高考数学(精讲 精练 精析)专题61 数列的通项公式与求和试题(江苏版)(含解析)

1、专题专题 1 1数列的通项公式与求和数列的通项公式与求和 【三年高考】【三年高考】 1 【2015 江苏高考，11】数列an满足a11，且an1an n1（nN*） ，则数列 为 【答案】 1 的前 10 项和 an 20 11 【解析】由题意得：a n (a n a n1)(an1 a n2 )K (a 2 a 1) a1 n n1L 21 所以 11112n20 2(),S n 2(1) ,S 10 a n nn 1n 1n 111 n(n1) 2 【考点定位】数列通项，裂项求和 2 【2016 高考浙江文数】（本题满分 15 分） 设数列an的前n项和为S n .已知S 2 =4，an1

2、=2S n +1，nN*. （I）求通项公式an； （II）求数列ann2的前n项和. 2,n 1 n1* 【答案】 （I）a n 3,nN； （II）T n 3 nn25n11. *,n 2,nN 2 【解析】 试题分析： （I）由an1 2Sn1转化为an1 3an，进而可得数列an的通项公式； （II）先去掉绝对值， 再对n的范围讨论，采用分组求和法，即可得数列ann2的前n项和 试题解析： （I）由题意得： a 1 a 2 4 a 1 1 ，则， a 2a 1a 3 21 2 又当n2时，由an1an (2Sn1)(2Sn11) 2an， 得an1 3an， n1* 所以，数列an的通

3、项公式为a n 3,nN. 考点：等差、等比数列的基础知识. 【方法点睛】 数列求和的常用方法： （1） 错位相减法： 形如数列anb n的求和， 其中 a n是等差数列， b n 11 是等比数列； （2）裂项法：形如数列或的求和，其中f n，gn是 fngn fngn 关于n的一次函数； （3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分 3. 【2016 高考浙江理数】设数列an的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，nN ，则a1=，S5= . 【答案】1 121 【解析】 试题分析：a 1 a 2 4,a 2 2a 1 1 a 1 1,a 2 3， 再由a n1 2S

4、 n 1,a n 2S n1 1(n 2) a n1 a n 2a n a n1 3a n (n 2)，又a 2 3a 1 ， * 135 所以a n1 3a n (n 1),S 5 121. 13 考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前n项和 【易错点睛】由an1 2Sn1转化为an1 3an的过程中，一定要检验当n 1时是否满足an1 3an，否 则很容易出现错误 ，S 7 28.记b n = lga n ，其中x4. 【2016 高考新课标 2 理数】Sn为等差数列an的前n项和，且a 1 =1 表示不超过x的最大整数，如 0.9 =0， lg99 =1 （）求b 1 ，b 11 ，

5、b 101 ； （）求数列b n的前 1 000 项和 【答案】 （）b 1 0，b 11 1，b 101 2； （）1893. 【解析】 试题分析： （）先用等差数列的求和公式求公差d，从而求得通项an，再根据已知条件 x 表示不超过x 的最大整数，求b 1 ，b 11 ，b 101 ； （）对n分类讨论，再用分段函数表示b n ，再求数列b n的前 1 000 项和 考点：等差数列的的性质，前n项和公式，对数的运算. 【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以 “旧”攻“新” ；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新” ，应特别关注

6、创新题型的切入点和生 长点. 5. 【2016 高考山东理数】 （本小题满分 12 分） 2 已知数列a n 的前n项和 Sn=3n+8n，b n 是等差数列，且an b n b n1. （）求数列b n 的通项公式； (a n 1)n1 （）令c n . 求数列c n 的前n项和Tn. (b n 2)n 【答案】 （）bn 3n1； （）T n 3n 2n2. 【解析】 试题分析： （）根据an SnSn1及等差数列的通项公式求解； （）根据（）知数列cn的通项公式， 再用错位相减法求其前n项和. 试题解析： （）由题意知当n 2时，an S n S n1 6n5， 当n 1时，a 1 S

