反比例函数的图像和性质

1、17.4.2反比例函数的图像和性质,1. 反比例函数的定义：,3. 反比例函数的确定：,4.它的三种常见的表达形式：,2. 反比例函数的特征：,k 0， x 0. x是1次,待定系数法.,xy = k（k 0）,y=kx-1（k0）,复习回顾,引入新课,5、请回忆：正比例函数的图象和性质,作函数图象的一般步骤：,知识回顾（二）,描点法,列 表,描 点,连 线,反比例函数 的图象,1、列表:,2、描点:,3、连线:,-0.5,-1,-2,-4,4,2,1,0.5,请你另外取一个正整数k的值，作出其反比例函数图象,图象会和坐标轴相交吗？,通过对k取不同的正值，作出了反比例函数的图象，你发现了反比例

2、函数的图象是什么?分别在哪个象限内？,思考：,-4 -2 -1 -0.5 0.5 1 2 4,注意哟：图象不会与x轴、y轴相交,从画反比例函数图象看,描点法还应注意什么?,反比例函数图象画法步骤：,列 表,描 点,连 线,描点法,注意：列 x与y的对应值表时，X的值不能为零，但仍可以零的基础，左右 均匀、对称地取值。,注意：描点时自左住右用光滑曲线顺次连结，切忌用折线。,注意： 两个分支合起来才是反比例函数图象。,图象不是直线，是两支曲线，分别在一、三象限内,合作交流,探究新知,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,

3、5,6,y,x,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,x,y,有两条曲线共同组成一个反比例函数的图像，叫双曲线。,1,6,2,3,3,2,4,1.5,5,1.2,6,1,6,-1,-6,-2,-3,-3,-1.5,-2,-4,-5,-1.2,-6,-1,-6,6,3,-3,2,-2,1.5,-1.5,1.2,-1.2,1,-1,反比例函数图像的两个分支关于原点对称，反比例函数的图像(2个分支作为一个整体)是一个中心对称图形。,列表(在自变量取值范围内取一些值,并计算相应的函数值),连线,描点,(1),(2),

4、(3),(4),5,4,2. 反比例函数 的图象在哪两个象限？由什么确定？,3. 反比例函数 ，具有怎样的对称性？,4. 反比例函数 的图象的变化趋势是怎样的,它和两条坐标轴的位置关系是怎样的？,1. 反比例函数 和 的图象在哪两个象限？它们相同吗？,议一议：,关系：,在同一直角坐标系下，反比例函数y=6/x于y=-6/x的图像关于x轴对称，也关于y轴对称。,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,y,x,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-

5、6,-5,5,6,x,y,发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化？,A,B,如图xB xA,但yB0时,同一象限内函数值y随自变量x的增大而减小；,2.当k0,k0, y2 y10 即y2 y1 0 y3,（1）（2）（3）,(4),2、 已知点（-2，y1)（-1，y2）（3，y3）在y=4/x的图象上，比较y1，y2，y3，的大小. 方法1： X分别取2、1、-2，-1，代入函数式中，求 出y1，y2和y3 方法2： 作函数图象，将3个点标在曲线上，观察 方法3： 利用性质进行分析和判断,变式训练：已知y = k/x(k 0)上三个点 (a1，y1),(a2，y2)，（a3，y3）,若a

6、1 a20,2已知（ ），（ ），（ ）是反比例函数 的图象上的三个点，并且 ，则 的大小关系是（ ） （A） （B） （C） （D）,3已知（ ），（ ），（ ）是反比例函数 的图象上的三个点，则 的大小关系是 ,4已知反比例函数 （1）当x5时，0 y 1； （2）当x5时，则y 1, （3）当y5时，x？,C,或y 0,0y3 B、y2y1y3 C、y3y1y2 D、y3y2y1,B,C,2、在反比例函数 的图像上有两点 A(x1, y1)、B(x2, y2), 当x10 C. m ,C,提示： 利用图像比较大小简单明了。,1、函数 的图象在第_象限, 在每一象限内，y 随x 的增大而_

