仪征中学高考数学专题复习导学数列教师版,7课时

1、第第 6060 课课数列的概念及简单表示数列的概念及简单表示 一、考纲要求： 数列的概念及简单表示A 二、知识梳理： 阅读课本必修 5 P29P32 问题 1数列的定义及相关概念是什么？与数集有何区别？ 问题 2. 数列有哪些简单表示方法？ 问题 3通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式？ 问题 4. 如何理解数列是一种特殊的函数？ 问题 5. 数列的递推公式是什么？递推公式与通项公式有何异同？ 问题 6. 数列如何分类？有几种分类方法？其中递增数列、递减数列如何判断？ 问题 7. 数列的前项和Sn如何定义？Sn与an的关系是什么？ 画出本节课的知识结构图： 三、诊断练习的体验与

2、体会： 1根据所给的前几项求其通项公式时，关键是对前几项观察分析，先找出相同的部分，再 找出不同部分与序号n之间的关系； 2强调数列是特殊的函数， 数列中的项an是相应的函数值f (n),数列中的第k项即函数中 自变量取k时的函数值； 3an SnSn1是否是数列an的通项公式？知前n项和公式Sn，如何求出数列an的 通项公式？； 4. 根据递推关系式会求数列的项，进而根据数列的前几项求出数列的周期。 四、例题导学 例 1问题 1.如何判断 70 是否是数列的项？ 问题 2.作图时，注意数列与函数的区别是什么？数列的图象是一系列孤立的点 问题 3.如何判断有无最小项的问题？可以用函数的观点来解

3、决，一样的是要注意定义域问 题。 例 2 学生板演， 教师巡视搜集典型错误， 针对错误请其他学生分析错因。 常见错误把 “an” 直接写出成“an SnSn1” ，而忽视“n 2及验证a1” 。 例 3问题：函数有哪些方法求最值？这些方法用在数列上都行的通吗？ 问题：函数单调性的定义是什么？你能以此给数列分类吗？ 问题:能否就说n 9时取最大项？ 追问：我们还有什么方法比较相邻两项的大小？ 解题反思 1数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和数集中元素的区别； 2运用合情推理发现结论是一种创造性思维，成为高考中的热点和重点； 3 通项an与前 n 项和Sn的关系是一个十分重要的考

4、点， 运用时， 不要忘记对an SnSn1 的条件的验证 这类问题的主要题型有两类： 一类是已知Sn求an， 另一类是已知Sn与an的 关系求an。 五、知识结构的巩固与完善 1了解数列的概念和几种简单的表示方法 （列表、 图象、 通项公式） ；通过对一列数的观察、 归纳，写出符合条件的一个通项公式培养学观察能力和抽象概括能力 2了解数列是一种特殊的函数理解数列的通项公式的意义，理解数列的通项公式的意义 n 有以下三层意思： 通项公式是数列的项与序号间的对应关系； 会由通项公式写出数列的前几 项；会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式 3了解数列的递推公式，理解递推公式与通项公式的异同；

5、会根据数列的递推公式写出数 列的前几项；理解数列的前n项和与an的关系；会由数列的前n项和求数列的通项公式 第第 6161 课课等差数列等差数列 一、考纲要求： 等差数列C 二、知识梳理： 阅读课本必修 5 P33P44 问题 1等差数列的定义？ 问题 2等差数列的通项公式？用什么方法推导？ 问题 3.等差数列的前n项和公式？用什么方法推导？ 问题 4.等差数列的性质有哪些？ 问题 5.前n项和的最值如何求？奇数项的和与偶数项的和有何关系？ 画出本节课的知识结构图： 三、诊断练习的体验与体会： 1. 已知数列的递推关系求通项公式时要先判断该数列是否为等差数列或等比数列若是等 差或等比数列，则按

6、等差或等比数列的通项公式求解； 若不是等差或等比数列， 一般先将递 推关系变形，构造一个等差或等比数列，从而求出通项公式 2. 基本量法，对于等差数列，只要能求出首项与公差，其他问题则迎刃而解 3. 利用数列的相关性质，能简化解题过程，达到事半功倍的效果发现S 9 9 (a 1 a 9 )与 2 a 5 之间的关系，用简捷的途径进行计算 4. 法 1.利用基本进行计算；法2.利用等差数列的性质计算，运算量小得多。 四、例题导学 例 1问题 1确定等差数列的通项公式需要几个量？ 问题 2目前有几个条件？如何列式求解？ 问题 3如何判断数列是否为等差数列？如果证明呢？ 证明数列a n是等差数列的两