7、1 11， 所以an 6n5. 设数列bn的公差为d， a 1 b 1 b 2 11 2b 1 d 由，即，可解得b 1 4,d 3， a b b17 2b 3d 231 2 所以bn 3n1. (6n6)n1 3(n1)2n1， （）由（）知cn n(3n3) 又Tn c 1 c 2 c 3 c n ， 得Tn 322 32 42 (n1)2 234n1， 2T n 3223324425 (n1)2n2， 两式作差，得 T n 32222324 2n1(n1)2n2 4(2n1) 34(n1)2n2 21 3n2n2 所以T n 3n 2n2 考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比

8、数列的求和；3.“错位相减法”. 【名师点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、 等比数列的求和、 数列求和的 “错位相减法” . 此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确 定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数 .本题能 较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等. 6. 【2016 高考浙江理数】设数列a n满足 a n （I）证明：an 2n1 a n11，n 2 a 1 2，n； 3 （II）若a n ，n，证明：a n 2，n 2 【答案】 （I）证明见解析； （II）证

9、明见解析 n 试题解析： （I）由an a n1 1 1得a n a n1 1，故 22 a n a n1 1 ，n， nn1n222 所以 a 1 21 a 1 a 2 a 2 a 3 a n1 a n 1 n1 n n2 23 22 22 2 2 2 a n 111 12n1222 1， 因此 a n 2n1a 1 2 （II）任取n，由（I）知，对于任意m n， a n a n1 2n2m 2n2n1 a n a m a n1 a n2 n1 n22 2 a m1 a m m1 m 2 2 111 nn1m1222 1 n1 ， 2 故 1 a na n n1 m2 m 22 m 11

10、3 n n1 m 2 2 2 2 3 2 2n 4 从而对于任意m n，均有 m 3 a n 2 2n 4 由m的任意性得a n 2 m 否则，存在n0，有an 0 2，取正整数m 0 log 3 4 a n0 2 2n0 且m0 n0，则 3 2 4 m0 m0 3 2 4 n0 log3 4 an 0 2 2n0 a n0 2， 与式矛盾 综上，对于任意n，均有a n 2 考点：1、数列；2、累加法；3、证明不等式 【思路点睛】 （I）先利用三角形不等式及变形得 a n a n1 a 1 a n 1 n 1，进而可 ，再用累加法可得 nn1n22222 m 证an 2n1 3 n （II）

11、由（I）的结论及已知条件可得an 2 2 ，再利用m的任意性可证 a 1 2； 4 a n 2 7. 【2016 高考上海理数】无穷数列an由 k 个不同的数组成，S n 为an的前 n 项和.若对任意nN， S n 2,3，则 k 的最大值为_. 【答案】4 考点：数列求和. 【名师点睛】从分析条件入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列 an由 k 个不同的数组成” 的不同和“k 的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等. 8. 【2016 高考新课标 1 文数】 （本题满分 12 分）已知 a n是公差为 3 的等差数列 ,数列 b n满足 1 b 1=1，

12、b2 = ，a nbn1 b n1 nb n ,. 3 （I）求an的通项公式； （II）求b n的前 n项和. 【答案】 （I）an 3n1（II） 【解析】 试题分析： （I） 由已知条件求出首项为2,根据公差为 3,即可确定等差数列的通项公式； （II）先判断b n是 等比数列,再求出通项公式,最后,再利用等比数列求和公式求b n的前 n项和. 31 . 223n1 考点：等差数列与等比数列 【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程 可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可 看作

13、方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 2(2a n1 1)a n 2a n1 0.9. 2016 2016 高考新课标文数高考新课标文数 已知各项都为正数的数列a n满足 a 1 1，a n （I）求a2,a3； （II）求a n的通项公式. 【答案】 （）a 2 【解析】 试题分析： （）将a11代入递推公式求得a2，将a2的值代入递推公式可求得a3； （）将已知的递推公 式进行因式分解，然后由定义可判断数列an为等比数列，由此可求得数列an的通项公式 试题解析： （）由题意得a 2 111 （）a n n1 ,a 3 ； 242 11 ,a 3 . .5 分 24

