数学竞赛专题教案6年级进制与定义新运算教案

1、XXXXXXXXXX 教育学科教师辅导讲义教育学科教师辅导讲义 学员编号：学员编号：年年级：级：课课 时时 数：数： 学员姓名：学员姓名：辅导科目：辅导科目：学科教师：学科教师： 授课类型授课类型 授课日期及时段授课日期及时段 C 数的进制数的进制C定义新运算定义新运算T计算综合提高计算综合提高 教学内容教学内容 课堂导入：课堂导入： 有这样一个笑话：请问“11”在什么样的情况下等于 10，答： “在算错的情况下等于 10 ！ ”笑话毕竟是 笑话，现实生活中一般也不会出现把11 算错的情况。不过学习完今天的知识，我们就知道，不用算错， 11 也 是可以等于 10 ！说起来很奇怪，但在二进制中就

2、是这样的。 一、专题精讲 模块一：二进制 我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一” 。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1 的 自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。 二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字 0 和 1。二进制 的计数单位分别是 1、 2 、 2 、 2 、 ， 二进制数也可以写做展开式的形式， 例如 100110 在二进制中表示为： (100110)2 12 02 02 12 12 02 。 二进制的运算法则： “满二进一” 、 “借一当二” ，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意：

3、对于任意自然数 n，我们有 n 1。 0 543210 123 例 1、把二进制数 110（2）改写成十进制数。 分析：十进制有两个特点： （1）它有十个不同的数字符号； （2）满十进1。二进制有两个特点： （1）它的数值部分， 只需用两个数码 0 和 1 来表示； （2）它是“满二进一” 。 把二进制数 110（2）改写成十进制数，只要把它写成2 的幂之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可。 110（2）12 12 02 210 141201 420 6 例 2、把十进制数 38 改写成二进制数。 分析：把十进制数改写成二进制数，可以根据二进制数“满二进一”的原则，用 2 连续去除这个十进

4、制数，直到 商为零为止，把每次所得的余数按相反的顺序写出来， 就是所化成的二进制数，这种方法叫做“除以二倒取余数” 。 2 380 2 191 2 91 2 40 2 20 11 即：38（10）100110（2） 例 3、计算 1011（2）11（2） 分析：任何进位制数的运算，都可以根据十进制数的运算法则来进行，做一位数的运算需要有加法表（即加法口 诀） 。二进制的加法口诀只有一句： 1（2）1（2）10（2）；1011（2）11（2）1110（2）。 1011（2） 11（2） 1110（2） 例 4、计算 1101（2）11（2） 分析：二进制的乘法口诀只有一句：1（2）1（2）1（2

5、） 1101（2） 11（2） 1101（2） 1101 （2） 100111（2） 例 5、计算 1111（2）101（2） 分析：二进制数的除法运算与十进制的除法运算一样，是乘法的逆运算。 11 （2） 101（2） 1111（2） 101 101 101 0 模块二： n 进制 n 进制：n 进制的运算法则是“逢n 进一，借一当 n” ，n 进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同 级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。 例 1、(101) 2(1011)2 (11011) 2 _； (11000111 ） 2 (10101 2 (11 2 ( ） 2 ； (3021) 4

6、 (605) 7 ( ) 10 ； (63121) 8 (1247) 8 (16034) 8 (26531) 8 (1744) 8 _； 若(1030) n 140，则n _ 分析：对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制： (101) 2(1011)2 (11011) 2 (5) 10 (11) 10 (27) 10 (28) 10 (11100) 10 ； ）可转化成十进制来计算：(11000111 2 (10101 2 (11 2 (199) 10 (21) 10 (3) 10 (192) 10 (11000000 2 ； ）如果对进制的知识较熟悉，

7、可直接在二进制下对(10101 2 (11 2 进行除法计算，只是每次借位都是2，可得 (11000111 ） 2 (10101 2 (11 2 (11000111 2 (111 2 (11000000 2 ； 本题涉及到 3 个不同的进位制，应统一到一个进制下。统一到十进制比较适宜： (3021) 4 (605) 7 (343 241) 10 (6725) 10 (500) 10 ； 十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数” ，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法” ， 在n进制中也有“凑整法” ，要凑的就是整n。 原式 (63121) 8 (1247) 8 (26531)

