吉林大学 陈殿友--线性代数(第4章)

1、第四章 向量组的线性相关性,1 n维向量,一、n维向量的概念,定义1 n个有次序的数 所组成 的数组称为 n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 称为第 i 个分量。,列向量,行向量,零向量,负向量,二、n维向量的运算,定义2 设n维向量,1),2）,3),其中 k 是数量。,注：如上定义的向量加法和数乘的运算统称为向量的线性运算。,三、n维向量的运算律,设 ， ， 为n维向量，k、l为实数，0为零向量。,1) + = + ,2) + + = + ( + ),3) + 0 = ,4) + ( ) = 0,5) 1 = ,6) k ( l ) =( k l ) ,7) k

2、 ( + ) = k + k,8) ( k + l ) = k + l,四、n 维向量的实际意义,我们称n维向量的全体所组成的集合,为 n 维向量空间。,n 维向量有着广泛的实际意义。例如为确定飞机的 状态，需要 6 个参数（够成6维向量）。表示飞机重心在 空间的位置需 3 个参数，还有 3 个参数是:,1) 机身的水平转角（0 2 ）；,2) 机身的仰角 （ ）；,3) 机翼（以机身为轴）的转角 （ ）。,例1 计算,设 , =,求 1）,2） 3 。,解, +2 ;,3 , +2 ,2 向量组的线性相关性,一、向量组,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成 的集合叫做向量组。,例如

3、一个mn矩阵A有n个m维列向量,它们组成的向量组 1,2,n称为矩阵A的列向量组。,mn矩阵A又有m个n维行向量,iT=( ai1,ai2,ai n ), ( i=1,2,m ),它们组成的行向量组1T,2T,mT 称为矩阵A的行向量组。,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个 矩阵。例如：,m个n维列向量所组成的向量组1,2,m构成一个 nm矩阵,A=( 1,2,m ) ;,m个n维行向量所组成向量组1T, 2T, mT 构成一个mn矩阵,B = 。,我们前面学过的线性方程组又可以写成矩阵的形 式Ax = b,而且矩阵又可以写成向量组的形式，所以方 程组也可以写成向量的形式,x11 +

4、 x22 + + xnn = b ,由此可见，线性方程组与其增广矩阵B（A,b）的列向量组1，2，m , b之间也有一一对应的关系。,二、线性组合,定义3 给定向量组A: 1,2,m ,对于任何一组实数 k1, k2, km ,向量 k11 + k22 + + kmm 称为向量组A的一个线性组合, k1, k2, , km称为这个线性 组合的系数。,线性表示 给定向量组A: 1,2,m和向量 b , 如果存在一组数 1 , 2 , , m ,使 b = 11 + 22 + + mm 则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示。,向量组b能由向量组A线性表示，也就是线性方程组

5、,x11 + x22 + + xmm = b,有解。由上章的定理3，即可得到,定理1 向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵 A = ( 1 , 2 , , m ) 的秩等于矩阵 B =( 1 , 2 , , m , b )的秩。,三、等价向量组,定义4 设有两个向量组A: 1 , 2 , , m 及B: b1 , b2 , bs ,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向 量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相 互线性表示，则称这两个向量组等价。,把向量组A和B所构成的矩阵依次记作A = ( 1,2,m ) 和B=( b1 , b2 , , bs ) ,B组能由

6、A组线性表示，即对B组的每 个向量bj ( j = 1 , 2 , , s ) 存在数k1j , k2j , , kmj ,使,bj = k1j 1 + k2j 2 + + kmj m,= ( 1, 2, , m ),从而 ( b1 , b2 , , bs ) = ( 1 , 2 , , m ),这里，矩阵Kms= ( kij )称为这一线性表示的系数矩阵。,由此可知，若 C mn = Ams Bsn ,则矩阵C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数矩,( c1 ,c2 , , cn ) = (1 , 2 , , s ),同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示，A为这一 表

7、示的系数矩阵：,综合上面的讨论，我们得出矩阵A经过初等行变换变成 矩阵B,则B的每个行向量都是A的行向量的线性组合，即 B 的行向量组能由A的行向量线性表示。由于初等变换可逆， 则矩阵B亦可经初等行变换变为A，从而 A 的行向量组也能 由B 的行向量组线性表示。于是 A的行向量组与B的行向量 组等价。,同理可知，若矩阵A经过初等列变换变成矩阵B，则A 的列向量组与B的列向量组等价。,等价矩阵所对应的线性方程组是同解方程组。,四、向量组的线性相关性,定义5 给定向量组A: 1 , 2 , , m ,如果存在不全为 零的数k1， k2 ，. ， km，使 k11 + k22 + + kmm = 0

