仅仅是左连续解 因为函数是左连续的，即 若 即当1时，在不仅是左连续，而且是连续的所以，只有当时，在仅仅是左连续的二、单项

5、选择题函数在点处（）A.有定义且有极限； B.无定义但有极限；C.有定义但无极限； D.无定义且无极限解：在点处没有定义，但（无穷小量有界变量=无穷小量）故选项B正确。2已知，其中,是常数，则（ ）(A) , (B) (C) (D) 解. , 答案：C3下列函数在指定的变化过程中，（）是无穷小量。A.； B.；C. ；D.解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以而A, C, D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。4下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ）(A); (B);(C)； (D)解. , 故不选(A). 取, 则, 故不选(B). 取, 则, 故不选(D). 答

6、案：C 5下列命题正确的是（ ）(A) 定义在上的一切偶函数在处一定连续;(B) ,在点处都不连续，则在处也一定不连续;(C) 定义在上的一切奇数函数在处不一定连续;(D) ,在点处都不连续，则+在处一定不连续解. 是偶函数, 在处不连续, 故不选(A); , 显然在处都不连续,但在处连续, 故不选(B); (D)显然错的.6.的（ ）.（A）可去间断点 （B）跳跃间断点（C）无穷间断点 （D）振荡间断点解：7. 设在处间断，则有（ ）(A) 在处一定没有意义；(B) ; (即)；(C) 不存在，或；(D) 若在处有定义，则时，不是无穷小答案：D8函数 在x = 0处连续，则k = () A-

7、2 B-1 C1 D2 答案： B9.若，为无穷间断点，为可去间断点，则（ ）.（A）1 （B）0 （C）e （D）e-1解：由于为无穷间断点, 所以, 故. 若, 则也是无穷间断点. 由为可去间断点得.故选(C).10函数的连续区间是（ ）A BC D答案：D三、计算应用题1计算下列极限（1） （2） （3） （1）解 对分子进行有理化，即分子、分母同乘，然后利用第一重要极限和四则运算法则进行计算即 = = （2）解 将分子、分母中的二次多项式分解因式，然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义进行计算即 （3）解 先通分，然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义进行计算即 = 2.设

8、函数 问（1）为何值时，在处有极限存在？（2）为何值时，在处连续？解：（1）要在处有极限存在，即要成立。因为所以，当时，有成立，即时，函数在处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时可以取任意值。（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是 于是有，即时函数在处连续。3. 已知，求常数解. 4求解. 又, 故5已知，试确定和的值解. ,即,故6设，求的间断点，并说明间断点的所属类型解. 在内连续, , , 因此, 是的第二类无穷间断点; , 因此是的第一类跳跃间断点.7讨论的连续性。解. , 因此在内连续, 又, 在上连续.第三章微分学基本理论作业（练习

9、三）参考答案一、填空题1.设在处可导，则解 2设，则。解：，故3. 设, 则4 解：15. 函数的定义域为 。解：函数的定义域为满足下列不等式的点集 或 解得 的定义域为6已知 ，则f(x,y)= 。解：令 （1） （2）由（2）式解得，代入（1）式得有则7.由方程确定的函数z=z（x,y）,在点（1，0，-1）处的全微分dz= 。解 8.设，其中可微，则= 。解 9.设，其中由确定的隐函数，则 。解 ，时，10.设具有二阶连续导数，则 。解:二、选择题1已知，则( D )(A) 1； (B) 任意实数； (C) 0.6 ； (D) -0.6解 2下列结论中（ ）不正确. A在处连续，则一定在

10、处可微. B在处不连续，则一定在处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D若在a，b内恒有，则在a，b内函数是单调下降的.解 因为函数在一点处连续并不能保证在该点处可导，所以，正确答案：A3设函数 则在点处（ C ）(A) 极限不存在； （B）极限存在但不连续(C) 连续但不可导； (D) 可导解 ,在点处连续, 但不存在， 在点处不可导4设, 其中在处可导，则是的（ B ） (A) 连续点 (B) 第一类间断点(C) 第二类间断点 (D) 连续点或间断点不能确定解 ，是的第一类间断点。5.设函数具有二阶导数，（ ）.（A） （B）（C） （D）解：故应选(C).6函数的定义域为（