8、8 (16034) 8 (1744) 8 (63121) 8 (30000) 8 (20000) 8 (13121) 8 ； 若(1030) n 140，则n33n 140，经试验可得n 5。 例 2、将二进制数(11010.11)2化为十进制数为多少？ 分析：根据二进制与十进制之间的转化方法，(11010.11)212 12 02 12 02 12 12 1680200.50.2526.75。 例 3、在几进制中有413100？ 分析：利用尾数分析来解决这个问题：由于(4) 10 (3) 10 (12) 10 ，由于式中为 100，尾数为 0，也就是说已经将 12 全部进到上一位。 所以说进

9、位制n为 12 的约数，也就是 12，6，4，3，2 中的一个。 但是式子中出现了 4，所以n要比 4 大，不可能是 4，3，2 进制。 43210-1-2 另外，由于(4) 10 (13) 10 (52) 10 ，因为52 100，也就是说不到 10 就已经进位，才能是 100，于是知道n 10，那 么n不能是 12。所以，n只能是 6。 例 4、在 6 进制中有三位数abc，化为 9 进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少? 分析： (abc)6a6 b6c36a6bc；(cba)9c9 b9a81c9ba； 所以 36a6bc81c9ba；于是35a3b80c；因为35a 是 5 的

10、倍数，80c 也是 5 的倍数，所以3b 也必须是 5 的倍数，又(3，5)1所以，b=0 或 5， 当 b0，则 35a80c；则 7a16c；(7，16)1，并且 a、c0，所以 a16，c7。但是在 6，9 进制，不可 以有一个数字为 16。 当 b5，则 35a3580c；则 7a316c；mod 7 后，32c0。所以 c2 或者 2+7k(k 为整数)。因为有 6 进制，所以不可能有9 或者 9 以上的数，于是c2；35a15802，a5。所以(abc)6(552)656 5 62212。这个三位数在十进制中为212。 2 22 二、专题过关 1、把下列二进制数分别改写成十进制数。

11、 （1）100（2）（2）1001（2）（3）1110（2） 分析： （1）100（2）12 02 02 4 （2）1001（2）12 02 02 12 9 （3）1110（2）12 12 12 02 14 2、把下列十进制数分别改写成二进制数。 （1）12（10）（2）15（10）（3）78（10） 分析： （1）12（10）1100（2） （2）15（10）11112） （3）78（10）1001110（2） 3、计算 101（2）10（2）；1110（2）11（2）；11010（2）1111（2）。 分析：101（2）10（2）111（2）；1110（2）11（2）10001（2）；11

12、010（2）1111（2）1011（2）； 4、计算 110（2）10（2）；1011（2）11（2）；101（2）110（2） 分析：110（2）10（2）1100（2）；1011（2）11（2）100001（2）；101（2）110（2）11110（2）。 5、计算 11100（2）100（2）；10010（2）11（2）；10000111（2）11（2）。 分析：11100（2）100（2）111（2）；10010（2）11（2）110（2）；10000111（2）11（2）101101（2）。 ( ） ( ）1234456322 6、567 ( ）；在八进制中，_； 852 在九进制中

13、，1443831237120117705766 _ 3210 3210 210 ）分析：本题是进制的直接转化：567 (1067） 8 (4232 5 (1000110111 2 ； 原式1234(456 322) 12341000 234； 原式14438(31235766)(712011770) 144381000020000 4438。 7、二进制数 10101011110011010101101转化为 8 进制数是多少？ 分析：根据二进制与八进制之间的转化方法推导出二八对照表： 八进制数 二进制数 从后往前取三合一进行求解，可以得知 (10101011110011010101101)

14、2(25363255)8。 8、在几进制中有125125 16324？ 分析：注意(125) 10 (125) 10 (15625) 10 ，因为1562516324，所以一定是不到 10 就已经进位，才能得到16324，所 以n 10。再注意尾数分析，(5) 10 (5) 10 (25) 10 ，而 16324 的末位为 4，于是25 4 21进到上一位。所以说进位 制n为 21 的约数，又小于 10，也就是可能为 7 或 3。因为出现了 6，所以n只能是 7。 9、在 7 进制中有三位数abc，化为 9 进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少？ 分析：首先还原为十进制：(abc) 7