14、2 （）由a n (2a n1 1)a n 2a n1 0得2a n1(an 1) a n (a n 1). 因为an的各项都为正数，所以 故an是首项为1，公比为 a n1 1 ， a n 2 11 的等比数列，因此a n n1 . .12 分 22 a n1 q（常数） ； （2）中项法，即证 a n 考点：1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式 【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法： （1）定义法，即证明 2 明a n1 a nan2 根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解 10. 【2016 高考北京文数】 （本小题 13 分） 已知an是

15、等差数列，bn是等差数列，且b23，b3 9，a 1 b 1 ，a14 b4. （1）求an的通项公式； （2）设cn anbn，求数列cn的前n项和. 3n1 【答案】 （1）an 2n1（n 1，2，3，） ； （2）n 2 2 【解析】 试题分析： （）求出等比数列bn的公比，求出a 1 b 1 ，a14 b4的值，根据等差数列的通项公式求解； （）根据等差数列和等比数列的前n项和公式求数列cn的前n项和. n1 （II）由（I）知，an 2n1，b n 3 因此c n a n b n 2n13n1 从而数列c n的前 n项和 S n 13 2n113 3n1 n12n113n 213

16、3n1 n 2 2 考点：等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查运算能力. 【名师点睛】1.数列的通项公式及前 n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用.数 列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和 Sn可视为数列Sn的通项. 通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思 想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类 讨论思想(如：等比数列求和，q 1或q 1)等. 11.【2015 高考安徽，文 13】已知数列an中，a11，a

17、n an1 等于 . 【答案】27 1 （n 2） ，则数列an的前 9 项和 2 【解析】n 2时，an an1 S9 91 111 ,且a 2 a 1 ，an是以a1为首项，为公差的等差数列， 222 981 918 27 22 12.【2015 高考新课标 1，文 13】数列an中a 1 2,a n1 2a n ,S n 为an的前n项和，若Sn126，则 n . 【答案】6 【解析】a 1 2,a n1 2a n ，数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 2(12n) 126，2n 64，n=6. Sn 12 1n 13. 【2015 高考山东， 文 19】 已知数列an是首项

18、为正数的等差数列， 数列.的前n项和为 2n1a a nn1 （I）求数列an的通项公式； （II）设b n a n 12 n，求数列bn的前n项和Tn. a 【解析】 （I）设数列a n的公差为 d，令n 1,得 11112 ，所以a 1a2 3.令n 2,得 ， a 1a2 3a 1a2 a 2a3 5 所以a2a315.解得a11,d 2，所以an 2n1. 2n4 n4n,所以T n 141 242. n4n,所以 （II）由（I）知bn 2n2 4T n 142 243.(n1)4n n4n1,两式相减，得3T n 4142.4nn4n1 4(14n)13n n1 43n1 n1 4

19、4(3n1)4n1 n1n44,所以T n 4. 1433999 14.【2015 高考湖南，文 19】设数列an的前n项和为Sn，已知a 1 1,a 2 2，且 a n1 3S n S n1 3,(nN*)， （I）证明：an2 3an； （II）求Sn. （II） 由 （I） 知，an 0， 所以 a n2 3， 于是数列a 2n1 是首项a11， 公比为 3 的等比数列， 数列a2n a n n1n1 是首项a 1 2，公比为 3 的等比数列，所以a 2n1 3,a 2n 23 ，于是 S 2n a 1 a 2 L a 2n (a 1 a 3 L a 2n1)(a2 a 4 L a 2n

20、 ) 3(3n1) (13L 3)2(13L 3) 3(13L 3) ，从而 2 n1n1n1 3(3n1)3 S 2n1 S 2n a 2n 23n1(53n21)，综上所述， 22 n2 3 (5321),(n 2k 1,kN*) .S n 2 n 3 (321),(n 2k,kN*) 2 15.【2015 高考浙江，文 17】已知数列a n 和b n满足， a 1 2,b 1 1,a n1 2a n (nN ), * 111 b 1 b 2 b 3 L b n b n1 1(nN*). 23n （1）求a n与 b n ； （2）记数列a nbn的前 n 项和为 T n ，求Tn. 16