7、. 2、 函数 的图象在第_象限, 在每一象限内，y 随x 的增大而_. 3、函数 ,当x0时,图象在第_象限, y随x 的增大而_.,一、三,二、四,一,减小,增大,减小,4.函数 的图象在第_象限， 5. 双曲线 经过点（-3，_）,二,四,6.函数 的图象在二、四象限，则m的取值范围是 _ . 7.对于函数 ，当 x0时，图象在第 _象限.,m 0时，图象在第_象限, y随x的值增大而_,当x0时图象在第_象限, y随x的值增大而_,当x0时图象在第_象限, y随x的值增大而_,7.下列函数中y随x的值增大而增大的有( ) A.y=-2x+1 B.y=3/x C.y=-3/x(x0) D

8、.y=-2x,D,一,三,减小,减小,c,x的正负确定反比例函数的象限 k的正负决定反比例函数的增减性,例1、已知反比例函数 的图象经过点A（1，4）,（1 ）求此反比例函数 的解析式； 画出图像； 并判断点B（-4，-1）是否在此函数图像上。,（2）根据图像得， 若y 4, 则x的取值范围- 若x 1，则y的取值范围-,（3）若点（x1，y1), （x2，y2), （x3，y3),均在此函数图像上，且x1 0 x2 x3请比较y1、y2、y3的大小,（ 4 ）若过A点作APx轴于点P，求三角形AOP的面积。,小明在学完反比例函数性质后做课外练习时又遇到了它百思不得其解的题目，你能帮他解决吗？

9、,P,F,E,已知P（2， ）为反比例函数 图象上第一象限的点，过P分别作x轴、y轴的平行线PE、PF,与坐标轴围成的矩形PEOF的面积为多少？,分析：解这道题关键要弄清长、宽,解：依题意得 PE=2 , PF=,S矩形PEOF =PEPF=2 1,B,结果一样，注意点在第三象限,求解的过程中要长宽加绝对值,若点B（3， ）点C ( 4， )同样方法构造矩形，结果会怎样吗？,C,如果题目再变化一下，大家思考一下又该怎样解？,已知点 P 为反比例函数 上的点，过P分别作x轴、y轴的平行线PE、PF,与坐标轴围成的矩形PEOF的面积为多少？,分析：要解这题，关键表达出长、宽即要求PE、PF,你能从

10、本题得到什么启发吗?,无论点在图象上的何位置所围成的矩形面积都是定值,探究与发现,面积性质（一 ）,（5）若D、E、F是此反比例函数在第三象限图像上的三个点，过D、E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N、K，连接OD、OE、OF，设 ODM、OEN、 OFK 的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论成立的是 ( ),A S1S2 S3 B S1S2 S3 C S1 S3 S3 D S1=S2=S3,想一想,若将此题改为过P点作y轴的垂线段,其结论成立吗?,解:由性质(1)得,A,A. S1S2 BS10时，函数值小于0,（3） 当x=-3时，,当x=-1时，,由图象知，当-3x-1时，4y1

11、2,考察函数 的图象,当x=-2时,y= _ , 当x-2时,y的取值范围是 _ ; 当y-1时,x的取值范围是 _ .,-1,-1y0,x0,已知反比例函数 （1）当x5时，0 y 1； （2）当x5时，则y 1,或y （3）当y5时，x？,0，,y2,当K0时, y3y1y2 当ky1y3,m5时，y 1； 当x 0，k0,AC=b ,OC=a,又SAOC= ，k=4，反比例函数的解析式为 。,【例5】如下图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a，2a（a0），ACx轴，垂足为点C，BDx轴，垂足为点D，且AOC的面积为2。 （1）求该反比例函数的解析式。 （2）若点（-a，y1），（-2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小。 （3）试求RtBOD的面积。,（2）a0 2aa，即-2a