8、 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。,1）一个向量 线性相关的充分必要条件是 0。,2）两个向量线性相关的充分必要条件是它们对应的 分量成比例。,3）三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。,4）一个向量是线性无关的充分必要条件是 0。,5）两个向量线性无关的充分必要条件是它们对应的 分量不成比例。,例1 判断下列向量组的线性相关性。,1) 1T = ( 1, 1, 1), 2T = ( 0, 2, 5 ), 3T = ( 1, 3, 6 ),2) 1T = ( 1, 0, 0, ), 2T = ( 1, 2, 1 ), 3T =( 1, 0, 1 ),解 1）设有 x1, x2,

9、x3 使,x11T + x22T + x33T = 0 （1）,即,( x1+x3 , x1+2x2+3x3 ,x1+ 5x2+6x3 ) = ( 0, 0, 0 ),亦即,由于,所以，方程组有非零解，即存在不全为零的 x1 , x2 , x3 使（1）成立。故向量组1T, 2T, 3T是线性相关的。,2）设有x1, x2, x3 使,x11T + x22T + x33T = 0 （2）,即,由于,所以，方程组仅有零解。即只有当 x1, x2, x3 全为零时（2） 成立。故向量组 1T, 2T , 3T是线性无关的。,五、线性相关性基本定理,定理2 向量组 1，2， ，m ( m 2 )线性

10、相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余的 m-1个向量线性表示。,证,充分性,不妨设m可由其余的向量线性表示，即有,m= 11 + 22 + + m-1m-1,从而,11 + 22 + + m-1m-1 + (-1)m = 0,因为 1，2， ，m-1, -1 这 m 个数不全为零,故1，2， m 线性相关。,必要性 设1，2，m 线性相关，即有不全为 0 的数 k1, k2, , km 使,k11 + k22 + + kmm = 0,不妨设 k1 0，从而有,即 1能由其余的 m-1个向量线性表示。,例2 设 T = ( a1 , a2 , , an ) , e1T = ( 1,

11、 0, , 0 ), e2T = ( 0, 1, ,0 ), ,enT= ( 0, 0, , 1) , 讨论向量组的线性 相关性。,解 显然,由定理2知，向量组 T, e1T , e2T , , enT 线性相关。,T = a1e1T +a2e2T + + anenT,定理3 设 1 , 2 , , m 线性无关，而 1，2，m， 线性相关，则 能由 1，2， ，m 线性表示，且表示式是唯一的。,证 因 1，2，m， 线性相关，故有k1,km,km+1 不全为 0 ，使,k11 + + kmm + km+1 = 0,要证 能由 1, 2, , m 线性表示，知须证明 km+1 0 。 用反证法

12、，假设 km+1= 0 , 则 k1, k2, , km不全为 0 ，且有,k11 + k22 + + kmm= 0,这与 1，2，m 线性无关矛盾，此矛盾说明 km+1 0 。 从而有,再证表示式的唯一性。设有两个表示式, =1 1 + 22 + + mm, = k11 + k22 + + kmm,两式相减，得,（1k1)1 +(2k2)2 + + (mkm)m = 0,因 1,2,m 线性无关，所以 iki = 0 即,i = ki ( i = 1, 2, , m ) 。,故表示式是唯一的。,3 线性相关性的判定,一、方程组矩阵向量组的关系,(1),即 Ax = b (2),x11 + x

13、22 + + xnn = b (3),显然，由（3）式知，若 b 能由1 , 2 , , n 线性表示，则线性方程组（1）有解，若 b 不能由 1 , 2 , , n线性表示，则线性方程组（1）无解；,当 b = 0时，（3）式变为 x11 + x22 + + xnn = 0（4）,显然，由（4）知，若 1 , 2 , , n 线性相关，则它所 对应的齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解，若 1 , 2 , , n 线性无关，则 Ax = 0 仅有零解。,综上所述，向量b能不能由向量组 1 , 2 , , n 线性表 示，则说明它所对应的非齐次的线性方程组 Ax = b 有没有 解的问题；向

14、量组1 , 2 , , n的线性相关性，则说明它所 对应的齐次线性方程组 Ax = 0 有什么样的解的问题。,将A按列分块，由（2）得,例如 向量组,显然， 31 + 22 + 03，所以,线性方程组 x11 + x22 + x33 = ,即,有解。,向量组,由于 1，2， 线性无关，所以 不能由1，2线性表 示，即线性方程组 x11 + x22 = ,亦即,无解。,又如 向量组,显然，1，2，3 线性相关，且,3 31+ 22,所以，线性方程组,x11 + x22 + x33 = 0,有非零解。,向量组,显然，1，2，3 线性无关，所以齐次线性方程组,x11 + x22 + x3 = 0,仅