21、.【2014 高考全国 2 卷文第 16 题】数列an满足an 1 1 ,a 8 2，则a1 _ 1a n 【答案】 1 2 11111 ，a6 11，a 5 12， ，a8 2，所以a 7 1 a n 1 a 8 2a 7 a 6 【解析】由已知得，an 1 a 4 1 111111 ，a3 11，a 2 12，a 1 1 a 5 2a 4 a 3 a 2 2 17.【2014 高考安徽卷文第 18 题】数列an满足a1 1, na n 1 (n1)a n n(n1), nN （1） （2） 证明：数列 n an 是等差数列； n 设bn 3a n ，求数列bn的前n项和S n 【解析】 （

22、1）证明：由已知可得， a n 1 a n aaaa 1，即n 1n1，所以n是以11为首项，1 为 1n1nn1nn 公差的等差数列.（2）由（1）得 a n1(n1)1n ，所以an n2，从而b n n 3n. n S n 1 312 323 33Ln 3n 3S n 1 322 333 34Ln 3n 1 nn 13 (1 3 )(1 2n) 33 n 112nn 1n 3 得 2S n 33L3n 3 . 132 (2n 1) 3n 13 所以Sn. 4 n2n ，nN .18.【2014 高考湖南卷文第 16 题】已知数列an的前n项和Sn 2 (1)求数列an的通项公式； (2)

23、设bn 2 n 1 a n ，求数列bn的前2n项和. a n 19.【2014 高考山东文第 19 题】在等差数列an中，已知公差d （1）求数列an的通项公式； （2）设bn 2，a 2 是a1与a4的等比中项. a n(n1) ，记T n b 1 b 2 b 3 b 4 L (1)nb n ，求Tn. 2 22 【解析】 （1）由题意知(a1 d) a1(a13d)，即(a1 2) a1(a16)，解得a 1 2，所以数列a n 的通 项公式为an 2n. n （2）由题意知bn an(n1) n(n1).所以Tn 12 2334L (1) n(n1).因为 2 b n1 b n 2(n

24、1).可得，当 n 为偶数时， n (42n) n(n2) 2 T n (b 1 b 2 )(b 3 b 4 )L (b n1 b n ) 4812L 2n 22 (n1)2(n1)(n1) 当 n 为奇数时，TnTn1(bn) n(n1) 22 (n1)2 ,n为奇数 2 所以Tn. n(n2) ，n为偶数 2 【20XX 年高考命题预测】 纵观 2016 各地高考试题，对数列通项公式和求和这部分的考查，主要考查数列的概念与表示方法、数列递 推关系与通项公式的联系、数列的求和方法，往往与函数、方程、不等式等知识建立联系，高考中一般会 以各种形式考查.对数列概念与表示方法的考察，要深刻体会数列

25、不光体现一种递推关系，它具有函数特 征，故经常会与函数、方程、不等式等知识联系考察.对数列通项公式的考察，一般会以等差数列和等比数 列具体形式出现，或者由项的递推关系或者项与前n 项的的关系得出，同时要注意从特殊到一般思想的灵 活运用对数列求和的考察，要掌握常见的数列求和方法（直接求和、倒序相加法、错位相减法、裂项相 加法） ，往往会和不等式建立联系，会牵涉到放缩法，难度会大点，注意等价转换思想的活用 从近几年的高考试题来看，难度属中低档的题目，小题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和 公式为载体，结合数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”， 注重