7、种基本方法是： （1）利用定义，证明an1 a n d（常数） (n N)； （2）利用等差中项，即证明2an an1 an1（n2）. 例 2问题 1利用an与S n 的关系如何实现an与S n 的相互转化？如何消去an？如果需要 消去S n 呢? 问题 2.如果去掉第一问，直接求第二问，如何求解？ 问题 3. a k a k1如何列式？如何求解？对任意大于等于k 的自然数都成立， 如何理解？ 例 3问题 1证明一个数列是等差数列的方法有哪些？ 问题 2要求an，根据所给条件，必须先求什么？如何求？ 解题反思 1确定等差数列的关键是确定首项a 1 和公差d基本量；巧妙运用等差数列的性质， 可

8、化繁为简. 2等差数列通项公式中联系着五个量：a 1 ，d，n，an，Sn，根据方程的思想“知三求 二” 3若三个数成等差数列，可设为a-d，a，a+d，偶数个数成等差数列，可设中间两数 为a-d，a+d 4. 求等差数列S n 最值有三法：借助求和公式是关于n的二次函数的特点,用配方法求解; 借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解 5. 已知通项an,可以求出前n项和Sn,反之,给出Sn,也可以求出an.而且很多时候,题目 中出现的是同时涉及an与Sn的关系式,这类问题的解决办法是利用转化与划归的思想 ,实 现an与Sn的相互转化. 五、知识结构的巩固与完善 1理解

9、等差数列的概念； 2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，体会基本量的方法与方程的思想； 3能在具体的问题情境中，发现等差关系，并能运用有关知识来解决问题； 4理解等差数列与函数的关系. 第第 6262 课课等比数列等比数列 一、考纲要求： 等比数列C 二、知识梳理： 阅读课本必修 5 P45P56 问题 1等比数列的定义？ 问题 2等比数列的通项公式？用什么方法推导？ 问题 3.等比数列的前n项和公式？用什么方法推导？ 问题 4.等比数列的性质有哪些？ 问题 5.如何判断等比数列？如何证明？ 画出本节课的知识结构图： 三、诊断练习的体验与体会： 1考查等比数列的定义、通项公式、前n 项的和公

10、式； 2等比数列下标和的性质； 3基本量的运算，特别要注意求和公式中q 1和q 1，要分类讨论； 4. 方法一:求数列的通项公式,根据等比数列的通项公式的特点求值；方法二：直接根据等 比数列前n项和公式的特点求值 四、例题导学 例 1问题 1：求等比数列的通项公式应想办法求出什么基本量？ 问题 2：能否直接用等比数列前n项的和的公式？ 问题 3：第（2）小题可否用整体的思想解决？ 例 2问题 1 ：根据等比数列如何利用基本量列式？ 问题 2求出an后，如何求bn以及前 n 项的和？（分组求和） 例 3问题 1.在an 5Sn3中有an,Sn，如何处理？ 问题 2.第（2）小题中的项与数列 a

11、n 有什么关系？ 问题 3.该数列的公比和项数为多少？ 追问：作为解答题，是否需要说明该数列为等比数列？ 解题反思 1.直接根据等比数列的定义、 通项公式、 前n项和公式思考并解决有关等比数列的问题是最 基本的解题方法，也是十分重要的解题方法，学生要熟练掌握 2.注意灵活选设未知数例如，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为 ,a,aq 3.在要求的几个数中，若有若干个数成等差数列， 若干个数成等比数列，应尽可能先考虑用 等差数列的条件设未知数 4.在解题过程中注意方程思想和整体思想等数学思想的运用 五、知识结构的巩固与完善 1理解等比数列的概念； 2掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式

12、，体会基本量的方法与方程的思想； 3能在具体问题情境中发现等比关系，并能用有关知识来解决问题； 4理解等比数列与函数的关系。 a q 第 63 课 等差、等比数列的综合应用 一、考纲要求： 等差数列 等比数列 C C 二、知识梳理： 阅读课本 必修 5P29P52 问题 1等差数列的下标和性质：；等比数列的下标和性 质：。 问题 2等差数列的子数列性质：；等比数列的子数列性 质：。 问题 3等差数列和的性质：；等比数列和的性 质：。 警示：1.数列中基本量运算比较复杂的时候，往往用数列的性质解决问题比较简单； 2.一般数列的通项与求和要特别注意首项。 画出本节课的知识结构图： 三、诊断练习的体

