高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题二 第1讲

1、第第 1 1 讲讲三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 【高考考情解读】1.对三角函数的图象和性质的考查中，以图象的变换，函数的单调性、 奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时 也与平面向量， 解三角形或不等式内容相互交汇.2.题型多以小而活的选择题、 填空题来呈现， 如果设置解答题一般与三角变换、 解三角形、 平面向量等知识进行综合考查， 题目难度为中、 低档 1 三角函数定义、同角关系与诱导公式 (1)定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则 sin y，cos x， y tan .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正

2、弦，三正切，四余弦 x sin (2)同角关系：sin2cos21，tan . cos k (3)诱导公式：在 ，kZ Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限” 2 2 三角函数的图象及常用性质 函数ysin xycos xytan x 图象 在 单调性 2k ， 22 在( k， 22 k)(kZ Z)上单调 递增 k， 2 2k(kZ Z)上单调递增； 3 在 2k ， 22 2k(kZ Z)上单调递减 对称中心： (k， 0)(kZ Z)； 在2k， 2k(kZ Z)上单调 递增；在 2k，2k(kZ Z) 上单调递减 对称性 对称轴：x k(kZ Z) 2 对称中心：( k，0)(k

3、Z Z)； 2 对称轴：xk(kZ Z) 对称中心： ( 0)(kZ Z) 3 三角函数的两种常见变换 考点一三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题 例 1 系，建立如图所示的坐 (1)如图，为了研究钟表与三角函数的关 标系，设秒针针尖位置P(x，y)若初始位置为 P0 31，当秒针 2 ，2 从 P0(此时 t0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标 y 与时间 t 的函 数关系为() t Aysin 306 t Cysin 306 t Bysin 606 t Dysin 303 () 33 sin，cos 落在角 的终边上，且 0,2)，则 的值为 (2)已知点 P 44 A.4

4、 3 B. 4 5 C. 4 7 D. 4 弄清三角函数的概念是解答本题的关 键 答案(1)C(2)D 解析(1)由三角函数的定义可知， 初始位置点 P0的弧度为 ， 由于秒针每秒转过的弧度 6 为，针尖位置P 到坐标原点的距离为 1，故点P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系可 30 t . 能为 ysin 306 3 cos cos 44 (2)tan 1， 3 sin sin 44 又 sin 33 0，cos0， 44 7 所以 为第四象限角且 0,2)，所以 . 4 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题 (如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解应用定义时，注意三角函

5、数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关 (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化 简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等 1 (1)已知 (，0)，tan(3) ， 3 3 则 cos 2的值为 A. 10 10 () B 10 10 3 10 C. 10 答案B 3 10 D 10 1 解析由 tan(3) ， 3 31 cos sin .得 tan ，cos 22 3 (，0)，sin 10. 10 (2)如图，以 Ox 为始边作角 (00) 的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函 数

6、的周期确定 ； 确定 常根据“五点法”中的五个点求解， 其中一般把第一个零点作 为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置 (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中 的自变量 x 而言的，如果x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长 度和方向 (1)(2013四川)函数 f(x)2sin(x)(0， 0. 从而有2，故 1. 2 B2 () C3D4 2x 2. 由知，f(x)2sin 4 若 0x ， 2 5 则 2x . 444 当 2x ， 442 即 0x 时，f(x)单调递增； 8 5 当 2x ， 244 即 x 时，f(x

7、)单调递减 82 0， 上单调递增， 综上可知，f(x)在区间 8 在区间 8，2上单调递减 1求函数 yAsin(x)(或 yAcos(x)，或 yAtan(x)的单调区间 (1)将 化为正 (2)将 x 看成一个整体，由三角函数的单调性求解 2 已知函数 yAsin(x)B(A0，0)的图象求解析式 ymaxyminymaxymin (1)A ，B . 22 2 (2)由函数的周期 T 求 ，. T (3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求. 3 函数 yAsin(x)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点 4 求三角函数式最值的方法 (1)将三角函数式化为 yAsin(x)B 的形式，进而