26、题目的综合与新颖， 突出对逻辑思维能力的考查 预测 20XX 年高考仍将以等差数列， 等比数列的定义、 通项公式和前n项和公式为主要考点，特别是错位相减法求和问题，重点考查学生的运算能力与逻辑推理 能力理科可能与不等式恒成立巧妙结合出一大题 【20XX20XX 年高考考点定位】年高考考点定位】 高考对数列的通项公式与求和的考查有三种主要形式：一是考察数列的概念与表示；二是数列通项公式； 三是数列求和；其中经常与函数、方程、不等式等知识的相联系 【考点【考点 1 1】数列的概念与表示】数列的概念与表示 【备考知识梳理【备考知识梳理】 1定义：按照一定顺序排列着的一列数 2表示方法：列表法、解析法

27、（通项公式法和递推公式法） 、图象法 3分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动 数列和常数列 S 1(n 1) 4an与Sn的关系：an S S(n2) n1 n 5处理方法：.用函数的观点处理数列问题 【规律方法技巧】【规律方法技巧】 1. 数列是定义域为正整数集或其有限子集的函数，故数列具有函数的特征（周期性、单调性等） 2. 观察法是解决数列问题的法宝，先根据特殊的几项，找出共同的规律，横看“各项之间的关系结构” ， 纵看“各项与项数 n 的关系” ，从而确定数列的通项公式 【考点针对训练】【考点针对训练】 1. 已知函数f (x)由下

28、表定义： 若a1 5，an1 f (an)（n 1,2,L） ，则a2016 【答案】4 【解析】a2 f a 1 f5 2 ，a3 f a 2 f21，a 4 fa 3 f1 4 ， a 5 fa 4 f45 L 可知数列an是循环数列周期为 4，所以a2016 a4504 a4 4. 157 ,的一个通项公式是 3 2781 n1 2n 1 【答案】an (1). 3n 3 n 【解析】考虑到数列的特征，第二项可以看作是a2 ，这样各项分母可以看作是3，而分子是2n1， 9 n1 2n 1 因此通项为an (1) 3n 2.数列, 【考点【考点 2 2】递推关系与数列通项公式】递推关系与数

29、列通项公式 【备考知识梳理【备考知识梳理】 在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈数列通项公式 的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应 于已知数列类型的题目2、公式法， 若已知数列的前n项和S n 与an的关系，求数列a n 的通项a n 可用 公式an 1 3 S 1 n 1 求解3、由递推式求数列通项法，对于递推公式确定的数列的求解，通 Sn S n1 n 2 常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数 列4、待定系数法（构造法） ，求数列通项公

30、式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式， 观察、分析、推理能力要求较高通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这 种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转 化方法 【规律方法技巧】【规律方法技巧】 数列的通项的求法： 公式法： 等差数列通项公式； 等比数列通项公式.已知Sn（即a 1 a 2 L a n f (n)）求a n ，用作差法：an S 1,(n 1). S n S n1,(n 2) f (1),(n 1) f (n)L ga n f (n)求a n ，用作商法：an已知a1ga2g. ,(n 2)

31、f (n1) 若an1an f (n)求an用累加法：an (anan1)(an1an2)L (a2a 1) a1 (n 2). 已知 a n1 aaa f (n)求a n ，用累乘法：an nn1L 2a 1 (n 2).已知递推关系求a n ，用构造 a n a n1 a n2 a 1 n 法（构造等差、等比数列）.特别地， （1）形如an kan1b、an kan1b（k,b为常数）的递推数列 都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an.如(21)已知a 1 1,a n 3a n1 2，求a n ； （2） 形如an a n1 的递推数列都可以用倒数法求通项. ka n1 b

32、 注意： （1）用an S n S n1 求数列的通项公式时， 你注意到此等式成立的条件了吗？ （n 2，当n 1时， a 1 S 1） ； （2）一般地当已知条件中含有 a n 与Sn的混合关系时，常需运用关系式an S n S n1 ，先将已 知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解. （3）由Sn与S n1 的关系，可以先求Sn，再求an，或 者先转化为项与项的递推关系，再求an 【考点针对训练】【考点针对训练】 1. 已知数列a n满足 a 1 2，a n1 【答案】 1a n（nN N*） ，则a 3 的值为 . 1a n 1 2 1a 1 121a 2 131 3,a 3 1