15、a72b7c 49a 7bc；(cba) 9 c92b9 a 81c 9b a。 于是49a 7b c 81c 9b a；得到48a 80c 2b，即24a 40c b。 因为24a是 8 的倍数，40c也是 8 的倍数，所以b也应该是 8 的倍数，于是b 0或 8； 但是在 7 进制下，不可能有 8 这个数字，于是b 0，24a 40c，则3a 5c；所以a为 5 的倍数，c为 3 的倍数。 所以，a 0或 5，但是，首位不可以是 0，于是a 5，c 3；所以(abc) 7 (503) 7 549 3 248。 于是，这个三位数在十进制中为248。 0 000 1 001 2 010 3 0

16、11 4 100 5 101 6 110 7 111 三、学法提炼三、学法提炼 1、专题特点：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一” 。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他 的大于 1 的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。 二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字 0 和 1。二进 制的计数单位分别是 1、2 、2 、2 、，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110 在二进制中表示为： (100110)212 02 02 12 12 02 。 二进制的运算法则： “满二进一” 、 “借一当二” ，乘法口诀是：零零得零，

17、一零得零，零一得零，一一得一。 注意：对于任意自然数 n，我们有 n 1。 n 进制：n 进制的运算法则是“逢n 进一，借一当 n” ，n 进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减； 同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。 0 543210 123 2、解题方法： 将一个二进制数写成十进制数的步骤是：将二进制数的各数位上数字改写成相应的十进制数；将各数位上对应 的十进制数求和，所得结果就是相应的十进制数。将十进制数改写成二进制数的过程，正好相反。 十进制数改写成二进制数的常用方法是：除以2 倒取余数。 二进制数的计算法则： （1）加法法则：000 011 101 1110 （2）乘

18、法法则：000 010 100 111 进制间的转换：如右图所示。 八进制八进制 十进制十进制二进制二进制 十六进制十六进制 3、注意事项：这么多进位制，究竟怎么通过写法把它们区分开来呢？一般的，如没有特殊说明，都默认为十进 制。如果要表示其他进制，就必须采用括号加脚标的形式。例如五进制中的 1234，我们就写成(1234)5，二进制 的 101 就写成(101)2。 在n进制中，恰好会用到n种数字：从0n1，这里请大家注意以下两点： （1）n进制中，不可能出现数字n以及比n更大的数：如五进制中不可能出现数字5、6、7、8、9 等；反过来， 如果一个数中出现了数字5或大于5的数字，这个数就一定

19、不会是五进制数，如125，733 都不可能是五进制数； （2）n进制中，出现的数字可能会超出0到9这十种数字，比如十六进制，必须逢16才能进1，所以从0开始数到9 之后不能进位，必须仍然用一个字符来表示。数学上约定在十六进制中，用字母A、B、C、D、E、F来表示等于10 进制中的10、11、12、13、14、15。 （3）n进位制化十进制 十进制：2101210 110 0101； 三进制：(2101)323 13 03 1； 四进制：( 2101)424 14 04 1； 五进制：( 2101)525 15 05 1； 321 321 321 32 一、专题精讲 模块一、直接运算型 例 1、

20、若A*B表示A3BA B，求5*7的值。 分析：A*B 是这样结果这样计算出来：先计算A3B 的结果，再计算 AB 的结果，最后两个结果求乘积。 由 A*B（A3B）（AB） ，可知：5*7（537）（57）（521）122612312。 例 2、 （第 4 届第 2 试）7、 “”是一种新运算，规定：abacbd(其中 c，d 为常数)，如 575c7 d。如果 125，238，那么 61OOO 的计算结果是_。 分析：先看题中新的运算即的运算意义是什么；根据此运算意义确定运算方法是什么，并将此运算 方法运用到所求的式子中，即可得到答案。121c2d5，即 c2d5； 232c3d8，即 2

21、c3d8；由此可知d2，c1。 所以 61000 6c1000 d611000 22006 。 例 3、对于任意的整数x与y定义新运算“” ：xy= 分析：根据定义xy= 6 x y ,求 29。 x 2y 6 x y6292 ，于是有29 5。 x 2y2 295 例 4、如果规定ab13ab8，那么 1724 的最后结果是_。 【关键词】20XX 年，第 1 届，希望杯，1 试 分析：172413172482213218。 模块二、反解未知数型 例 1、如果ab表示(a 2)b,例如 34 (3 2)4 4,那么，当a530 时,a。 分析：依题意，得(a 2)5 30,解得a 8。 例