15、有零解。,二、线性相关性的判定,定理4 向量组 1，2， ，m线性相关的充分必要条件是它所构成矩阵 A = ( 1，2， ，m ) 的秩小于向量个数 m；向量组线性无关的充分必要条件是 R(A) = m。,例1 n 维向量组,称为 n 维单位坐标向量组，试讨论它的线性相关性。,解 n维单位坐标向量组构成的矩阵,E = ( e1， e2， ， en ),是 n 阶的单位矩阵。由 |E| = 1 0，知R(E) = n ，即 R(E) 等于向量组中向量的个数，故由定理4知向量组是线性无关的。,例2 已知,试讨论向量组 1，2，3 及向量组 1，2 的线性相关性。,解 对矩阵（ 1，2，3 ）施行初

16、等行变换，使之变成行阶梯形矩阵，即可同时看出矩阵 (1，2，3) 及矩阵（1，2）的秩，由定理 4 即可得出结论。,（1，2，3）,=,=,可见 R( 1，2 ，3) = 2,由定理4知向量组 1,2 ,3 线性相关； R( 1，2)2，向量组 1,2 线性无关。,例3 已知向量组1, 2 , 3线性无关 ,令 1 = 1 + 2 , 2 = 2 + 3 , 3 = 3 + 1,试证向量组1 , 2 , 3线性无关。,证 设有x1 , x2 , x3使,x1 1+ x2 2 +x3 3 = 0,即 x1 ( 1 + 2 ) + x2( 2 + 3 ) + x3 ( 3 + 1 ) = 0,亦即

17、 ( x1 + x3 ) 1 + ( x1 + x2 ) 2 + ( x2 + x3 ) 3 = 0,因 1, 2 , 3 线性无关 ，故有,由于此方程组的系数行列式,故方程组只有零解 x1= x2 = x3 = 0，所以向量组 1 ,2 ,3 线性无关。,定理5 （1）若向量组 A: 1 ,2, , m 线性相关，则向量组 B :1, 2 , m , m+1也线性相关。反言之，若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关。,证:记 A = ( 1 ,2, ,m ) , B = ( 1, 2 ,m ,m+1 ) 有 R(B) R(A) + 1 ，若向量组A线性相关，则由定理4有R(A) m

18、 ,从而 R(B) R(A) + 1 m + 1,再由定理4知向量组 B 线 性相关。,由上面的证明知：一个向量组若有线性相关的部分组， 则该向量组必线性相关。特别地，含有零向量的向量组一 定线性相关。一个向量组线性无关，则它的任何部分组都 线性无关。,(2) 设,( j = 1,2,m ),即向量j添上一个分量后得向量j,若向量A:1, 2, m线性无关,则向量组B:1,2 ,m也线性无关, 反言之,若向量组 B 线性相关,则向量组 A 也线性相关.,证 记Arm = ( 1,2,m ), B(r+1)m = ( 1, 2 , , m ),有 R(A) R(B).若向量组A线性无关，则R(A

19、) = m,从而R(B) m. 但 R(B) m,故 R(B) m ，因此向量组 B 线性无关。,推论 若r维的向量线性无关,在r维的向量组每个向量都 添上n-r个分量，得n维的向量组，则n维的向量组线性无关。,（3）m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量的 个数m时一定线性相关。,证 m个n维向量1,2,m构成的矩阵 Anm = (1,2,m), 有R(A) n.,若n m,则R(A) s 不能成立 ,故 r s。,推论1 等价的向量组的秩相等。,证 设向量组A与向量组B的秩分别为 s 和 r，因两个向量组等价，即两个向量组能相互线性表示，故 s r与 r s 同时成立，所以s = r。

20、,推论2 设Cmn= Ams Bsn，则,证 将矩阵C 和 A用其列向量表示为,C = ( c1,c2,cn ) , A = ( a1,a2,as ) , B = ( bij ) ,由,知矩阵 C 的列向量组能由 A的列向量组线性表示，因此,R(C) R(A)。,因 CT = BTAT,同理可证R(C T) R(BT)。,注：定理7与推论2是同一个原理的两种表现形式，定 理 7 是以向量的形式表现的，而推论 2 则是以矩阵的形式 表现的。,即 R(C ) R(B)。,推论3 设向量组B是向量组A的部分组，若向量组B 线性无关，且向量组 A能由向量组B 线性表示，则向量组 B是向量组A的一个极大

21、无关组。,证 设向量组B含r个向量，则 R(B) = r ，因 A 组能由 B 线性表示，故 R(A) r ，从而A 组中任意 r+1个向量线性相 关。所以向量组B 满足极大无关组的条件，故向量组B是向 量组A的一个极大无关组。,例3 设向量组B能由向量组A线性表示，且它们的秩相等，证明向量组 A与向量组B等价。,证 设向量组A、B的秩均为r,并设A组和B组的极大无关组分别为：,A0 : 1 , 2 , , r,B0 : b1, b2, , br,因B组能由A组线性表示，故B0组也能由A0组线性表示, 即有r阶方阵Kr使,（b1, b2, , br）（1 , 2 , , r）Kr,因B0组线性