33、a 1 121a 2 132 【解析】a 2 2.已知数列an的前 n 项和S n 2a n 2n1，若不等式2n2n3 (5)a n 对 n N恒成立，则整数的最 大值为 【答案】4 【考点【考点 3 3】数列求和】数列求和 【备考知识梳理【备考知识梳理】 数列的求和也是高考中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体现了化归的思想方 法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点估计在以后的高考中不会有太大的改变数列求和的常 用方法，尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和，数列求和的基本方法：1.基本公式法：1 等差数列求和公式：Sn na 1 a n nn1 na 1

34、d 2等比数列求和公式： 22 q 1 na 1, 012nnS n a 1 1qn a a q 3C n C n C n L C n 2 . 1n,q 1 1q 1q 2.错位相消法：一般适应于数列a nbn的前 n向求和，其中a n成等差数列， bn成等比数列 3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和 4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项 再求和.常见的拆项公式有：1若an是公差为d的等差数列，则 11 1 1 ； a nan1 d a n a n1 m1mm C n Cn1n ；4Cn 1n ； 2

35、1 11 ；3 2n12n1 22n12n1 111 nk nk 5nn!n1!n!. 5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的 【规律方法技巧】【规律方法技巧】 数列求和关键是研究数列通项公式，根据通项公式的不同特征选择相应的求和方式，若数列是等差数列或 等比数列，直接利用公式求和；若通项公式是等差乘等比型，利用错位相减法；若通项公式可以拆分成两 项的差且在累加过程中可以互相抵消，利用裂项相消法，从近年的考题来看，逐渐加大了与函数不等式的 联系，通过对通项公式进行放缩，放缩为易求和的数列问题处理 【考点针对训练】【考点针对训练】 1.1. 【南通市 20X

36、X 届高三下学期第三次调研考试数学试题】设数列a n满足 a 1 1,1a n1 1a n 1nN 【答案】 ，则a a的值为 . kk1 k1 100 100 101 11 1 1，因此数列 为首项为 1，公 a n1 a n an 【解析】1an11an 1 a n1 a n a n1an 0 100100111100 1 1 1100 n,a n ， 1. 差为 1 的等差数列， 即因此akak1 a n n k(k 1)kk 1101101 k1k1 k1 2. 【淮宿连徐 20XX 届高三第二次调研】已知各项均为正数的数列an的首项a11，Sn是数列an的前 * n 项和，且满足：a

37、nSn1 an1Sn an an1anan1( 0.n N ). （1）若a1，a 2 ，a3成等比数列，求实数的值; （2）若 1 ，求Sn. 2 n25n n 3 【答案】 （1）1（2）Sn + + an 1 226 【解析】 （1）令n 1，得a 2 2 1+ + 2+ + 4 + +12+ +1 令n 2，得a2S3a3S2+ +a2a3a2a3，所以a3 2 2+ +42 由a a 1a3 ，得，因为0，所以1 1+ + +1 2+ +1 2 2 （2）当 11 时，a nSn1 a n1Sn + +a n a n1 a nan1 ， 22 所以 S n1 S n S+ +1S n

38、 + +11111 + + ，即 n1 ， a n1 a n1 a n1 a n 2a n1 a n 2 S n + +1 1 所以数列是以2为首项，公差为的等差数列， 2 a n 所以 S n + +11 2+ +n1 ， a n 2 n 3 即Sn+ +1 + + an， 2 2 n 3 当n2时，Sn1+ +1 + + an1， 2 2 n+ +3n+ +2 a n a n1 ， 22 aa 即n + +1ann + + 2an1，所以 nn1n2， n+ +2n+ +1 得，a n 11 a 所以 n 是首项为是常数列，所以an n+ +2. 33n+ + 2 n25n n 3 代入得