13、验与体会： 1. 等差、等比数列和的性质中，特别注意有关等差数列前n项和Sn取最值问题，如“诊断 练习”第 3 题； 2. 学会用类比的观点来看等差、等比数列的相关性质； 3. 要重视等差、等比数列的性质在解题中的运用。 四、例题导学 S 100 10” 例 1 问题 1（1） 中， 求S110， 只需要求出a和d即可， 如何利用条件 “S10100，? 看到数字“10，100，110”你还能想到其它的做法吗？ 问题 2 （2）中，条件“a1 a2 a3 7，a1a2a3 8”如何转化？ 解题反思：等差、等比数列的计算强调两个思考方向：基本量的运算：化归为a 1,d(q) 的 计算；性质的灵活

14、应用（下标和性质等） 例 2问题 1：从函数的观点看Sn，如何解决？ 问题 2：分析项的正负，如何解决？ 解题反思： 解决等差数列前n项和的最大、小值问题，通常用二次函数法和邻项变号法两 种方法解决。 例 3问题 1 （1）中涉及到等差、等比数列基本量的运算，如何解决？ 问题 2 （2）中要求“c1c2c3c2 012” ，只需要求出什么即可？ 问题 3 （2）中利用“ an1”如何求出cn？ 解题反思： （1）方程思想求出首项和公差公比是解决问题的基础； （2）函数思想是解决第（ 2）题的关键所在，解题中要注意培养学生思维的严谨性，对表达 中字母n的取值范围加以重视，注意对n 1时情况的关注

15、。 五、知识结构的巩固与完善 1、解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：基本量法，即运用条件转化成关 于a1和dq的方程；运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和 的性质） 2、等差数列Sn最值的求法： 二次函数法；将Sn看作是关于n的二次函数，但是要注意的是nN 邻项变号法： c 1 c 2 b 1 b 2 cn bn a n 0 a 0,d 0, 若 1 则满足的n使得Sn取得最大值； an1 0 a n 0 若a 1 0,d 0,则满足 的n使得Sn取得最小值 a 0 n1 第 64 课数列的通项与求和（1） 一、考纲要求： 二、知识梳理： 阅读课本 必修 5P

16、35P39P47P50 求数列通项公式的常用方法有哪些？ 1.基本量法；2.公式法；3.构造新数列法；4.累加法；5.累乘法；6.归纳猜想证明法 (n 1) a 1 归纳法；定义法（利用等差,等比的定义） ；公式法：anS S (n 2) n1 n 迭代法(叠加法)( a n1- a n = c n 型)：a n (a n a n1)(an1 a n2)L (a2 a 1)a1： aaaaaaa 叠乘法（ n1 c n 型） ： nnn1n2 32 ； a n a 1 a n1 a n2 a n3 a 2 a 1 n （6）构造法（an1 kanb、an1 kanb、an1 kananb型构造

17、等比数列法， a n a n1 型 “取倒数法” ） ； ka n1 b 11 4） ； a n a n1 间接法（例如：an1 an 4anan1 作商法（a1a2 an cn型） ：分 n=1，n2 两步解决。 警示：1.由Sn求a n 时得到a n =SnSn-1，缺少第一项； 2.当遇到an1 an1 d或 a n1 q时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。 a n1 三、诊断练习的体验与体会： 1. 考查已知S n 求an时，要注意对n 1情况的讨论； 2. 注意题目中的条件，如：正项数列等。 四、例题导学 例 1 问题： （1）中，如何证明一个数列是等比数列？要证明an是等比数

18、列，题中条件 t(S n1 1) (2t 1)S n (n N*,t 0)如何转化？ 解题反思： 把an转化为S n ，还是把S n 转化为an往往要根据题目的“提示”来做出选择， 比如（1）中证明an是等比数列，所以我们需要把S n 转化为an，如果要证明的是关于S n 的表达式，则对原式直接处理即可。 例 2 问题：要用累加法，累乘法求通项，给出的等式需要满足什么特点？ 例 3 n 问题 1：条件：an 3an1 3 1(n 2)，结论： a n ，两者之间很难建立起直接关 n3 系，如何处理？（先求，再证明） a n a n 的通项公式你会求吗？由（1）中的数列 n 的通项 n 3 3