11、 ）A BC D解：z的定义域为： 选D7二重极限（ ）（A）等于0 （B）等于1 (C) 等于 （D）不存在 D）解：与k相关，因此该极限不存在8有且仅有一个间断点的函数是（ ）（A） （B） （C） （D）arctanxy解A. 在时无定义，它有间断线； B. 在时无定义，即在（0，0）无定义，它有一个间断点； C. 在=0时无定义，即在直线上均无定义；D.无间断点，选B。9.利用变量替换，一定可以把方程化为新的方程（ ）(A) (B) (C) (D)解z是x，y的函数，从，可得，故z是u，v的函数，又，故z是x,y的复合函数，故，从而左边=因此方程变为： 选A10,则在点（2，）处的值为

12、（ ）（A） （B）（）3 （C）（）2 （D）1 解 选C三、求解下列各题1求下列函数的导数：（1）解：（2）解：=。（3） 解：（4）解：2.设 ，已知在处连续可导，试确立并求解 ，在处连续，即。当时，当时，当时，故。3下列各方程中是的隐函数的导数（1），求。解： 整理得 （2）设, 其中具有二阶连续偏导数, 求.解: ,.4求下列极限（1） 解（2） 解（3） 解不存在。当P沿着直线时，当P沿着直线（k为任意数），=所以不存在5设u=zaxtan,求证：。证：，所以。6设讨论f(x,y)在（0，0）（1）.偏导数是否存在。 （2）.是否可微。（1）解：同理可得，偏导数存在。（2）若函数f

13、在原点可微，则应是较高阶的无穷小量，为此，考察极限，由前面所知，此极限不存在，因而函数f在原点不可微。第四章微分学应用作业（练习四）参考答案一、填空题1.已知在处取极值，则 .解：因为 显然, 2函数的驻点是，单调增加区间是，单调减少区间是，极值点是，它是极值点.解：,小 3.函数的极值点有 。解 不是 不是 是 不是 不是4.函数的可能极值点为 和 。 解 ，不是，不是 不是 负定，极大值 （，）5.设则. 解：因为，故二、选择题1 若在（a ,b）内可导,则至少存在一点，使（ ）(A) (B) (C) (D) 解：选(D).2若，在内则在内（ ）.(A) (B) (C) (D) 解：选(C

14、).3设有二阶连续导数，且则（ ）.(A) 是的极大值； (B) 是的极小值；(C) （0，）是曲线的拐点；(D) 不是的极值，（0,）也不是曲线的拐点.解：选(B).4.设的某个邻域内连续，且，则在点处（ ）.（A）不可导 （B）可导，且 （C）取得极大值 （D）取得极小值解：因为, 则在的邻域内成立, 所以为的极小值.故选(D).5.设函数是大于零的可导函数，且，则当时，有（ ）.（A） （B）（C） （D）解：考虑辅助函数6如果点有定义且在 的某邻域内有连续二阶偏导，=B2-AC，A=，B=，C=，则当（ ），在 取 极大值。（A）0,A0 (B)0 （C）0,A0,A 1, |A| =

15、 d,则|A|= . 答案：d ; 2.行列式第四行元素的代数余子式之和= .答案： 0 .3.设，则元素 -4的余子式M23= ，元素2的代数余子式A12= .答案：a-10, -20. 4. =0，则a=1或= 。 解：由对角线法则，=a33a+2=(a1)2(a+2)=0时，故a=1或a=2。5. 若阶矩阵的行列式为是的伴随矩阵,则_.答案： 6.A为n阶方阵（n2）若R（A）=1，则R（）= . 若R（A）= n，则R（）= .答案：0，n 7.设A与B均可逆，则C =也可逆，且. 答案： ; 8.设，且，则X = .答案： 9设为两个已知矩阵，且可逆，则方程的解.解答：因为方程可写为

16、：，故知填写：。10矩阵的秩为解答：将矩阵化成阶梯形，可知填写：2。二、单选题1. 若,则的值为( ) (A) 12 (B)-12 (C)18 (D) 0解答： (A) 2.已知，则|A|中x的一次项系数是 . ( A ) 1; ( B ) -1; ( C ) ; ( D ) -. 解答： D; 3. 行列式= a1na2n1an1 (A) 1 (B) n (C) (D) 解：将第n列依次与n1列，n2列，第1列交换，再将所得行列式的第n列依次与n1列，n2列，第2列交换，故=(1)(n1)+(n2)+1 =a1n a2n1an1 故，正确答案为(D)。4.A,B为n阶矩阵，则下列结论正确的是

17、（ ）.（A） （B） （C） （D）. 解答：D5设A为矩阵，B为矩阵，C为矩阵，则下列运算中（ ）可以进行 A B C D解答：选B。矩阵相乘，前面矩阵的列数要等于后面矩阵的行数。6. 矩阵其中则( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解答： (A) 7. 均为阶矩阵,且,则必有( )(A) (B) (C) (D) 解答：(D) 8.要断言矩阵A秩为r ,只须条件 满足即可. ( A ) A中有r阶子式不为0; ( B ) A中任何r + 1阶子式为0；( C ) A中不为0的子式的阶数小于等于r; ( D ) A中不为0的子式的最高阶数等于r. 解答： D ; 9矩阵的秩是