39、Sn + + an 1 . 6 2 2 【两年模拟详解析】【两年模拟详解析】 1 【20XX 届安徽六安一中高三下组卷四理科】 已知数列an中的a1,a2分别为直线2x+y -2 = 0在x轴、y 轴上的截距，且 a n+2 -a n= 2，则数列a n 的通项公式为 a n+1 +a n n 【答案】 3n-( -1 ) 4 2【20XX 届江西省九江市高三下学期三模理科】已知数列 a n 各项均不为 0，其前n项和为S n ，且 a 1 1,2S n a nan1，则 S n _. 【答案】 n(n1) 2 2S n a nan1 ，2S n1 a n1an ， 2S 1 a 1a2 ，【

40、解析】 法一：当n 1时，即2a1 a1a2， a2 2.当n 2时， 两式相减得2an an(an1an1)，an 0，an1an1 2，a2k1，a2k都是公差为2的等差数 列，又a11，a2 2，an是公差为1的等差数列，an1(n1)1 n，Sn n(n1) 2 a 1,S n 法二：通过观察1 1 a nan1，发现a n刚好符合条件，故S n(n1) nn 2 2 1 (a n 2)2，则 8 3【20XX 届江苏省清江中学高三考前一周双练一】设数列an的前n项和为Sn，若S n a 3 的所有可能取值的和为 . 【答案】6 2 4【20XX 届江西省吉安市一中高三上学期第五次周考

41、理科】数列an中，a1 3且a n1 a n （n是正整 数） ，则数列的通项公式an 【答案】32n1 2 【解析】由递推公式可得：a 2 3，a 3 3，a 4 3，归纳可得：a n 3 482n1，所以答案应填：a n 32n1 5【20XX 届河北省衡水中学高三下学期二调考试理科】用gn表示自然数n的所有因数中最大的那个奇 数 ， 例 如 ： 9的 因 数 有1,3,9 ， g99,10 的 因 数 有1,2,5,10 ， g105 ， 那 么 g1 g2 g3 g220151 . 420151 【答案】 3 【解析】由g(n)的定义易知当n为偶数时，g(n) g( )，且当n为奇数时

42、，g(n) n令f (n) g(1) n 2 g(2) g(3)L g(2n1)， 则f (n1) g(1) g(2) g(3)L g(2n11)13L (2n11) g(2) g(4) L g(2n12) 2n(12n11) g(1) g(2) g(4)L g(2n12) 4n f (n)， 2 即f (n1)f (n) 4，分别取n为1,2,L ,n并累加得f (n1) f (1) 442L 4n n 4 n(4 1)又 3 4 f (1) g(1)1，所以f (n1)(4n1)1， 3 所以 f (n) g(1) g(2) g(3)L g(2n1) 2015 4 n1(41)1 3 令

43、n 2015 ，得 g(1) g(2) g(3)L g(2 420151 1) 3 a n1 （n， a n2 a 2 3，a 1 2，a n 6【20XX 届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试一文科】 数列an中， ，则a2011 n3） 【答案】2 31 a3a2a1a1 【解析】因为a 1 2，a 2 3，所以a 3 2 ，a 4 3 2 ,a 5 4 2 ，a 6 5 ， a 1 2a 4 3a 2 32a 3 3 3 2 a 7 a 6 a 2,a 8 7 3，所以数列a n是以 6 为周期的周期数列，所以 a 2011 a 33561 a 1 2 a 5 a 6 14 ，a n2 ，

44、则 a n 13 7【 20XX 届内蒙古赤峰二中高三上12 月月考文科】数列 an中，a1 a7 【答案】2 【解析】将a1 4 1 代入递推公式求出a3 -3，再将a 3代入递推公式得， a5 ，同理继续代入得到， 2 3 a 7 2 8【20XX 届北京市海淀区高三上学期期中考试理科】对于数列 为常数）成立，则称数列 （1）若数列 （2）若数列 的通项公式为 的通项公式为 具有性质 ，则 t 的最大值为； ，则实数 a 的取值范围是 ，都有 ，且具有性质 ，且具有性质 【答案】 （1）2； （2）36,) （2）由已知条件得 a m a n a 10m(a n 10n) 10m 0 mn