22、2、定义新运算为ae b 分析：因为3e 4 xe 4 a 1 ，求2e (3e 4)的值；若xe 4 1.35则x的值为多少？ b 3121 1，所以2e (3e 4) 2e 13 41 x 1 1.35，x1 41.355.4,x 4.4，所以x的值为 4.4。 4 例 3、 定义ab为a与b之间 （包含a、所有与a奇偶性相同的自然数的平均数， 例如：b）714=(7+9+11+13)4=10， 1810=(18+16+14+12+10)5=14。在算术(1999)=80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填 的数是多少？ 分析：1999=(19+99) 2=59，所以方格中填的

23、数一定大于80。如果填的是个奇数，那么只能是80259 101； 如果填的是个偶数，那么这个数与60 的平均数应该是 80，所以只能是80260 100，因此所填的数可能是 100 和 101。 例 4、已知x、y满足x y 2009，y y 20.09；其中x表示不大于x的最大整数，x表示x的小数部分， 即x x x，那么x 。 分 析 ： 根 据 题 意 ，y是 整 数 ， 所 以x 2009y也 是 整 数 ， 那 么x x x 0， 由 此 可 得 y 20.09x 20.090 20.09，所以y 20，x 2009y 200920 1989。 模块三、观察规律型 例 1、如果：12

24、111 23222222 343333333333333，计算（32）5。 分析：通过观察发现：ab中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增 加到b个数位。 （53）5（555555）53075 例 2、有一个数学运算符号，使下列算式成立：24 8，5313，35 11，97 25，求73? 分析：通过对24 8，5313，35 11，97 25这几个算式的观察，找到规律：ab 2ab，因此 73 27317。 模块四、综合型题目 例 1、如果a、b、c是 3 个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即ab ba； (ab)c a(bc)。现在规定一种运算*，它

25、对于整数a、b、c、d满足： (a,b)*(c,d) (acbd,acbd)。 例：(4,3)*(7,5) (4735,4735) (43,13)请你举例说明“*”运算是否满足交换律、结合律。 【关键词】20XX 年，希望杯，第一届，二试 分析： (2,1)*(4,3)=(24+13,2413)=(11,5) (4,3)*(2,1)=(43+21,4321)=(11,5)，所以“*”满足交换律。 (2,1)* (6,5)*(4,3)=(17,7)=(11,5)* (4,3)= (89,47) (2,1)* (6,5)*(4,3)=(2,1) * (39,9)= (87,69)，所以“*”不满足

26、结合律。 例 2、用a表示a的小数部分，a表示不超过a的最大整数。例如： 0.3 0.3,0.3 0;4.5 0.5,4.5 4 ， 记f (x) 的值。 【关键词】20XX 年，希望杯，第二届，二试 分析：代入计算结果分别为：0.4，1，0，1。 x2 ，请计算f 2x1 1 , f 3 1 f 1 ;f 1, 3 例 3、对于任意的两个自然数a和b，规定新运算：a b a (a 1) (a 2)L (a b1)，其中a、b表示自 然数。求 1100 的值；已知x 1075，求x为多少？如果（x3）2121，那么x等于几？ 分析 ：11001 23 4L (11001) 5050。 x10x

27、 (x 1)(x 2)(x 3)L (x 101)10 x 45 75， ，解得x3。 方法一：由题中所给定义可知，b为多少，则就有多少个加数。121 6061，即：602121，则x360； 60 19 20 21，即 19360，所以x19。 方法二：可以先将（x3）看作一个整体y，那么就是y2121，y2 y (y 1)121,121 6061所以y60， 那么也就有x360，60 19 20 21，即 19360，所以x19。 二、专题过关 1、定义新运算为ab（a1）b，求的值。6（34） 。 分析：所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由ab（a1）b得，34（31）44

