《立体几何空间角》

1、2010届高考数学复习 强化双基系列课件,51立体几何 空间角,【教学目标】,掌握线线角与线面角、二面角及其平面角的概念，能灵活作出二面角的平面角，并能求出大小,要点疑点考点 课 前 热 身 能力思维方法 延伸拓展 误 解 分 析,第课时 线线角与线面角,要点疑点考点,1. 线线角,(2)范围：,(1)定义：设a、b是异面直线，过空间任一点O引 ，则 所成的锐角(或直角)，叫做异面直线a、b所成的角.,2. 线面角,(3)范围：,(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角,(2)若直线l 平面，则 l 与所成角为直角 若直线l平面，或直线l平面，则l与

2、所成角为0,(4) 射影定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中： 射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； 相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； 垂线段比任何一条斜线段都短,(5)最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小的角.,返回,2. 相交成90的两条直线与一个平面所成的角分别是30与45，则这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为( ) (A) (B) (C) (D),1. 平面的斜线与所成的角为30，则此斜线和内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值是( ) (A)30 (B)60 (C)90 (D)150,

3、课 前 热 身,C,C,3.如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在的平面成60的二面角，则异面直线AD与BF所 成角的余弦值是_.,4.异面直线a、b成80角，P为a、b外一定点，若过P有且仅有2条直线与a、b所成角都为，则的范围是( ) (A) (B) (C) (D),B,返回,A,5.如图，ABC-A1B1C1是直三棱柱，BCA=90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA= CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( ) (A) (B) (C) (D),能力思维方法,1. 如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别为BC和AD的中点.求： (1)AE与CF所

4、成的角； (2)CF与平面BCD所成的角.,【解题回顾】本题解法是求异面直线所成角常采 用的“平移转化法”：把异面直线转化为求两相交 直线所成的角，需要通过引平行直线作出平面图 形，化归为平面几何问题来解决.,2.如图，在正方体AC1中， (1)求BC1与平面ACC1A1所成的角； (2)求A1B1与平面A1C1B所成的角.,【解题回顾】“线线角抓平移，线面角定射影”.也 就是说要求直线与平面所成的角，关键是找到直 线在此平面上的射影，为此，必须在这条直线上 的某一点处作一条(或找一条)平面的垂线，本题 中BO就是平面的垂线，垂足H的位置也必须 利用图形的性质来确定.,3.如图，长方体ABCD

5、A1B1C1D1中，AB=BC=2， AA1=1，E、H分别是A1B1和BB1的中点.求： (1)EH与AD1所成的角； (2)AC1与B1C所成的角.,【解题回顾】(2)中为了找到异面直线AC1与B1C 所成的角，需将AC1平移出长方体外，实际上是 在原长方体外，再拼接一个完全相同的长方体， 这是立体几何中常见的方法之一.,4. 在120的二面角-l-的两个面、内分别有A、B两点，这两点到棱的距离分别为2和4，AB =10，求： (1)AB与l 所成的角； (2)AB与平面所成的角.,返回,【解题回顾】本例是综合题，解题过程常常是作 图(包括添辅助线或辅助面)、论证、计算三个阶 段，这样就综

6、合考查了空间想象能力、逻辑推理 能力和运算能力.,延伸拓展,5.在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E、F分别是BC、AD的中点 (1)求证：四边形BEDF是菱形； (2)求直线AC与DE所成的角； (3)求直线AD与平面BEDF所成的角.,【解题回顾】对于第(1)小题，若仅由BE=ED= DF=FB就断定BEDF是菱形，那是不对的，因存在四边相等的空间四边形，所以必须证B、E、D、F四点共面. 第(3)小题应用了课本一道习题的结论，才证明了AD在平面BEDF内的射影在BD上,返回,误解分析,返回,2.凡立体几何求角或距离的解答题，一定要注意“作、证、指、求”四个环节缺一不可.,1. 求异面

7、直线所成的角，要注意角的范围是 ，如能力思维方法3，平移后得 ，计 算得 ，不能说两异面直线成角 为 ，而应为 ,要点疑点考点 课 前 热 身 能力思维方法 延伸拓展 误 解 分 析,第课时 二面角(一),要点疑点考点,1. 二面角的定义：,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面角，其大小通过二面角的平面角来度量.,2. 二面角的平面角：,(1)定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,(2)范围：0， ,3.二面角的平面角的作法：,(1)定义法 (2)三垂线定理法 (3)作棱的垂面法,返回,课 前 热 身,1.下列

8、命题中： 两个相交平面组成的图形叫做二面角； 异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补； 二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； 正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角. 其中，正确命题的序号是_.,、,2.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1的大小为_，二面角B-AA1-D的大小为_，二面角C1-BD-C的正切值是_.,45,90,3. 在二面角-l-的一个平面内有一条直线AB，它 与棱 l 所成的角为45，与平面所成的角为30，则 这个二面角的大小是_.,45或135,4.三棱

9、锥ABCD中，AB=AC=BC=CD=AD=a，要使三 棱锥ABCD的体积最大，则二面角B-AC-D的大小是 （ ） （A） （B） （C） （D）,A,A,5. 在二面角-a-内，过a作一个半平面，使二面角 -a-=45，二面角-a-=30，则内的任意一 点P到平面与平面的距离之比为( ) (A) (B) (C) (D),返回,能力思维方法,【解题回顾】本题是1990年全国高考题，(1)的证明关系较复杂，需仔细分析。(2)的平面角就是CDE，很多考生没有发现，却去人为作角，导致混乱.,1.在三棱锥SABC中，SA平面ABC，ABBC，DE垂直平分SC ，且分别交AC、SC于D、E，又 SA=