18、（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解 化成阶梯形矩阵后，有3个非0行，故该矩阵的秩为3正确答案：C10.A为3阶矩阵，,则（ ）.（A） （B）2 （C） （D）0正确答案：B 三、求解下列各题1计算下列行列式：（1），解：（2），其中 （3）解：（4），其中解：2证明：（1）证：（2）证明：按最后一行展开得到 2设矩阵 ，求矩阵A解 因为 所以 3 已知矩阵，求常数a，b 解 因为 所以 ，得b = 2 第九章 向量组的线性相关性作业（练习九）参考答案一、填空题 1. 向量,其内积为_.答案： 2.当k = 时，向量与向量的，内积为2. 答案：3. n阶方阵A的列向量组线性无关的

19、充要条件是 .答案：r=n,或|A|0; 4. 已知矩阵等式AB=C，则矩阵C的行向量组必可由矩阵 的行向量组线性表示.答案：.B; 5. 给定向量组，若线性相关，则a，b满足关系式 .答案：a-2b=0 6. 已知向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示，则r(I)与r(II)之间的大小关系是 .答案：相等; 7. 向量=(2,1)T 可以用=(0,1)T与 =(1,3)T线性表示为 .答案：; 8.向量组线性无关，则，线性 .答案：相关 9. 向量组，线性 .答案：无关 二.选择题1. 若含有s个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为r，则必有( ).(A) r=s (B) rs (C

20、) r=s+1 (D) rs答案：D; 2. 向量空间的维数是( )(A) 0 (B)1 (C)2 (D) 3答案：C; 3. 设n阶非零方阵A、B满足等式AB=0，则( ).(A) |A|=0或|B|=0 (B) A=0或B=0 (C) A+B=0 (D) |A|=0且|B|=0答案：D; 4. 含s个向量的向量组线性无关的充要条件是( )(A)向量组中不含零向量(B)组中任何两向量线性无关(C)必有某个向量不能写作其余向量的线性组合(D)每个向量均不可由其余向量线性表示答案：D; 5.方程组Amnx=0有非零解的充要条件是( ). (A) mn (B)m=n (C) r(A)n (D)r(

21、A)m答案：C. 6. 已知向量组线性相关,则=( ) (A) (B) (C) (D) 答案：(C) 7. 向量组线性相关的充分必要条件是( ) (A) 中含有零向量(B) 中有两个向量的对应分量成比例(C) 中每一个向量都可由其余个向量线性表示(D) 中至少有一个向量可由其余个向量线性表示答案：(D)8.对于向量组，因为，所以是 .( A )全为零向量; ( B )线性相关;( C )线性无关; ( D )任意.答案： D; 三、求解下列各题1 设是m个n维向量，试问：（1）若有m个数存在，使得 那么是否线性无关？解：主要考察定义中的“不全为零的一组数”的理解，若这组数至少有一个非零，则可判

22、定线性相关。没有这一限制是没有意义的，因为全部取零系数，不管向量组是什么，上式总是成立的。因此，不能判断向量组的线性相关性。（2）若有m个不全为零的数使得 那么是否线性相关？解：定义中的组合式是“=”，改为“不等于”则不能说明向量的线性相关性。（3）若线性相关，则一定可由线性表示吗？解：相关性等价定义中是说：向量组中至少有一个向量可由其它向量线性表示，至于是那一个向量可由其它向量线性表示，则要以来于具体的向量组。不能断定一定可由线性表示。2 设与都是n维向量，下面的证明是否正确？（1）若向量组线性相关，向量组线性相关，则有不全为零的数，使得 由此推出 于是向量组也线性相关。解：向量组线性相关，

23、则存在一组的非零组合系数，这组组合系数是依赖于向量组的，不同的向量组其组合系数可能不一样。以上证明中就是忽略了这一点，故是错误的。（2）若只有当时才成立，那么一定线性无关。解：定义中的组合系数是独立的，上式中的系数不独立，只能推知是线性无关的。3 将向量表示成的线性组合：（1）解：设，按分量展开得到 求解得到，即（2）解：设，按分量展开得到用Gramer法则或用如下方法简化可知，即4 判断下列向量组的线性相关性：（1）解：法一，应用定义，设，即得到方程组，系数行列式为，不能用Gramer法则，由定理可知存在非零解。事实上，由第一式知，代入其它方程得到 取，得到，故，因此线性相关。或者由定理知，