28、 41；6（34）61（61）17。 2、P、Q表示数，P*Q表示 分析：3*(6*8) 3*( PQ ，求 3*(6*8) 2 6837 ) 3*7 5。 22 3、已知a，b是任意自然数，我们规定：abab1,ab ab2,那么4(68)(35)？ 分析：原式 4(681)(352) 41313 413131 425 4252 98。 4、M N 表示(M N) 2,(2008 2010)2009 _ 分析：原式 2008 2010 2 *2009 2009*2009 2009 2009 2 2009。 5、如果a&b a b10,那么2&5 。 【关键词】20XX 年，第 2 届，希望杯

29、，1 试 分析：2&525102.5。 6、如果ab表示3a 2b,例如 45=34-25=2,那么,当x5 比 5x大 5 时,x。 分析：根据题意x55x(3x25)(352x)5x25,由 5x255,解得x6. 7、对于任意的两个自然数a和b，规定新运算：ab a(a 1)(a 2)L (a b1)，其中a、b表示自然数.如果 (x3)2 3660，那么x等于几？ 分析： 方法一： 由题中所给定义可知，b为多少， 则就有多少个乘数。3660 6061， 即： 602 3660， 则x3 60； 60 345，即 33 60,所以x 3。 方法二：可以先将（x3）看作一个整体y，那么就是

30、y2 3660，y2 y(y 1) 3660 6061，所以y 60， 那么也就有x3 60，60 345，即 33 60，所以x3。 三、学法提炼三、学法提炼 1、专题特点： 定义新运算：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规 律进行运算。 2、解题方法：解答这类习题的关键是，认真观察、分析，明确“新运算”的定义，再根据运算定义，找准要计算的 习题中的数据与定义中的字母的对应关系，严格遵照定义规定代入数值，完成计算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义，然后严格

31、按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则 运算算式进行计算。 主要是运算方式不同，实际是对应法则不同。可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则 不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对 应。只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算。 3、注意事项：新定义运算中，括号的作用不变；新定义运算都有自己的特点，不一定满足加法、乘法所满足的 运算定律。新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 一、一、 能力培养能力培养 a（若 ab） 例 1、 （20XX 年六年级第试）

32、6、定义新运算“” ：ab 1（若 ab） ，例如 3.523.5，11.21.2， b（若 ab） 71 0.1 33 。777，则 4 0.8 5 7171 1.10.1 33 分析：定义新运算， 33 2。 4 1 0.8 5 1.1 例 2、 （20XX 年六年级第 1 试）8、对任意两个数 x，y，定义新的运算*为：x* y x y （其中 m 是一个 m x 2 y 确定的数） 。如果1*2 2 ，那么m_，2*6_。 5 266 122 2*6 ，故m 1，分析：1*2 。 2267m225 例 3、 （20XX 年六年级第 2 试）5、对任意两个数x，y规定运算“*”的含义是：

33、x y 一个确定的数） ，如果 121，那么m，312。 分析：1*2 4x y （其中m是 mx3 y 431224412 1，故m2，3*12 。 233127m132 例 4、 （20XX 年六年级培训题）8、已知 A1,3,5,7，B1,4,7，C2,5,7,8。规定： AB1,3,5,7 1,4,71,7； AB1,3,5,71,4,71,3,4,5,7。根据此规定，可求得（ AC）B=_。 分析：AC1,3,5,72,5,7,81,2,3,5,7,8, （ AC）B1,2,3,5,7,81,4,71,7。 例 5、（20XX 年六年级第 1 试）3、对于任意两个数x，y 定义新运算

34、，运算规则如下：xyxyx2， （7.54.8）_。 2 xyxy2。按此规则计算：（1）3.62_，（2） 0.1 分析： （1）3.623.623.627.21.85.4， （2）7.54.87.54.827.52.49.9， （7.54.8） 0.1 9.9 0.122 18812124 9.921.22。 165999933 二、能力点评二、能力点评 定义新运算在希望杯考试中是比较重要考点之一，关键是要掌握解题技巧进行熟练运用就可以了。 课后作业课后作业 1、（20XX 年六年级第 2 试）2、对于任意两个数x和y，定义新运算和，规则如下： xy 21241262x yx y ，x y ，例如：12，12 ， 12251235x 2yx y 3 由此计算：0.3(41 )。6 1 2 364 4114 993 0.68。 分析：41，0.36(41 )0.36 3 36 4 2 22 4 3 3 3 99