22、无关，故,R(b1, b2, , br) = r,由推论2，有R(Kr) R (b1, b2, , br) = r。,但R(Kr) r,因此,R(Kr) r,于是矩阵Kr可逆，并有,(1 , 2 , , r) (b1, b2, , br) Kr-1,即A0组能由B0组线性表示，从而A组能由B组线性表示。故 向量组A与向量组B等价。,例4 已知,证明向量组 1,2与 1,2等价。,证一 要证存在2阶方阵X、Y，使,(1,2) = (1,2) X,(1,2) = ( 1,2)Y,先求X，对增广矩阵(1,2 ,1,2 )施行初等行变换变为 行最简形矩阵：,(1,2 ,1,2 ) ,即得,1,2与 1

23、,2等价。,因|X| = 10,知X可逆，取Y = X-1,即合所求。因此向量组,证二 对矩阵(1,2)施行初等列变换变为 则 1,2与 等价。因此，对 (1,2)和( 1,2)施行初 等列变换变为列最简形矩阵，若两个列最简形矩阵相同， 则1,2与1,2都与列最简形矩阵的列向量组等价， 从而(1,2)与( 1,2)等价，若1,2与 1, 2 的列最 简形矩阵不同，则(1,2)与( 1,2)不等价。于是,因 1,2与 1,2 有相同的列最简形矩阵， 故 (1,2) 与( 1,2) 等价。,证三 显然1,2线性无关，1,2也线性无关，而,(1,2,1,2),知R(1,2,1,2) = 2。因此1,

24、2与1,2都是向量组 1,2,1,2，的极大无关组，所以1,2 与1,2等价。,5 向量空间,一、向量空间的概念,定义7 设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且 满足,（1）若 V, V,则 + V;,（2）若 V， R,则 V。,那么就称为集合V为向量空间。,注：定义中的（1）、（2）两条称为对加法及数乘两 种运算封闭。,例1 （1） 3维向量的全体R3是一个向量空间。,（2）n维向量的全体Rn也是一个向量空间。,例2 验证集合,V0 = x = (0, x2, , xn)T | x2, xn R,是否是一个向量空间。,解 因为 V0, V0， R ,有, + = ( 0, a2, , a

25、n )T + ( 0, b2,bn )T = ( 0, a2+b2,an+bn )T V0, = ( 0, a2, , an )T V0,故V0是一个向量空间。,。,例3 验证集合,V1 = x = (1, x2, , xn)T | x2, xn R,解 因为 V,有,2 = ( 2, 2a2, , 2an )T V1,故V1不是一个向量空间。,例4 设和 为两个已知的 n维向量，验证集合,V = x = + | , R,是一个向量空间。,解 取x1 = 1 + 1, x 2= 2 + 2 V, k R.则有,x1+x2 = (1+ 2) + (1+ 2 ) V,k x1 =( k1) +(

26、k 1) V。,故V是一个向量空间。,注：我们称如上构成的向量空间为由 、 所生成的向 量空间。,一般地，由向量组 1,2,m所生成的向量空间为： V = x = 11 + 22 + +mm | 1, 2, , m R 。,例5 设向量组1,2, m与向量组b1,b2,bs等价，记,V1 = x = 11+22+mm| 1, 2, , m R ，,V2 = x = 1b1+ 2b2+sbs| 1, 2, s R ，,试证 V1 = V2。,证 xV1,，则x可由1,2,m线性表示。因1,2, m可由b1,b2,bs线性表示，故 x 可由 b1,b2,bs线性表示， 所以 xV2 。即 xV1，

27、则 xV2，因此V1V2 。,同理可证 xV2，则 xV1，因此V2V1 。,因为 V1V2 ，V2V1，所以V1 = V2。,定义8 设有向量空间V1 及V2，若V1V2 ，就称V1 是V2的子空间。,(1) 任何由 n 维向量所组成的向量空间V,总有VRn 所以这样的向量空间总是Rn的子空间。,(2) 例2中的V0也是Rn的子空间。,(3) 例4中的由n 维向量 和 所生成向量空间也是 Rn的子空间。,二、向量空间的基与维数,定义9 设V为向量空间，如果 r 个向量 1, 2 , r V , 且满足,(1) 1, 2 , r 线性无关；,(2) V中任一向量都可由1, 2 , r 线性表示，,那末，向量组1, 2 , r 就称向量空间V的一个基，r 称为 向量空间V的维数，并称V为r 维的向量空间。,1、如果向量空间V没有基，那末V的维数为0。,2、0维的向量空间只含有一个零向量0。,3、若把向量空间V看作向量组，则V的基就是向量组 的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。,4、V0 = x = (0, x2, , x