线性代数向量的线性相关性.ppt

1、第二节 向量组的线性相关与线性无关,由若干维数相同的列向量（或行向量）构成的,定义1,向量集合称为向量组.,由m个n维向量构成的向量组可记为,一：向量组的线性组合、及线性表示,探讨向量和向量组的关系,例,中标准基,以及,自身,定义2,设,是n维向量组,是一组数,则称,是向量组,的一个线性组合,若向量 满足,则称向量 是,的一个线性组合,或向量 能由,线性表示,例1,设,(1),由,所以,是 , 的一个线性组合,或,能由 , 线性表示.,(2),易知,所以, 是 , 的一个线性组合,或 能由 , 线性表示.,注:,由上不难看到向量组的线性组合形式不止一个,有无穷多个),向量组可以线性表示无数多个

2、向量.,那么,向量组是否能表示所有的同维向量,(事实上,一个向量组到底能表示那些向量,或给出一个向量其是否,能由向量组表示具有重要意义.,例 对线性方程组,若记向量,则方程有解当且仅,线性表示,当向量 能由向量组,二 线性相关与线性无关的概念,为了研究一个向量组是否能表示给出的向量，,要对向量组自身性质进行研究，,引入向量组线性相关与,我们有必,线性无关的概念。,探讨向量组自身的性质,（一）线性相关与线性无关的概念,定义3,对向量组,若存在不全为零的数,使得,则称向量组M是线性相关的，,否则称M是线性无关的,注：,(1),所不同的是：,零向量能被向量组用系数,向量组线性相关当且仅当,(2),对

3、任意向量组,肯定存在一组数,使得,例,向量组M是线性相关时不只有,使,成立,向量组M是线性无关时只有,使,成立,不全为零线性组合表示。,(3),若,则,线性无关当且仅当,(4),线性相关当且仅当齐次方程组,有非零解；,线性无关当且仅当齐次方程组,仅有零解；,则有判断向量组是否线性相关一个方法是：,构造齐次方程，向量是系数矩阵的列（不论向量是列向量,然后判定齐次方程是否只有零解。,还是行向量),例2,讨论向量组,的线性相关性,解：设有数,使,即方程,因为,由克莱姆法则知道方程有非零解。,故向量组线性相关,例2*,讨论向量组,的线性相关性,解：设有数,即方程,使,因为,由克莱姆法则知道方程有仅有零

4、解。,故向量组线性无关,思考:,证明一个向量的向量组线性相关的充要条件是,这个向量是零向量.,（二）线性相关或线性无关的例子,例3,设有数,证明：,使,即,整理得,故有,方程组的系数行列式,故,只能为零,所以,例4,证明向量组线性无关,其中,证明：,使,设有数,即,故向量组线性无关,注,若向量组中的向量作成矩阵的行或列所得矩阵A为,阶梯形矩阵,均不为零,则称向量组为阶梯形向量组,例4结论为“阶梯形向量组线性无关,特别地,中标准基,线性无关,因为,即,是阶梯形向量组,例5,且,判断它们相关性,三 向量组线性相关性的一些命题,定理1,向量组M线性相关,M中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示

5、,注:,(1)多余两向量的向量组线性相关能保证向量组有一个,能被其余向量线性表示.,但不能保证每一个向量能被其余向量线性表示.,参见例6,则,例6,判断向量组M是否线性相关,注(2),能被向量组,线性表示,则新向量组,线性相关.,反之是否成立?,定理2,且表示式是唯一的 .,而向量组,线性相关,则向量 一定能被向量组M,线性表示，,注:,定理1、2充分揭示了向量组能否表示给定向量与,向量组线性相关性的关系.,定理3,设两向量组M、N满足MN，那么,(1) 若向量组M线性相关，则向量组N也线性相关,(2) 若向量组N线性无关，则向量组M也线性无关,可简述为：,子向量组相关,则向量组也相关；,向量

6、组无关，则子向量组也无关。,推论1,含有零向量的向量组是线性相关的,定理4,两个向量构成的向量组线性相关的充分必要条件,是这两个向量的对应坐标成比例,四 阶梯形矩阵在线性相关性问题中的应用,(一)向量组与矩阵的关系,1 向量组,矩阵,m维列向量组,可构造两个矩阵,向量作成矩阵的列,向量作成矩阵的行,(1),(2),显然,例,向量组,可构造矩阵,2 矩阵,向量组,矩阵,(1)矩阵对应两个向量列组,(A) 矩阵的列构成一个列向量组,称为矩阵列向量组,它是一个m维向量组,有个n向量,(B) 矩阵的行构成一个列向量组,称为矩阵行向量组,它是一个n 维向量组,有m个向量.,例矩阵,矩阵的列向量组为,矩阵

7、的行向量组为,2 矩阵,向量组,矩阵,(2)矩阵对应两个向量行组,(A) 矩阵的列构成一个行向量组,它是一个m维行向量组,有个n向量,(B) 矩阵的行构成一个行向量组,它是一个n 维行向量组,有个m向量,例矩阵,(A) 矩阵的列构成一个行向量组,(B) 矩阵的行构成一个行向量组,(二) 矩阵初等变换与向量组的线性组合,把矩阵的每一行(列)看作一个向量，,用向量观点重新,认识矩阵初等行(列)变换.,矩阵初等行(列)变换就是:,对矩阵的行(列)向量组不断地进行对调、倍乘和倍加,也就是不断地把矩阵的行(列)向量的线性组合加到,另一个行(列)向量上去的过程,的过程，,例,通过初等行变换把矩阵化阶梯形矩

8、阵后,(1)若矩阵A的阶梯形矩阵中有零行，,则意味着A的零行所对应向量是其余行向量的线性组合,这时矩阵A的行向量组线性相关。,(2)反之，若矩阵A的行向量组线性相关，,则A的某个行向量是其余行向量的线性组合。,对矩阵A施行相应的初等行变换，,从而A的阶梯形矩阵中必有零行,基于矩阵初等变换与向量组合的关系有:,该行就会变成零行。,定理5:,设向量组,用M中向量作为,行向量构造矩阵,经过初等行变换把A化为阶梯形矩阵B,则向量组M线性,相关充分必要条件是阶梯形矩阵B有零行.,注:,向量组M线性无关充分必要条件是阶梯形矩阵B无零行,例8,讨论向量组,的线性相关性,注:,注意比较用定义和用阶梯形矩阵判别两种方法区别.,推论2,n个n维向量的向量组线性相关