19、公式你想到怎么求数列an的通项公式？ 问题 2： （1）中的数列 解题反思： （1）遇到“Aan Ban1 f (n)(A B)”这种条件时，往往题目的小问中会给出提示性的 语句，要注意理解； nn （2）第（2）问中也可将递推式an 3an1 3 1(n 2)两边同时除以3，变成 a n a n a n1 1 1 ，然后利用叠加法，求出的通项公式，从而求出an，于是总结出一 nnn1n3333 类求通项的问题，形如an pan1 q形式的数列，可以用构造新数列的方法来处理。 五、知识结构的巩固与完善 1、求数列的通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，对于数列通项公式主要抓基 本数列、基

20、本方法同时数列注意数列条件限制,如正项数列、等比数列中任何一项不为0。 同时要分清第n1项与第n项表达式关系。 2、 高考也往往通过考查已知S n 求an， 这种问题通常用到公式法， 如诊断 4.但要注意对n 1 情况的讨论，学生容易遗漏. 3、另外一种是通过递推关系来求通项公式是对学生能力要求比较高,通过化简、变形、代换 把一些较复杂的数列关系题化归为中学所研究的等差或等比数列， 而用什么样的方法具有一 定灵活性，要结合递推关系式的形式来处理. 4、对于数列问题中常用的累加，累乘，配凑、取倒数后转化为等差或等比数列，以及两式 相减等手段和方法在解题中需不断的渗透和强化。 第 65 课数列的通

21、项与求和（2） 一、考纲要求： 二、知识梳理： 阅读课本 必修 5P39P41P50P52 求数列前n项和的常用方法有哪些？ n 公式法(等差、等比数列)；(2)分组求和法(如an n 2)； 111 ） ； (4)倒序相加法(如等差数列前n和的推导方式)； n(n 1)nn 1 n (5)错位相减法(如an n2)。(6)并项法。关键找通项结构。 (3)裂项相消法 （如 警示：1.等比数列求S n时，要讨论公比是否为 1。 2.三个数成等差的设法：ad,a,ad;四个数成等差的设法：a3d,ad,ad;, a3d; 3.三个数成等比的设法： aaa ,a,aq; 但四个数成等比数列时，错误设

22、为 3 ,aq,aq3。实 qqq 际上，按照这种设法，公比一定是正数，事实可能并非如此。 三、诊断练习的体验与体会： 1.根据所给条件的特征选择正确的求和方法； 2.高考中，数列求和占有很重要的地位，数列的解答题或多或少涉及到求和的问题。 四、例题导学 例 1问题： （2）问中，bn通项有什么特点，应选择什么样的方法？ 变式：若an 0 n n 1 a ，记bn 2 n 2 n n，求数列bn前nn 项的和Sn 例 2问题 1： （1） （2）问中的式子如何裂项？（学生易错点在于会漏掉 1 ） 2 问题 2：第（3）问的求和符合哪一种特征，如何求？求和的过程中需要注意什么？ 解题反思：a 1

23、时用错位相减法， 此时要重点观察学生的书写格式及最终结果的最简化 学 生会漏掉a 0,a 1的情况。 例 3 问题 1向量的坐标与其起点、终点的关系？向量共线的坐标表示？直线斜率的两点坐标表 示？ 问题 2得到bn an1an后，运用什么方法求bn？ 解题反思： 此题的难点在于条件多而杂， 遇到此类题目不要心慌， 我们需要对条件进行分类， 这样我们就会把不熟悉的问题转化为熟悉的问题解决，从而提高我们的解题能力。 五、知识结构的巩固与完善 1、数列求和先看通项，根据通项的特点选择相应的方法 （1）如果通项的特点是等差+（-）等比，那么选择分组求和法； （2）如果通项的特点是等差等比，那么选择错位相减法；错位相减法重在算到底； （3）如果通项既非等差也非等比，也不是等差+（-）等比和等差等比，则可以考虑裂项 相消或倒序相加，根据题目的特点选择相应的方法 2、在利用等差、等比的求和公式时，要数清项数，公比如果是字母，需对它进行讨论 4、裂项相消法中常用的公式 11 1111 ()，( n k n)，注意整体思想的运用 n(nk)k nnkn k nk 第第 6666 课课等差、等比数列在实际问题中的应用等差、等比数列在实际问题中的应用 一、考纲要求： 等差、等比数列在实