空间向量及其运算

1、9.5共线矢量和共面量一、知识点1 .空间向量的定义2 .空间向量的加减运算3 .长方体的定义和性质4 .共线向量的定义或平行向量的概念、向量与平面的平行(共面)的意义及其表示5、共线向量定理和推论、空间直线的向量参数方程式和线段中点的向量方程式6 .共同指向量和推论、空间平面的矢量参数方程(即平面内点的满足条件)7 .空间向量的基本定理及其推论8 .空间向量的角度和模型的概念和表现方法9 .两个向量的数量积的概念、性质和计算方法和计算法10、两个向量数积的主要用途是用来解决立体几何中的一些简单问题。二、会议安排五个会议第一阶段：空间向量及其加减运算教育目标：1 .理解空间向量的概念，掌握空间

2、向量的几何表现法和字母表现法2 .空间向量的加法、减法和乘数向量，以及它们的算法用图形来说明3 .知道长方体的定义和性质4、能用空间向量的运算意义和运算法解决简单的立体几何学问题。 教育重点：空间向量的加法、减法、乘法和算术教育难点：应用向量解决立体几何问题教育过程：复习回顾在第五章平面向量中，学习了有关平面向量的知识。 什么是向量？向量是如何表现的呢？有大小和方向的量称为向量。 矢量的表现方法如下用有向线段表示用文字a、b等表示使用有向线的起点和终点的文字：在数学上所说的向量是自由向量，即在保持向量的方向、大小的基础上可以直线移动向量，所以可以得到向量相等的概念，请大家记住。长度相等方向相同

3、的向量称为相等的向量。学习了向量的概念后，学习了向量的加减和平方向量运算矢量的相加：矢量的减法：实数和矢量的积：实数和矢量a的积是一个矢量，记为a。 其长度和方向规定如下(1)|a|=|a|(2)0时，a与a为同方向0时，a和a为相反方向在=0的情况下，a=0.关于向量上的几个计算，让同学们想起来。 有什么样的计算方法呢？向量加法和数乘法向量满足以下运算规则加法交换规则： a b=b a加法耦合规则： (a b) c=a (b c )平方分配法：(a b)=a b今天，我们基于第五章平面向量，以类比的方式引入空间向量的概念、表示方法、相同或均等的关系、空间向量的加法、减法、平方以及这些运算的运

4、算率，并进行简单的应用。 想让学生们读教科书P26P27。研究研究1 .空间向量的概念定义：在空间中，具有大小和方向的量称为向量。注“空间的一个直线移动是一个向量”即“将图形上的所有点向相同方向移动相同长度”。矢量无法比较大小。矢量的表现：几何显示：用有向线段显示文字显示：用黑体小写的英语文字显示向量相等：同方向上等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。向量平移：空间中的任何两个向量可以由同一平面内的两个有向线段表示。说明：平面向量不限于研究同一平面内的平移，空间向量研究空间的平移平面上，如果能把2个同方向矢量作为对边构成平行四边形，则这2个矢量相等，在空间上，该结论也成立。由于空间的任意两个

5、向量是共同的向量，所以关于空间的两个向量的问题，平面向量中的结论仍应用于它们(出现空间向量的分解定理和坐标表示和坐标运算之间的差异)。3 .长方体：甲组联赛来自平行四边形ABCD直线移动矢量a的轨道形成的几何被称为长方体，并且记录： ABCD-。六个面是平行四边形，是各面的边被称为长方体的棱。反省应用基础演习1、连接已知空间四边形ABCD、AC、BD时，为(a )a、b、c、d、2 .把已知空间四边形ABCD、AC、BD连接起来，把m、n分别作为BC、CD的中点是() aa、b、c、d、3 .在长方体ABCD-A1B1C1D1中，m是AC和BD的交点下一个向量的相等向量是() aa、b、c、d