45、mn 所以数列an10n是递增数列 即an110(n1)(an10n) 0 因为a n n2 a ，所以上式化简为a n(n1)(2n9)， n 令f (n) n(n1)(2n9) 由三次函数的图像性质可知f (n)min为f (1)或f (2)或f (3)或f (4) f (1) 14，f (2) 30，f (3) 36，f (4) 20 所以f (n)min 36 所以a 36a 36 故a的取值范围为36,) 9【20XX 届山东省师大附中高三最后一模文科】用部分自然数构造如图的数表：用aij(i j)表示第i行第 ，使得ai1 aii i.每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之

46、和 .设第n j个数（i, jN ） （nN）行的第二个数为b n (n 2)， （I）写出bn1与bn的关系，并求b n n 2； （II）设c n 2b n 1n，证明： 【答案】 （I）1 11111 L c 2 c 4 c 6 c 2n 2 n(n1) ； （）略 2 10【20XX 届江苏省南师附中等四校高三联考】设函数f (x) 11 ln(2x) ，数列a n 满足： 22 a 1 1,a n1 f (a n )(n N*) （1）求证:x （2）求证: 1 时，f (x) x； 2 1 ； an1（nN *） 2 （3）求证:(ai ai1)ai1 i1 n3 （nN *） 8

47、 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析 【解析】 （1）令Fx f x x 则 F x 11 ln2x x， 22 12x1 ，又x ，可得 F x0 2x2 即Fx在 1 1 1 ,为减函数，故Fx F 0，即x , fx x 2 22 1 a 1 1成立 2 1 （2）假设n k k N *时， a k 1， 2 11 当n k 1kN*时，a k1 fa k ln2a k ， 22 1 根据归纳假设 a k 1，由（1）得： 2 当n 1时，a 1 1, 1 1 11111 ln2 ln2akln21， 2 222222 即： 1 a k1 1，即nk 1时

48、命题成立 2 综上所述对nN*命题成立 11 a n 1,a n1 fa n ,x , f x x ， 22 a a i1 1 可得： a n1 fa n a n 1，从而a i1 1，又a i a i1 0， 22 a a i1 1 2 故a i a i1 a i1 a i a i1 i a i a i 2 1 ， 22 （3）由 则有： a i a i1 a i1 i1 n1 222222a 1 a 2 a 2 a 3 L a n a n 1 2 1 2 1 1 1 3 22a 1 a n 1a1 1n1 222228 11【20XX 届辽宁省大连市八中高三12 月月考理科】已知数列an中

49、a 1 12x ，函数f (x) 21 x （1）若正项数列an满足an1 f (an)，试求出a2，a3，a4，由此归纳出通项an，并加以证明； （2）若正项数列an满足an1 f (an)（nN ） ，数列bn的前项和为 Tn，且b n * a n 1 ，求证：T n 2n12 2n1248 【答案】 （1）a 2 ,a 3 ,a 4 ，a n ； （2）证明见解析 12n1359 2 2a 1 22a 2 3 4 ， ，a 3 【解析】 （1）依题意， a 2 1 a 1 31a 2 1 2 5 3 4 2 2n12a 3 8 5 ；a 4 ，由此归纳得出： a n n1412 1a 3

50、 1 9 5 2 证明如下： a n1 2a n 1a n 1111111 ，1(1)， 1a n a n1 2a n 2a n 2a n1 2 a n 数列 11 1是以 1 为首项、 为公比的等比数列， a n 2 11 1 n1 ，a n a n 2 2n1 ； n1112 1 n12 1 1 1 a12a n 111 * ，1(1)， n1 （2）a n1 f (a n ) （nN ） ， 1 a n1 2 a n 1a n 1 2 a n 1 1 a n 12n1111 n1 ，1 n1 ，即a n 累乘得：，a n ， n1112a212 n 11 n1a 1 2 2n1 n1 a n 2n111 12 bn， nnn