2020年高考数学一轮经典例题 不等式证明 理（通用）

1、2020年高考数学(理科)经典例题不等式证明典型示例1例1如果，证明(和)。分析1被用作证明它的差分方法。需要分为两种情况：一是去掉绝对值符号，然后用比较法证明。解决方案1 (1)当时，因为，因此。(2)当时，因为.因此。全面的(1)和(2)知识。分析2直接求差，然后利用对数性质得到绝对值符号。解决方案2差异比较法。因为.,所以。注：第一种解决方案相当于分类添加已知条件，便于去除变形中的绝对值符号；解决方案2可以通过使用对数属性(改变底部的公式)来实现相同的目标，并且不需要划分和规则。它的解决方案自然简单明了。典型示例2示例2:假设和验证：分析：发现区别后的符号很难变形和判断。考虑到两边都是正

2、数，我们可以做商，判断比值与1的关系，从而证明不等式。证据：,.再说一遍，.注：本主题检查不等式证明方法比较法(商比较法)。商比较法证明不等式的步骤有：判断符号、商、变形、判断1的大小。典型示例三例3验证任何实数，(当且仅当取等号)如果用比较法证明这个问题，分析起来会很麻烦，因为有些要证明的不等式在展开后会很复杂。如果采用综合法，可以从重要的不等式出发，适当运用不等式的相关性质和“公式”技巧来证明。证明：(如果且仅当取等号)两边都加上，那就是：(1)再次：(如果且仅当取等号)两边都加 (2)它可以从(1)和(2)中得到(当且仅当取等号)。注：这个问题是指证明不等式的综合方法。综合法主要用均值不

3、等式来证明不等式。我们应该注意均值不等式的变形应用。当平方和乘积形式出现在通式中后，我们可以考虑综合的方法来求解它。典型示例四示例4已知、并已验证从分析中可以明显看出，这个问题很难用比较法来证明。如果你把不等式分成相等的点，它将变得更加复杂和难以证明。因为右边是一个常数，你可以考虑把左边的公式变成一个具有“倒数”特征的形式。例如，有可能找到一个正确的方法来证明它，通过使用“中值定理”，这通常被称为技能的“倒数”。证据：这也是事实。注：本主题考察变形综合法在证明不等式中的应用。“倒计时”在主题中使用。这种方法可以应用于许多不等式的证明，但有时为了达到“倒计数”的目的，需要对代数表达式进行适当的变

4、形。典型示例五示例5已知，已验证： 0。分析：直接开始这个问题并不容易。考虑用解析法来证明。因为分析方法的过程可以用综合的方法来写，这个问题用两种方法来写证明过程。证据1:(分析写作过程)证明 0证明给我看0成立 0成立证据2:(综合写作过程)* 0成立 0成立注意：学会从分析方法开始，综合地写证明过程，但有时这两种方法经常一起使用。当混合时，应用程序语言是清晰的。典型示例六例6如果，并验证：从形式上分析这个不等式的规律性并不容易，而且与我们掌握的定理和重要结论也没有直接联系，所以我们可以用分析的方法来寻找证明它的方法。但是，要用“分析”的方法证明这个不等式，我们必须有一个严格的格式，即每一步

5、都是从前一步的充分条件推导出来的，直到推导出的条件明显成立为止(已知条件或某些定理等)。)。证明：证明只需要证明，也就是说，也就是说，也就是说，也就是说，所以有，由可用的建立，不平等是有效的。注意：这个问题检验了分析方法在证明不等式中的应用。本课题综合运用了分析法和综合法。应该注意的是，在写作时，分析方法的写作过程应该是：“想证明.需要证明”，而综合方法的写作过程是：“因为().所以().”，即使在一个话题中，它也是在分析的时候解释的。典型示例七例7如果，验证。分析：这个结论的反面比原来的结论更具体、更简单，应该使用反证的方法。证词1:假设，那么，因此。.因此，.这与假设相矛盾，所以。证词2:

6、假设，那么，因此，也就是说，那是不可能的。因此。证词3:那么假设。由，由，因此。再说一遍，.，就是这样。这不可能所以。注意：本主题的三种方法都采用反证的方法，其中一些被推到与已知事实相冲突，而另一些被推到与已知事实相冲突。一般来说，当结论中有“至少”、“至多”和“仅”等词时，或者当结论作为否定陈述出现时，或者结论肯定是“过度的”时，可以考虑反证的方法。典型示例八例8假设是一个正数，并进行验证。分析：用综合的方法很难证明，所以试试分析的方法。证明：证明，只是证明，也就是说，为了简化起见。，.原来的不平等成立。注：1。本课题证明了下列错误证明很容易发生：然后分为(1)；(2)；(3)和；(4)经过

7、讨论，结果无效。2.用解析法证明数学问题，要求两个相邻步骤之间的关系是，前一步是后一步的必要条件，后一步是前一步的充分条件，当然，彼此可以是一个必要条件和充分条件。典型示例九示例9了解并验证。分析：结合三角函数的知识，进行三角变换，然后用三角函数的范围来证明。证明了在条件上可以用三角形代替，但需要引入半径参数。，可以被设定，其中。.因此。因此。说明：1。三角代换是最常见的变量代换。当条件为或或时，可以使用。2.在使用替代法时，必须注意新元的范围，否则变量和不等式值的变化会影响结果的正确性。典型示例十例10:让它是一个正整数。分析：需要分数项的范围，但找不到它的和。我们可以观察每一项的范围，然后