8、结合三角函数的性质求解 (2)将三角函数式化为关于sin x，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求 解 5 特别提醒： 进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身. 1 假设若干个函数的图象经过平移后能够重合， 则称这些函数为“互为生成函数” 给出 下列函数： f(x)sin xcos x；f(x) 2(sin xcos x)； f(x) 2sin x2；f(x)sin x. 则其中属于“互为生成函数”的是 A 答案B 2 已知函数 f(x)sin xcos x 3cos2x 任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为 . 4 (1)求 f(x)的表达

9、式； (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来 8 的 2 倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，若关于x 的方程 g(x)k0 在区间0， 上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围 2 1cos 2x 13 解(1)f(x) sin 2x 3 222 13 sin 2xcos 2xsin(2x )， 223 由题意知，最小正周期 T2 ， 42 2 T ，所以 2， 22 4x . f(x)sin 3 (2)将 f(x)的图象向右平移 个单位后， 8 得到 ysin(4x )的图象， 6 再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2 倍， 3(

10、0)，直线 xx 1，xx2 是 yf(x)图象的 2 B () CD 纵坐标不变，得到 ysin(2x )的图象 6 所以 g(x)sin(2x ) 6 5 令 2x t，0x ， t. 6266 g(x)k0 在区间0， 上有且只有一个实数解， 2 5 即函数 g(t)sin t 与 yk 在区间 ， 上有且只有一个交点 66 如图， 11 由正弦函数的图象可知 k 或k1. 22 11 0， 由于 sin cos 2sin 4 3 且 为第二象限角， 3 所以 2k 2k ，kZ Z， 24 3 所以 4k0，|0)的图象关于直线 x 对称，且f 120，则 的最小 3 值为() A2

11、答案A B4C6D8 ，0是 f(x)图象的一个对称中心，又 x是一条对称轴，所以 解析由 f 0 知 1212 3 0 应有2 ， 4312 解得 2，即 的最小值为 2，故选 A. 6 (2013江西)如图，已知 l1l2，圆心在 l1上、半径为 1 m 的圆 O 在 t 0 时与 l2相切于点 A，圆 O 沿 l1以 1 m/s 的速度匀速向上移动，圆 被直线 l2所截上方圆弧长记为 x，令 ycos x，则 y 与时间 t(0t1， 单位：s)的函数 yf(t)的图象大致为() 答案B 解析方法一(排除法) 当 t0 时，ycos 01，否定 A、D. 12 当 t 时，l2上方弧长为

12、 . 23 21 ycos . 32 否定 C，只能选 B. 方法二(直接法) 由题意知AOBx，OH1t， xOH cosAOHcos 1t， 2OA x ycos x2cos2 1 2 2(1t)21(0t1) 选 B. 二、填空题 7 已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 P(4，y)是角 终边上一点，且 2 5 sin ，则 y_. 5 答案8 解析因为 sin 2 5 ， 5 224y y 所以 y0，且 y264，所以 y8. 8 函数 f(x)sin xcos x|sin xcos x|对任意的 xR 都有 f(x1)f(x)f(x2)成立，则 |x2x1|的最小

13、值为_ 3 答案 4 解析依题意得，当 sin xcos x0， 即 sin xcos x 时，f(x)2sin x； 当 sin xcos x0，所以 1. 24 2x . (2)由(1)知 f(x)sin 3 358 当 x时， 2x . 2333 所以 3 2x 1. sin 32 3. 2 所以1f(x) 33 ， 上的最大值和最小值分别为 ，1.故 f(x)在区间 22 xR ，0，0 的部分图象如图所示 12(2012湖南)已知函数 f(x)Asin(x) 2 (1)求函数 f(x)的解析式； x fx的单调递增区间 (2)求函数 g(x)f 1212 115 解(1)由题设图象知，周期T2 12 12， 2 所以 2. T 5 因为点 12，0在函数图象上， 5 2 0，所以 Asin 12 50. 即 sin 6 5 54 又因为 0 ，所以 . 2663 5 从而，即 . 66 又点(0,1)在函数图象上，所以Asin1，解得 A2.