6、、4、A1、A2、A3是空间上不共享的三点，_； 与上述性质相似得到一般结论的是. 是吗？示例1，已知的长方体ABCD-以下简化向量表达式表示简化结果的向量；。解：图：=；以m为线段的中点时设g为线段的三等分点。矢量如图所示。加强训练P27练习1、2已知在空间四边形ABCD中，g通过BCD的重心进行简化，表示简化结果的向量。 (请试一试。 你能用什么方法解决这个问题？)解： g是BCD的重心，预计实际上已知例3ABCD为正方形，p是平面ABCD以外的点，p在平面ABCD上的投影正为正方形ABCD的中心o、q是CD的中点，求出以下各问题中的x、y的值。解：又来了，摘要1、空间向量的概念2 .空间

7、向量的运算3、长方体的概念作业： P27练习1、2乙级联赛甲组联赛c.c德. dg如图所示，设a为BCD所在平面以外的点，设g为BCD的重心。 寻求证据：第二会话：共线矢量和共面矢量教育目标：1 .理解共线或平行向量的概念、向量和平面的平行(共面)的意思，掌握它们的表现方法。2 .掌握共线矢量定理和共面量定理以及理解它们的推论的空间直线的矢量参数方程式和线段中点的矢量参数方程式，掌握空间平面的矢量参数方程式(平面内点的充分条件)。3 .用上述知识解决与立体几何学有关的简单问题。 教育重点：空间直线、平面向量参数方程式和线段中点的向量公式教育难点：空间直线、平面向量参数方程式和线段中点的向量式的

8、理解和运用教育过程：复习回顾上节课学习了空间向量的定义、表现方法、空间向量的等价、空间向量的加减运算和算法。 通过学习，我们发现空间向量的很多内容是平面向量相关内容的普及。在第五章平面向量章中，还学习了关于平面向量的其他知识。 例如，在研究两个向量之间的关系时，不仅定义了相等的向量，还研究了平行向量和共线向量。 回顾一下什么样的向量被称为平行向量或共线向量。方向相同或相反的非零向量称为平行向量。 因为任何组的平行向量都可以在同一直线上平移，所以平行向量也称为公共线向量矢量b和非零矢量a是如何判定共线矢量的？矢量b和非零矢量a共线的充分条件是为了使b=a而只有一个实数.该定理称为平面向量共线定理

9、，其中必须注意对向量a的非零要求这个定理的证明必须从两个方面来进行充分性：对于向量a(a0 )、b，如果存在b=a的实数，根据实数与向量的积的定义，a和b为共线.必要性：矢量a和b为共线，a0时，设为|b|:|a|=时，a和b方向相同时，b=a； 在a与b方向相反的情况下，由于b=-a，所以为了使b=a，只有一个实数.本课研究空间的共线矢量和共面量。 以下的学生们读教科书P28P29的前五行。研究研究1 .共线矢量定义：如果有表示空间向量的有向线的直线彼此平行或一致，则这些向量称为平行向量或同一直线向量。书写法：2 .共线向量定理文字语言：对空间的任意2个向量的满足条件是存在实数使用符号语言：

10、说明：对空间任意两个向量(共线矢量的性质定理)(共线矢量的判定定理)在“”中判定直线平行的情况下，也需要不在上面的点中，所确定的表示与空间平行或同一直线，长度为所有向量。例1矢量法证明，三角形两边的虚线平行于第三边，其长度等于第三边的长度的一半。在图中，在ABC中，已知d、e分别在边AB、AC的中点处，DEBC且DE=BC/2。证明： AAAAAR、e分别是边AB、AC的中点另外，d不在BCHK HHK，且HHK/2。总结：向量共线定理是证明两条直线平行的一般方法，但向量平行直线平行是不同的，直线平行不包含共线，所以判定“”的直线平行也有不在上面的点。3 .共线向量定理的推论在l是通过已知点a

11、并与零以外的向量平行的直线的情况下，对于任何点o，点p在直线l上的充分条件都是实数t，满足式。 在此，向量被称为直线l的方向向量。证明：(为什么？)说明：空间直线的矢量参数公式，二式是式、的基础，也是一般直线参数方程式的表现形式。空间直线的矢量参数式的特征式中，根据向量相加的三角形法则得到。式中，起点相同，可以恢复到符合三角形规律的状态。推论的用途：解决三点共线问题的表示或判定。当t=1/2时，如果点p是AB的中点，则它是线段AB的中点式，(可以通过向量相加的平行四边形的法则验证)本质上是向量相加的平行四边形的法则的简化。例2使平行四边形ABCD的对角线AC和BD与e交叉，把p作为空间的任意点