24、系数行列式等于零，则齐次方程组有非零解，故向量组线性相关。法二、这是三个三维向量，由定理知，向量组线性相关的充要条件是所组成的行列式等于零，因此只需求行列式即可。事实上，以向量为列所构成的行列式为 故向量组线性相关。（2）法一、用定义，设，展开方程所构成的齐次方程组的系数行列式不等于零，故只有零解，由定义知线性无关。法二，以向量为列构成的行列式为，故向量组线性相关。第十章 线性方程组作业（练习十）参考答案一、填空题1若方程组Ax=0有非零解，则A的列向量组线性 .答案：相关 2. 方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b有无穷组解的 条件.答案：必要不充分; 3. 设A为mn矩阵,非齐次线

25、性方程组b有唯一解的充要条件是r(A) r(A|b )= .答案： ; 5.已知元线性方程组有解，且，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为解答：6当= 时，方程组有无穷多解解答：写出增广矩阵，化成阶梯形：要方程组有无穷多解，必须，即：。故知填写：1 7线性方程组的系数矩阵A化成阶梯形矩阵后为则当 时，方程组有非0解.解答：齐次方程组有非0解，必须，即需：。故知填写：。8.A为mn矩阵b为m1矩阵，线性方程组AX= b有解的充分必要条件是 . 解答：9.如果线性方程组有解，则它有唯一解的充分必要条件是它的导出组 . 答案：仅有零解.10. 若齐次线性方程组有非零解,且则的值为_.答案： 二、选

26、择题1. 设A，B均为n阶矩阵，且AB=O，则必有 （ ）(A) A=O或B=O (B)|A|=0或|B|=0 ( C) A+B=O (D) |A|+|B|=0答案：B 2. 齐次线性方程组的基础解系中含有解向量的个数是( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4答案： (B) 3若非齐次线性方程组Amn X = b的( )，那么该方程组无解A秩(A) n B秩(A)m C秩(A） 秩 () D秩(A）= 秩() 解 根据非齐次线性方程组解的判别定理，得 Amn X = b无解秩(A) 秩() 正确答案：C4线性方程组AX = B有唯一解，那么AX = 0 ( )。A可能有非零解 B

27、有无穷多解 C无解 D有唯一解解 线性方程组AX=B有唯一解，说明秩(A) = n，故AX = 0只有唯一解（零解）。正确的选项是D。5若线性方程组的增广矩阵为，则当（）时线性方程组有无穷多解。 A1B4C2D解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵，此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即，从而，即正确的选项是D。6若线性方程组的增广矩阵为，则当（）时线性方程组有无穷多解 A1 B4 C2 D 解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵，此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即，从而 正确答案：D7设线性方程组的增广矩阵为，则此线性方程组的一般解中自

28、由未知量的个数为（ ） A1 B2 C3 D4解 选A。把这个矩阵化成阶梯形矩阵，可知它的秩为3，未知数有四个，因此可知结论。 8线性方程组满足结论（）A. 可能无解 B. 只有0解 C. 有非0解 D. 一定有解解 选D。奇次方程组总有解。 9设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（ ） A无解 B有非0解 C只有0解 D解不能确定解 选C。10. 线性方程组 （ ）A有唯一解 B无解 C只有0解 D有无穷多解.解 选B。写出增广矩阵，并做初等行变换：可见，因此方程组无解。三、求解下列各题1问，取何值时，齐次方程组 有非零解？解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故即或齐次方

29、程组有非零解。2设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况. 解 因为 所以 r(A) = 2，r() = 3. 又因为r(A) r()，所以方程组无解. 3设线性方程组 试问c为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。解 可见，当c = 0时，方程组有解。且 原方程组的一般解为 （x3是自由未知量） 第十一章 特征值与矩阵对角化作业（练习十一）参考答案一.填空题1.设是方阵A的一个特征值，则齐次线性方程组的 都是A的属于的特征向量.答案：非零解;2.若3阶矩阵A的特征值为1，2，-3，则的特征值为 .答案： ; 3.设A是n阶方阵，|A|0,为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵，若A有特征值,则必有特征值. 答案：.4.若A为正交矩阵，则A可逆，且 = . 答案：AT 5. 设则之迹_.答案： 6. 正交矩阵如果有实特征值,则其特征值等于_.答案或 7.a,b分别为实对称矩阵A的两个不同特征值所对应的特征向量,则a与b 的内积（a,b）= . 答案： 0 8.二次型的秩为 .答