10、AB= a，BC=2a， (1)求证：SC平面BDE； (2)求平面BDE与平面BDC所成的二面角大小.,2.已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，AC= BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1 与底面ABC所成的角为60. (1)求证：BC平面AA1C1C； (2)求二面角B-AA1-C的大小.,【解题回顾】先由第(1)小题的结论易知BCAA1， 再利用作出棱AA1的垂面BNC来确定平面角BNC. 将题设中“AA1与底面ABC所成的角为60”改为 “ BA1AC1 ” 仍可证得三角形AA1C为正三角形，所求 二面角仍为 . 本题的解答也可利用三垂线定理来推理.,

11、3.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱 长为 ，若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平 面交上底面一边A1C1于点D. (1)确定点D的位置，并证明 你的结论； (2)求二面角A1-AB1-D的大小.,【解题回顾】第(2)题中二面角的放置属于非常规位置的图形(同例(1)的变题)，看起来有些费劲，但是一旦将图形的空间位置关系看明白，即可发现解决此种问题的基本方法仍然与常规位置时相同.,返回,延伸拓展,4.如图，已知A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC的中点. (1)证明AB1平面DBC1. (2)假设AB1BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角的度数.,【

12、解题回顾】本题为1994年全国高考理科试题，图中 的正三棱柱放置的位置和一般放置的位置不同.这是高 考题中常出现的现象，目的是考查各种位置的正三棱 柱性质，这一点应引起读者注意.,返回,误解分析,返回,1. 二面角是立体几何的重点、热点、难点，求二面角的大小方法多，技巧性强但一般先想定义法，再想三垂线定理法，如课前热身4，及能力思维方法1中，如果盲目作垂线，则会干扰思维,2. 实施解题过程仍要注意“作、证、指、求”四环节，计算一般是放在三角形中，因此，“化归”思想很重要.,要点疑点考点 课 前 热 身 能力思维方法 延伸拓展 误解分析,第课时 二面角(二),要点疑点考点,1.熟练掌握求二面角大

13、小的基本方法：,(1)先作平面角，再求其大小； (3)直接用公式cos=S射/S原,2.掌握下列两类题型的解法：,(1)折叠问题将平面图形翻折成空间图形.,(2)“无棱”二面角在已知图形中未给出二面角的棱.,返回,课 前 热 身,1. 二面角-AB-的平面角是锐角，C是平面内的 点(不在棱AB上)，D是C在平面上的射影，E是棱 AB上满足CEB为锐角的任意一点，则( ) (A)CEBDEB (B)CEB=DEB (C)CEBDEB (D)CEB与DEB的大小关系不能确定,A,2. 直线AB与直二面角-l-的两个半平面分别交于A、B两点，且A、B l. 如果直线AB与、所成的角 分别是1、2，则

14、1+2的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D),D,3. 在长、宽、高分别为1、1、2的长方体ABCDA1B1 C1D1中，截面BA1C1与底面ABCD所成角的余弦值是_ _.,4. 把边长为a的正三角形ABC沿着过重心G且与BC平 行的直线折成二面角，此时A点变为 ，当 时，则此二面角的大小为_.,arccos(1/3),5.已知正方形ABCD中，AC、BD相交于O点，若将正方形ABCD沿对角线BD折成60的二面角后，给出下面4个结论： ACBD； ADCO； AOC为正三角形； 过B点作直线l平面BCD，则直线l平面AOC其中正确命题的序号是_,返回,能力思维方法,1.平面四边形

15、ABCD中，AB=BC=CD=a，B=90，DCB=135，沿对角线AC将四边形折成直二面角. 证：(1)AB面BCD； (2)求面ABD与面ACD所成的角.,【解题回顾】准确画出折叠后的图形，弄清有关点、 线之间的位置关系，便可知这是一个常见空间图形 (四个面都是直角三角形的四面体).,2.在直角梯形P1DCB中，P1DCB，CDP1D，P1D= 6，BC=3，DC=3，A是P1D的中点. 沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P-CD-B成45，设E、F分别为AB、PD的中点. (1)求证：AF平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大小；,【解题回顾】找二面角的平面角时不

16、要盲目去作，而 应首先由题设去分析，题目中是否已有.,3.正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，求平面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.,【解题回顾】解法一利用公式 . 思路简单明 了，但计算量较解法二大.解法二的关键是确定二 面角的棱，再通过三垂线定理作出平面角，最终解直 角三角形可求出.,4. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC=90，SA面ABCD，SA=AB=BC=1，AD= 12. (1)求四棱锥SABCD的体积； (2)求面SCD与面SBA所成的二 面角的正切值.,【解题回顾】(1)较易，(2)因所求二面角无“棱”，故 先延长BA、CD以确定棱SE，然后证明BSC为平面 角，本题当然可以用 直接求.,返回,延伸拓展,(I)沿图中虚线将它们折叠起来，是哪一种特殊几何体?并请画出其直观图，比例尺是1/2； (II)需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6cm的正方体ABCDA1B1C1D1，请画出其示意图(需在示意图中分别表示出这种几何体)；,5.如图为一几何体的展开图：,(III)设正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点为E，试求：异面直线EB与AB1所成角的余弦值及平面AB1E与平面ABC所成二面角(锐角)的