12、，求证明的双曲正切值。证明：四边形ABCD是平行四边形e在AC、BD的中点由线段的中点公式得到4 .共同指向量的定义通常，与同一平面平行的矢量称为共面量。说明：共同向量和共同向量的定义对象不同但是形状一样。矢量与平面平行的是直线由于l是与平行或在内定义的和直线a/有联系也有差异。5 .共同指向量定理你知道空间中的任意两个向量都是同一平面的(为什么？ )那么，空间中的任意三个向量是共面的吗？ 看看下图吧。定理：如果两个向量不是共线，向量和向量共面的满足条件是实数对x，y存在证明：先证的必要性向量与向量齐平； 因为表示它们的有向线段在同一平面上，所以根据平面向量的基本定理，一定存在实数对(x，y

13、)。再证明的充分性相邻边的平行四边形的对角线表示的向量，该平行四边形在特定的平面内； 特定平面内，即向量与向量相同。说明：向量不是全零向量时，公共向量定理也实际上是一条直线公共面的充分条件，但用于判定时，需要证明该直线上的点在由另一条直线决定的平面内。6 .共向量定理的推论空间一点p位于平面MAB内的充分条件是存在有秩序的实数对(x，y )或者相对于空间的任意点o说明：式和式只是矢量的表现方法不同。关于空间的任意点o，通过代入来整理，另外，通过代入来进一步整理。对于空间的任意点p，如果满足、中的任一个(它们形式不同，只有相同的方程式)，则点p对于位于平面MAB内的平面MAB内的任何点p，都满足

14、、，因此式都是不共通线的两个矢量，(或不共通线的3点m空间平面的矢量参数方程的特征方程式是根据平行四边形的法则得到的，方程式是根据方程式根据三角形的法则得到的，方程式可以与方程式对比记忆。中的(x，y )是唯一的(用反证法证明)。如果满足与(x，y )不同的(x，y)式(* )，另外，仅在x-x=y- y=0而不是共线时(* )式成立8756； 由于(x，y )和(x，y)表示相同的实数对，且彼此矛盾，所以其中(x，y )是唯一的。公共向量定理的推论是证明点在平面内的理论依据。反省应用例3关于空间的任意点o和不共通线的3点a、b、c，试验满足关系式晚上4点在一起吗？解：，点p、a、b、c四点共

15、面。变：已知非零向量不在同一线上。 如果要求证明的话，a、b、c、d四点在同一面上。分析：必须证明a、b、c、d四点是共同的。 未定系数法求出x、y。设定不是共享线甲组联赛乙级联赛c.c德. do.oef.fhg已知例3、平行四边形ABCD，从平面AC以外的点o减去向量=k、=k、=k、=k，求出证明：4点e、f、g、h共面平面HK平面HK。证明：四边形ABCD是平行四边形2220四点e、f、g、h共面又被证明，另外k1，即点e不在平面AC上，即e不在直线AB、AC上GGGGGGGGGGGGGHB GGGGGGGGGGGGG7总结： 1、共线向量(平行向量)的概念2 .空间矢量共线的充分条件3 .共同指向量的概念和向量共同面的充分条件工作： P31练习： 1、2在立方体ABCD-A1B1C1D1中，p、q、r、s分别是棱的A1D1、AB、CC1、C1D1中点，要求证明： p、q、r、s这4点是同一个面。第三会话：空间向量的基本定理教育目标：1 .把握空间向量的基本定理及其推论，理解空间上任一个向量在空间上不共享的三个已知向量的唯一线性表示。2 .在简单的问题中，选择空间上的三个不共享向量作为基础，并表示其它向量。教育重点：空间向量的基本定理及其推论教育难点：空间制图教育过程：复习回顾平面向量的基本