8、用“把整体分成几部分”的方法找到整体范围。证据：从，到。当时，当时，当时，.说明：1。用标度法证明不等式，标度应该适应，否则会陷入困难。例如，证据。因此，如果你从第3项开始缩放，它可以被证明；如果从第2项放大，可以得到不到2个。当你放大和缩小不同，结果将会改变。2.缩放方法通常包括：缩小分母，扩展分子，增加分数值；减少分子，扩大分母，减少分数；总金额不低于部分；每次总和变小，但它需要比要求的大。第一次，总和变得更大，但是它需要比要求的要小，也就是说，它不能缩放得不够或过大，并且在缩放之后进行求和是方便的。典型示例11示例11已知，已验证：分析：要证明的不等式似乎是“复杂”的，所以应该转化为“简

9、单”的形式，所以最好用分析的方法来证明。证明：为了证明，只需要证书。也就是说，也就是说，需要证据。也就是说，也就是说，需要证据。那就是，证明，那就是。即证书(*)(*)是明确成立的。因此.说明：用解析法证明不等式本质上是找到结论的充分条件。分析方法通常采用“如果你想证明，你只需要证明，即它是已知的”的格式。典型示例12示例12如果、验证：分析：值得注意的是，不等式左边的字母是分开的，而右边的字母是组合在一起的。因此，有必要用这个转换函数寻找一个众所周知的不等式(保持b上的项数注：该分析也可被视为连续应用基本不等式的结果。左边和右边有三个术语，基本上是公式的连续使用。如果原来的问题限制、那么不等

10、式可以转换如下：进一步，我们可以得到：显然，证明过程仍然可以应用最初的想法，但它比最初的想法更困难，因为发现想法有一个转化过程。典型示例13例13知道，证明：三个数字不可能都大于。分析：这个命题的形式是否定的，应该用反证的方法来证明。如果命题不是真的，那么所有三个数字都大于。从这个结论，我们可以进一步推断出矛盾。证明：假设所有三个数字都大于，也就是说。又一次，, 又一次。将以上三个公式相加得到：显然与相矛盾，假设是无效的，所以命题被证明了。注：一般来说，如果命题中有“至多”、“至少”和“全部”等词，通常采用反证法，反证法的关键在于“回到错误”。同时，在反证法的证明过程中，分析方法和综合方法的解

11、题思路也贯穿始终。典型示例14例14已知，都是正数，要验证：分析：用分析的方法找到证明问题的突破口。要证明原来的不等式，你只需要证明，也就是说，你只需要证明。如果你把它改成，问题就会解决了。如果有一种分析方法，很容易以综合方法的形式写出证明过程。证词1:为了证明，只需要证明，也就是说，移动物品，得到。作为正数，得到。原来的不平等成立。证词2:是正数。因此，这就是。,注：问题中给出的都是正数，形式同算术平均和几何平均定理。如果用算术平均和几何平均定理进行验证而不进行分析，这个问题就不容易解决。在原来的不等式中，“不大于”是用来联系的，所以我们应该知道取等号的条件。在这个问题中，“=”应该只在那个

12、时候取。无论用什么方法证明不等式，都只是手段或形式的问题，所以我们必须掌握证明问题的关键。这个问题的关键是证据。典型示例15示例15已知并验证：分析：记住，要证明，与正弦和余弦函数的取值范围相关联。本课题采用三角代换，使用三角函数的变换手段将非常方便。它是由条件、可交换元素和周围公式实现的。证明：订单、订单、订单和订单，然后成立了。注：兑换人民币的想法随处可见。这里使用三角形替换法。如果这种替代的几何意义能够被挖掘出来，对替代本质的理解将会更加深刻。常用的替换方法有：(1)如果，可以设置；(2)如果可以设置，(3)如果，可以设置，和。典型示例十六例16众所周知，它是一个不等于1的正数，而是一个

13、正整数。证明一下。分析：从要验证的不等式来看，左边是二项式的乘积，每个项都是正的，右边有一个因子2，所以我们可以考虑使用平均不等式。证明是不等于1的正数，.又来了。分别将公式和的两边相乘,.注意：这个题目看起来很复杂，但是根据题目的特点，选择综合的方法进行验证是很顺利的。从特点中选择方法是解决问题的关键。这里，因为等号是无效的，并且因为不等式和的两边都是正的，所以可以用不等式的同向乘法来证明结果。这也是今后解决问题时应该注意的问题。典型示例17示例17了解、和，并进行验证。分析：从学科的结构和特点来看，很难采用比较法和综合法。为了找出不等式成立的充分条件，我们可以先尝试分析的方法，然后在思路明确后再决定证明主体的方法。证明：为了证明，只需要证明，只是一张证书。，成立了。.注：如果问题是用分析方法盲目解决的话，很难得到结果。在船尾分析：这个问题的难点在于证明的不等式的左边有许多和，很难把它们组合起来，而右边只有一个项。请注意，这是一个严格的不等式，有必要检查左侧的公式对于左侧的组合是否是正则的，只需要从头开始检查。证据：.注意：证明这个问题的过程并不复杂，但是思路很难找到。这个问题中使用的方法也是求解不等式的常用方法，即标度法。这种问题是灵活多样的，需